知识点071-实数范围内分解因式

一.选择题

1.(2001•上海)下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是()

A.x2+4B.x2-2C.x2-x+lD.x2+x+l

考点：实数范围内分解因式。

分析：根据多项式特点结合公式特征直接选取答案.

解答：解:x2-2=(x+)(x-),此题的要求是在实数范围内分解因式，所以可以有根式.

故选B.

点评：本题的关键是理解在实数范围内，即只要因式中的数字在实数范围内即可.

2.(1999•杭州)在实数范围内，把x2+x-2+分解因式得()

A.(x+2)(x-1)+B.(x-2)(x+1)+C.(x+)(x+l-)D.(x-)(x-1+)

考点：实数范围内分解因式；因式分解-分组分解法。

分析：由于一、三项符合平方差公式，可分别将一、三和二、四分为一组，然后运用提取公因式法进行二次分解.

解答：解：原式二(x2-2)+(x+)

=(x+V2)(x-&)+(x+V2)

=(X+)(X-+1).

故选C.

点评：主要考查用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.本题中一、三项符合平方差公式,

应考虑两两分组.

3.在实数范围内分解因式x5-64x正确的是()

A.x(x4-64)B.x(x2+8)(x2-8)C.x(x2+8)(x+2)(x-2)D.x(x+2)3(x-2)

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：在实数范围内分解因式一般应分解到因式中有无理数为止.

解答：解：x5・64x=x(x4-64),

=x(x2+8)(x2-8),

=x(x2+8)(x+2)(x-2).

故选C.

点评：本题考查了公式法分解因式，在实数范围内分解因式要遵循分解彻底的原则.

4.下列因式分解中，完全正确的是()

A.x3-x=x(x2-1)B.C.x2+4xy+4y2=(x+4y)2D.x2-y2=(x-y)2

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析:A.提取公因式x后，继续采川平方差公式分解即可；B.运用两次平方差公式进行分解即可；

C.运用完全平方公式分解，注意等号前面第三项应为(2y)2；D、运用平方差公式分解即可.

解答：解:A、应为x3-x=x(x2-1)=x(x+l)(x-1)，故本选项错误:

B.,正确；

C.应为x2+4xy+4y2=(x+2y)2,故本选项错误；

D.应为x2・y2=(x+y)(x-y),故本选项错误.

故选B.

点评：本题考查了公式法分解因式，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方

公式，两项的话一般考虑运用平方差公式；三项的话要考虑运用完全平方公式.

5.在实数范围内分解因式，结果完全王确的是()

A.4a2-b2=4(a+b)(a-b)B.x2+5x-6=(x+2)(x+3)C.ab3-a3b=ab(a2-b2)D.

2x2+2x-1=2

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：根据十字相乘法，提公因式法和公式法，配方法对各选项分解因式，然后利用排除法求解.

解答：解:A、分解因式4a2-b2=(2a+b)(2a-b),故本选项错误；

B.分解因式x2+5x-6=(x-1)(x+6),故本选项错误；

C.分解因式ab3-a3b=ab(b2-a2)=ab(b+a)(b-a),故本选项错误；

D.2x2+2x-1=2,正确.

故选D.

点评：本题考杳分解因式的所有方法，要熟练掌握各种方法的具体操作方法，注意分解因式一定要彻底，直到不能再

分解为止.

6.对二次三项式4x2-6xy-3y2分解因式正确的是()

A.B.C.D.

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：利用配方法分解因式后直接选取答案.

解答：解:4x2-6xy-3y2=4[x2-xy+(y)2J-3y2-y2=4(x-y)2-y2

故选D.

点评：本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要

细心.

7.以下二次三项式在实数范围内一定不能分解因式的是()

A.x2+x-1B.2x2-x-2C.x2-3x+lD.x2-3x+3

考点：实数范围内分解因式。

分析：根据能在实数范围内分解因式必须442-4acN0,分别进行判断即可得出答案.

解答：解:A.x2+x・1,根据能在实数范围内分解因式必须442・4ac20,而此题b2・4ac=1+4=5>0,故此选项正

确；

B.2x2-x-2,根据能在实数范围内分解因式必须△=b2-4ac20,而此题b2-4ac根+16=17>0,故此选项正确；

C.x2-3x+l,根据能在实数范围内分解因式必须442-4ac»0,而此题b2-4ac=9-4=6>0,故此选项正确；

D.x2-3x+3,根据能在实数范围内分解因式必须△=b2-4acN0,而此题b2-4ac=9-12=-3V0,故此选项错误:

故选:D.

点评：此题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出b2-4ac的符号是解决问题的关键.

8.下列多项式中，不能在有理数范围内分解因式的是()

A.x6+y6B.x5-y5C.x4+3x2y2+4y4D.x2-xy+y2

考点：实数范围内分解因式。

分析：根据分解因式的方法：提公因式法，公式法包括平方差公式与完全平方公式，结合多项式特征进行判断即可.

解答：解:A、两六次方项符号相同，不能提公因式，也不能用公式，不能分解因式，符合题意；

B.D.利用公式法能分解因式，不符合题意；

C.因式分解法能分解因式，不符合题意.

故选A.

点评：本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，熟练掌握公式结构特征是解题的关键.

9.下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是()

A.x2-x+1B.-x2+x-1C.x2+x+lD.-x2+x+l

考点：实数范围内分解因式。

分析：根据能在实数范围内分解因式必须△=b2・4ac20,分别进行判断即可.

解答：解:A.X2-X+L根据能在实数范围内分解因式必须△加2-4ac》0,而此题b2-4ac=l-4=-3<0,故此选项

错误；

B.-x2+x-1,根据能在实数范围内分解因式必须-4ac20,而此题b2-4ac=l-4=-3<0,故此选项错误；

C.x2+x+l,根据能在实数范围内分解因式必须442-4ac20,而此题b2-4ac=l-4=-3V0,故此选项错误；

D.-X2+X+1,根据能在实数范围内分解因式必须△=b2・4ac20,而此题b2・4ac=1+4=5>0,故此选项正确；

故选:D.

点评：此题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意得出b2・4ac的符号是解决问题的关键.

10.4x2-5在实数范围内作因式分解，结果正确的是()

A.(2x+5)(2x-5)B.(4x+5)(4x-5)C.D.

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：直接利用平方差公式分解因式.平方差公式(a-b)(a+b)2=a2-b2.

解答：解:4x2-5=.

故选D.

点评：本题考查平方差公式分解因式，把4x2写成(2x)2,5写成()2是利用平方差公式的关键.

11.将4乂2-4乂-1在实数范围内分解因式，下列结果正确的是()

A.B.C.D.

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：先求出方程4x2-4x-1=0的两个根,再根据ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)即可因式分解.

解答：解：因为4x2-4x-1=0的根为xl=,x2=,

所以4x2-4x-1=.

故选C.

点评：本题考查求根公式法分解因式.把某些二次三项式分解因式，形式复杂不能直接看出需要用求根公式算出4x2

-4x-1=0的两个根，再利用两根分解因式(ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2).

12.将多项式x2y-xy-y在实数范围内分解因式，其中结果正确的是()

A.B.C.D.

考点：实数范围内分解因式。

专题：常规题型。

分析：根据题意先提出公因式y,再分解因式即可.

解答：解:x2y-xy-y

=y(x2-x-I)

故答案为C.

点评：本题考杳了实数范围内怎样分解因式，解答本题的关键是先提出公因式来，再根据一元二次方程分解因式的

方法分解因式即可.

13.把a22al分解因式，正确的是()

A.a(a-2)-1B.(a-1)2C.D.

考点：实数范围内分解因式。

分析：由-1=(-1+)(・1・),-2=(-1+)+(-1-),可知此题可以利用十字相乘法分解因式即可求

得答案.

解答：解：•・•-1=(-1+)(-1-),-2=(-1+)+(-1-),

Aa2-2a-1=(a-1+)(a-1-).

故选C.

点评：此题考查了实数范围内分解因式.注意此题采用十字相乘法即可求得答案.

14.把4x4・9在实数范围内分解因式，结果正确的是()

A.(2x2+3)(2x2-3)B.C.D.

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：先利用平方差公式分解因式，再把2x2写成(x)2,3写成[)2,继续利用平方差公式进行因式分解，然

后再选择答案即可.

解答:解:4x4-9

=(2x2+3)(2x2-3)

=(2x2+3)(x+)(x-).

故选D.

点评：本题考查了实数范围内分解因式，主要利用了平方差公式，熟记公式结构，把2x2写成(x)2,3写成()

2,是解题的关键.

二.填空题

15.(2009•黔东南州)在实数范围内分解因式：x2・2x-4=(x-1+)(x-1-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：本题考查应用公式法进行因式分解的能力，观察式子可做一下变形处理.

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.

解答：解：x2-2x+l-1-4

=X2-2X+1-5

=(x-1)2-5

=(X7)2-(V5)2

=(x-1+)(x-1-).

点评：对有些多项式进行因式分解时，当不能•时之间看出所用方法时，可对多项式进行变形整理，使之能够满足我

们用公式法进行因式分解.

16.(2009•杭州)在实数范围内因式分解:x4-4=(x2+2)(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解•运用公式法。

分析：考查了对一个多项式因式分解的能力.我们在学习中要掌握提公因式法，公式法等技能，当要求在实数范围内

进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.木题先用平方差公式分解因式后，再把剩下的式

子中的(x2・2)写成x2・，符合平方差公式的特点，可以继续分解.

解答：解：x4-4=(x2-2)・(x2+2)=(x2+2)(x+)(x-).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：•提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

17.(2007•潍坊)在实数范围内分解因式:4m2+8m-4=4(m++1)(m-+1).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题.当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公

因式，再对余下的多项式继续分解.此题应捉公因式，然后设计成平方差的形式，再用公式.

解答：解:4m2+8m-4,

=4(m2+2m-I),

=4(m2+2m+l-2),

=41(m+1)2-()2],

=4(m-+1)(m-+1).

点评：本题考查因式分解.因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要

能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2

倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解.解答这类题时•些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对-

些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项.要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解.一般来说，如果可以

提取公因式的要先提取公因式.

18.(2005•温州)在实数范围内分解因式:ab2-2a=a(b+)(b-).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：解决此题，要先找到公因式a,提取公因式之后变为a(b2-2),运用平方差公式.将2看成是()2.

解答:解：ab2-2a,

=a(b2-2)--(提取公因式)

=a(b+)(b-).--(平方差公式)

点评：本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用.分解因式时，有公因式的，先提公国式，再考虑运用

何种公式法来分解.

19.(2005•天水)在实数范围内分解因式x2+x-1=(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：观察式子x2+x-I,可以用求根公式法令x2+x-1=0解得两根X1.X2,则x2+x-1=(x-xl)(x-x2).

解答：解：x2+x+-1

(x+工)5

24

(立)2=(()()

=(x+2)x+1+2ZE][x+4

22222

=(x++)(x+).

点评：本题考查了求根公式法分解因式，即ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2),其中xl,x2是方程ax2+bx+c=0的两个

根.

该题要求熟记求根公式，并能用其进行分解因式.

20.(2005•兰州)在实数范围内分解因式:x2+x・1=(x++)(x+).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现

无理数为止，而且对于不能直接看出来用什么方法进行因式分解的多项式，则需进行变形整理，一般可以在保证式

子不变的前提下添加一些项，如本题，因为有x2+x,所以可考虑配成完全平方式，再继续分解.

解答：解:x2+x+-I

2

=(x+l)-哼)2=[(X+1)+亨(X+1)哼

=(X++)(X+).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.同时还要结合式子特点进行适当的变形，以便能够分解.

21.(2003♦盐城)在实数范闱内分解因式:x3-x二x(x+1)(x-1).

考点：实数范围内分解因式；捉公因式法与公式法的综合运用。

分析：首先提取公因式，再运用平方差公式.平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2.

解答：解:x3-x,

=x(x2-1),

=x(x+1)(x-1).

点评：本题考查了提公因式法、公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，一定要分解到不能再分解为止.

22.(2003•徐州)在实数范围内分解因式:2x2-x-2=2(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解■十字相乘法等。

分析：因为2x2-x-2=0的两根为xl=,x2=,所以2x2-x-2=2(x-)(x-).

解答：解：2x2-x-2=2(x-)(x-).

点评：先求出方程2x2-x-2=()的两个根，再根据ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)即可因式分解.

23.(2003•南京)在实数范围内分解因式：=

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：把3写成的平方，然后利用完全平方公式分解因式即可.

解答:解:x2-2x+3,

=x2-2x+()2,

=(x-)2.

故答案为：(x-)2.

点评：本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；

另一项是两底数积的2倍，把3写成平方的形式是运用公式的关键.

24.(2002•曲靖)把2x2-4x-1分解因式的结果是2(x7-1(x7+).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等。

分析：先求出方程2x2・4x・1=0的两个根,再根据ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)即可因式分解.

解答：解：因为2x2-4x-1=0的根为xl=l-,x2=l+,

所以2x2-4x-1=2(x-1-近)(x-1+近)

22

点评：比种类型的题目，可先求出方程的两个根，再根据ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)因式分解.

25.(2002•兰州)在实数范围内分解因式x2・4x・2的结果是(x-2+)(x-2-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等。

分析：因为x2-4x-2=0的根为xl=2-,x2=2+,所以x2-4x-2=(x-2+)(x-2-).

解答：W-:x2-4x-2=(x-2+)(x-2-).

点评：先求出方程x2-4x-2=0的两个根，再根据ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)即可因式分解.

26.(1999•青岛)在实数范围内分解因式:2x2-8x+5=2(x-)(x-).此结论是：正确的.

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：先求得2x2-8x+5=O,解得xl=,x2=,再利用求根公式分解因式即可.如一般形式为ax2+bx+c=a(x-xl)

(x-x2).

解答：解：V2x2-8x+5=0,

x1=,x2=,

，2x2-8x+5=2(x-)(x-),

故答案为：正确.

点评：本题考查求根公式法分解因式，十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数

a分解成两个因数al,a2的积a1・a2,把常数项c分解成两个因数cl,c2的积cl・c2,并使alc2+a2cl正好是一次项b.如

果形式复杂不能直接看出需要用求根公式算出2x2-8x+5=0的两个根，再利用两根分解因式(ax2-bx+c=a(x-xl)

(xx2)).

27.在实数范围内分解因式:x2-3=(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式.

解答：解：x2-3=x2・()2=(x+)(x-).

点评：本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键.

28.在实数范围内分解因式：x3-2x=x(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：提取公因式x后运用平方差公式进行二次分解即可.

解答：解：x3-2x=x(x2-2)=x(x+)(x-).

点评：本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把2写成()2是继续利用平方差公式进行因式分解的关键.

29.在实数范围内分解因式:3a3-4ab2=a(a+2b)(a-2b).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题.当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公

因式，再对余下的多项式继续分解.此题应提公因式，再用公式.

解答：解：3a3-4ab2=a(3a2-4b2)=a(a+2b)(a-2b).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

30.在实数范围内因式分解:x3・2x2y+xy2=x(x-y)2.

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：这个多项式含有公因式x,应先提取公因式，然后运用完全平方公式进行二次分解.

解答：解：x3-2x2y+xy2,

=x(x2-2xy+y2)…(提取公因式)

=x(x-y)2.…(完全平方公式)

点评：本题考杳用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他

方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

31.在实数范围内分解因式:3x2-9=3(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式3后，再把剩下的式子写成x2-()2,符合平方差公式的特点，可以继续分解.

解答：解:3x2-9=3(x2-3),

=3[x2-()2],

=3(x+)(x-).

点评：本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，把3写成()2是利用平方差公式的关键.

32.在实数内分解因式:x4-2x2=

考点：实数范围内分解因式：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：当•个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解.当要求在实数范闱内

进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.本题提取公因式x2后，可以把剩下的式子写成x2

-,符合平方差公式的特点，可以继续分解.

解答：解：x4-2x2=x2(x2-2),

=x2(x2-2),

点评：本题考查实数范围内的因式分解.因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

33.在实数范围内分解因式：x4+x2・6=(x+)(x-)(x2+3).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等。

分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：x4+x2・6=(x2-2)(x2+3)=(x+)(x-)(x2+3),注意在实

数范围内分解因式要分解到不能分解为止.

解答：解:x4+x2-6=(x2-2)(x2+3)=(x+)(x-)(x2+3).

点评：十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数al,a2的积al

•a2,把常数项c分解成两个因数cl,c2的积cl・c2,并使alc2+a2cl正好是一次项b,那么可以直接写成结果：在运

用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要

多次试捡，务必注意各项系数的符号.

34.在实数范围内分解因式:4a4-h4=(2a2+b2)(a+b)(a-b)

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：对•个多项式进行因式分解时，当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果•般要分到出现无

理数为止.本题4a4和b4分别是2a2和b2的平方，并且符号相反，因此可采用平方差公式进行分解，分解后再根据

式子特点继续分解.

解答：解：4a4-b4=(2a2+b2)(2a2-b2)=(2a2+b2)(a+b)(a-b).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

35.在实数范围内分解因式：x4-4x2+3=(x+1)(x-1)(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法；因式分解-十字相乘法等。

分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解..当要求在实数范围

内进行囚式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.x4-4x2+3中常数项与前2项组不成完全平方

式，所以需要通过添项来凑完全平方式，然后再利用公式进行分解.

解答：解：x4-4x2+3=x4-4x2+3+1-1

=(x4-4X2+4)-1

=(x2-2)2-1

=(X2-2+1)(X2-2-1)

=(x2-I)(X2-30

=(x+l)(x-1)(x+)(x-).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.此题有一定难度，难点在于把三项式X4-4x2+3通过添项的方法来凑完

全平方式，已达到利用公式的目的，由于是在实数范围内分解因式，所以要分到出现无理数为止，很容易漏掉最后

一项使分解不完整.

36.因式分解：4x2-3=.

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：把3写成的平方，然后利用平方差公式分解因式即可.

解答：解:4x2-3=(2x)2-()2,

=(2x+)(2x-).

点评：本题主要考查分解因式的能力，把3写成的平方是利用平方差公式的关键.

37.在实数范围内因式分解:9x2-5=

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止，本题9x2-5可以写成

(3x)2-()2.

解答：解：9x2・5;(3x)2-()2,

点评；本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

38.在实数范围内分解因式:4a4・20a2+25;

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：式子4a4-20a2+25是完全平方式，可以分解成(2a2-5)2,因为2a2=(a)2,5=()2,所以2a2-5仍

可分解.

解答：解：4a4-20a2+25

=(2a2-5)2.

故答案为：.

点评：本题考查了在实数范围内分解因式.根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个

整式的积.对于，不能再分解.

39.分解因式x2(x-)-3(x-)=(x-)2(x+).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解.当要求在实数范围内

进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

解答：解:x2(x-)-3(x-)=(x-)(x2-3)=(x-)2(x+).

点评：本题考查实数范围内的因式分解.因式分解的步骤为：•提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

40.在实数范围内分解因式:2a3-16a=

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式-3,再对余下的多项式继续分解.

解答：解：2a3-16a

=2a(a2-8)

=2a(a+2)(a-2).

点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他

方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

41.分解因式：=

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：本题属于基础题，没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式.

解答：解：=(x-)(x+).

点评：本题考查平方差公式分解因式，其特征为：(1)二项式：(2)两项的符号相反：(3)每项都能化成平方的形

式.

42.在实数范围内分解因式9y4-4=(3y2+2)(y+)(y-).

考点：实数范围内分解因式：因式分解-运用公式法。

分析：此题可根据平方差公式进行两次分解.

解答：结:9y4-4

=(3y2+2)(3y2-2)

=(3y2+2)(y+)(y-).

点评：利用平方差公式进行两次分解，注意要分解完全.

43.若x2+k在实数范围内可以因式分解，则k的值可以为-1(只填一个).

考点：实数范I制内分解因式。

专题：开放型。

分析：由题干中的式子可以判定x2和k不含有同类项，则k必为一个负数.由此可定出k的取值.

解答：解：根据分析可得x2+k只有应用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.所以k一定是一个负数.则可取k=

-I.

点评：本题难点在于确定k的取值范围，由于原式在实数范围内分解，当k大于。时原式不能在实数范围内分解，所

以k小于0.然后根据a2-b2;(a+b)(a-b)可进行因式分解.

44.分解因式:x3-3x=

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式x后，再把剩下的式子写成X2-()2,符合平方差公式的特点，可以继续分解.

解答:解:x3・3x=x(x2-3),

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果i般要分到出现无理数为止.

45.在实数范围内分解因式a474a2+49=(a2+7)(a+)(a・).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解.当要求在实数范围内

进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

解答：解：a4-l4a2+49=(a2+7)(a2-7)=(a2+7)(a+)(a-).

点评：本题考查实数范围内的因式分解.因式分解的步骤为：•提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

46.在实数范围内分解因式:x2y-6xy+9y=y(x-3)2.

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：比题应该先提取公因式，然后再用完全平方公式.

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.

解答：解:x2y-6xy+9y

=y(x2-6xy+9)

=y(x-3)2.

点评：此题考查的是提取公因式的方法，在提取公因式以后运用完全平方的公式对•式子进行分解因式.

47.在实数范围内把多项式x2y-2xy-y分解因式所得的结果是

y(x-1+)(x-1-).

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：先提取公因式y后，再把剩下的式子写成x2-2x+l-2=(x-1)2-,符合平方差公式的特点，可以继续分

解.

解答：解：x2y-2xy-y=y(x2-2x-1)

=y(x2-2x+l-2)

=y[(x-i)2-(近)今

=y(x-1+)(x-1-),

故答案为y(x-1+)(x-1-).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

48.在实数范围内分解因式:m4-25=

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.本题利用平方差公式

分解后，可以把式子m2-5写成m2・()2,符合平方差公式的特点，可以继续分解.

解答：解：m4-25=(m2+5)(m2-5)=(m2+5)(m+)(m-).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

分解因式的方法和规律：

多项式有2项时考虑提公因式法和平方差公式；多项式有3项时考虑提公因式法和完全平方公式；多项式有3项以

上时，考虑分组分解法，再根据2项式和3项式的分解方法进行分解.

49.在实数范围内因式分解：x4+x3-3x2-4x-4=(x+2)(x-2)(x2+x+l)

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：将x4+x3-3x2-4x-4变形为=x4+x3+x2-4x2-4x-4,应考虑运用分组分解法进行分解.x4+x3+x2可提公

因式，分为一组；・4x2-4x-4可提公因式，分为一组.

解答:解:x4+x3-3x2-4x-4

=x4+x3+x2-4x2-4x-4

=x2(x2+x+l)-4(x2+x+l)

=(x2-4)(x2+x+l)

=(x+2)(x-2)(x2+x+l).

故答案为：(x+2)(x-2)(x2+x+l).

点评：本题考查分组分解法分解因式，先把多项式的项割补法进行分组，然后提取公因式，运用平方差公式进行分解,

分解因式要彻底，直到不能再分解为上.解题难点是分组分解找到公因式X2+X+I.

50.在实数范围内分解因式:xy2-5x=x(y+)(y-).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式x后，再把剩下的式子写成y2-()2,符合平方差公式的特点，可以继续分解.

解答：解:xy2-5x,

=x(y2-5),

=x[y2-(()2],

=x(y+)(y-).

点评：本题考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，把5写成平方的形式是解题的关键.

51.若代数式x3+y3+3x2y+axy2含有因式x-y,则a二-5,在实数范围内将这个代数式分解因式，得

x3+y3+3x2y+axy2=.

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题；方程思想。

分析：由于含有x・y的因式，因而当x二y时，代数式值为0.在代数式中，号烂小即x3+x3+3x3+wx3=0,从而求出

a=-5.再将a=-5代入x3+y3+3x2y+axy2,将整式采取割补法变形为x3-x2y+4x2y-5xy2+y3,再运用提公因式法，

十字相乘法分解因式即可.

解答：解：•・•代数式x3+y3+3x2y+axy2含有因式x-y,

/.当x=y时，x3+y3+3x2y+axy2=0,

/.令x=y,即x3+x3+3x3+ax3=0,

则有5+a=0,解得a=-5.

将a=-5代入x3+y3+3x2y+axy2,得

x3+y3+Sx2y-5xy2=x3-x2y+4x2y-5xy2+y3

=(x-y)x2+y(x-y)(4x-y)=(x-y)(x2+4xy-y2)=.

故答案为：.

点评：本题考查了实数范围内分解因式.解题的关键是由代数式含有因式x-y,可令x=y时，则代数式值为0,求出

a的值.本题难度大，难点在于如何割补，可以按照含有因式x-y,将整式按x的降哥排列来进行.

52.在实数范围内因式分解:2x2+4x-3=2(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用。

分析：当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.2x2+4x-3不是完全平

方式，所以只能用求根公式法分解因式.

解答：解:2x2+4x-3=0的解是xl=,x2=-,

所以可分解为2x2+4x-3=2(x-);x-).

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解的

式子的结果一般要分到出现无理数为上.

求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2),其中xl,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.

53.4x-3x2+2=-3(x-)(x-)

考点：实数范围内分解因式。

分析：4x・3x2+2=0时，x=,根据求根公式的分解方法和特点可知：4x-3x2+2=-3x2+4x+2=-3(x+)(x-)

解答：解：V4x-3x2+2=0时,x=,

A4x-3x2+2=-3x2+4x+2=-3(x-)(x-).

故答案为：-3(x-)(x-).

点评：求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.注意当无法用十字相乘法

的方法时用求根公式法可分解因式.

54.因式分解：2x2+3x・3=2(x+)(x+).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等。

分析：2x2+3x・3=0时，x=,根据求根公式法可知：2x2+3x-3=2(x-)(x-).

解答：解：・・・2x2+3x-3=()时,x=,

2X2+3X-3

=2(x+)(x+).

点评：本题考查了用求根公式法分解因式.

55.分解因式:x4-x2y2+y4=(x2+)(x2-).

考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法。

分析：此题先把式子变成能完全平方的形式，再用平方差公式进行分解.

解答：解:x4-x2y2+y4=

=x4+2x2y2+y4-3x2y2=(x2+y2)2-3x2y2

=(x2+)(x2-).

点评：把式子变成能完全平方的形式是解题的关键.

56.将(x2-x-6)(x2+3x-4)+24分解因式得.

考点：实数范围内分解因式；多项式来多项式。

专题：计算题：整体思想。

分析：先将(x2-x-6)(x2+3x-4)因式分解，再用首尾法相乘，将x2+x看作一个整体，将式子展开，再运用十字

相乘法和求根公式法分解因式即可.

解答:解：(x2-x-6)(x2+3x-4)+24

=(x-3)(x+2)(x-I)(x+4)+24

=(x-3)(x+4)(x-1)(x+2)+24

=(x2+x-12)(x2+x-2)+24

=(X2+K)2-14(x2+x-2)+48

=(X2+.K-6)(x2+x-8)

故答案为：.

点评：本题考查了整式的乘法及实数能围内分解因式，解题的关键是整式的乘法中先因式分解，再采取首尾法相乘,

将x2+x看作一个整体展开.

57.在实数范围内分解因式x3-4x的结果为x(x+2)(x-2).

考点：实数范围内分解因式。

分析：首先提取公因式，然后利用平方差公式即可分解.

解答：解：x3・4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2).

故答案为：x(x+2)(x-2).

点评：本题主要考查了因式分解的方法，正确运用各种方法是解题的关键.

58.在实数范围内分解因式x2-5x+l=(x-）（X-）

考点：实数范围内分解因式。

分析：K2-5X+1=0时,x=，根据求根公式的分解方法和特点即可求得答案.

解答：解：:X2・5x+l=0时，x=,

.*.x2-5x+l=(x-)(x-).

故答案为：(x-)(x-).

点评：此题考查了在实数范围内分解因式的知识.注意求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必

注意各项系数的符号.注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式.

59.在实数范围内分解因式：-2x2+5x-l=-2(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式。

分析：首先求出一元二次方程：-2x2+5x-1=0的根，即可分解.

解答：解：•••方程-2x2+5x-1=0的根为x=或.

:.-2x2+5x-1=-2(x-)(x-).

故答案为：-2(x-)(x-).

点评：此题主要考查了•元二次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键.

60.写出一个整数m,使得二次三项式x2-mx+7在实数范围内能分解因式.符合条件的整数m可以是8或・8

考点：实数范围内分解因式。

专题：开放型。

分析：设x2-mx+7=0的两整数根分别为p和5PWq：然后根据韦达定理确定p、q的整数值，根据它们的值来解

m=p+q的值.

解答：解:二次三项式x2・mx+7在实数范围内能分解因式，不妨设x2-mx+7=0的两整数根分别为p和q,pWq,

那么根据韦达定理,p・q=7,

因此①p=7,q=l；

②p=-7,q=-I；

③p=1,q=7；

®p=-1,q=-7；

于是m=p+q=±8；

故答案是：8或-8.

点评：本题考查了在实数范围内分解因式.本题采用了卜字相乘法分解因式的.

61.分解因式：x2+x-1=.

考点：实数范围内分解因式。

分析：先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式.

解答：解:x2+x-1

=(X+2)2・(亚)2

22

=(x+-+—)(x+工-近)

2222

=(X+)(X+).

故答案为：(X+)(X+).

点评：本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用.

62.在实数范围内分解因式x3-4x的结果为x(x+2)(x-2).

考点：实数范围内分解因式。

分析：首先提取公因式，然后利用平方差公式即可分解.

解答：解：x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2).

故答案为:x(x+2)(X-2).

点评：本题主要考查了因式分解的方法，正确运用各种方法是解题的关键.

63.在实数范围内分解因式：2x2+3x・1=(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式。

分析：利用公式法分解因式.

解答:解:令2x2+3x-1=0,则

xl=,x2=,

2x2+3x-1=(x-)(x-).

故答案是：(x-)(x-).

点评：本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现

无理数为止.

64.在实数范围内分解因式:x2-2x+5=(x-)2.

考点：实数范围内分解因式。

分析•：直接根据完全平方公式在实数范围内分解因式即可.

解答：解:x2-2x+5=(x-)2.

故答案为：(x-)2.

点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

65.在实数范围内分解因式:x2-6x+7=(x-3+)(x-3-).

考点：实数范围内分解因式。

分析：将x2-6x+7化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式.

解答：解：x2-6x+7

=x2-6x+9-2

=(x-3)2-2

=(x-3+)(x-3-).

故答案为(x-3+)(x-3-).

点评：本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用.

66.在实数范围内分解因式x2-5x+l=(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式。

分析：x2-5x+l=0时,x=，根据求根公式的分解方法和特点即可求得答案.

解答：解：-5x+l=0时,x=,

/.x2-5x+l=(x-)(x-).

故答案为：(x-)(x-).

点评；此题考查了在实数范围内分解因式的知识.注意求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必

注意各项系数的符号.注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式.

67.在实数范围内分解因式：・2x2+5x-1=-2(x-)(x-).

考点：实数范围内分解因式。

分析：首先求出一元二次方程：-2x2+5x-1=0的根，即可分解.

解答：解：•••方程-2x2+5x-1=0的根为x=或.

-2x2+5x-1=-2(x-)(x-).

故答案为：・2(x・)(x-).

点评：此题主要考杳了一元一次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键.

68.因式分解：-x2+2xy+y2=

考点：实数范围内分解因式。

分析：首先提取公因式・1,再利用配方法得出原式等于・[(x-y)2-(y)2],再利用平方差公式求出即可.

解答:解：V-x2+2xy+y2

=--2xy-y-)

=-(x2-y2-2xy)

=-[(x-y)2-(加y)2]

=-(x-y+y)(x-y-y).

故答案为：-(x-y+y)(x-y-y).

点评：此题主要考查了实数内分解因式，灵活的应用完全平方公式以及平方差公式求出是解决问题的关键.

69.分解因式-4+x4的结果是(x2+2)(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式。

专题：计算题。

分析：把已知因式写成x4-22,符合立方差公式的特点，可以继续分解.

解答：解：-4+x4=x4-22=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+)(x-).

故答案是：(x2+2)(x+)(x-).

点评：本题考杳实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解

的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

70.在实数范围内因式分解:4x4・9;(2x2+3)(x+)(x-).

考点：实数范围内分解因式。

分析：先将多项式变形为(2x2)2-32,套用公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行分解因式，然后再送一步套用公式进

行因式分解.

解答：W：4x4-9=(2x2)2-32=(2x2+3)(2x2-3)=(2x2+3)(x+)(x-).

故答案为：(2x2+3)(x+)(x-).

点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，若在实数范围内分解因式，因式分解要彻底，直到不能分解为止.

71.在实数范围内分解因式:2x3-8x=2x(x+2)(x-2).

考点：实数范围内分解因式。

分析：首先提取公因式2x,再在实数范围内，利用平方差公式分解即可求得答案.

解答：解：2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).

故答案为：2x(x+2)(x-2).

点评：此题考查了在实数范围内分解因式的知识.题目比较简单，注意分解要彻底.

72.在实数范围内因式分解:x2-3x+I=

考点：实数范围内分解因式。

分析：根据x2-3x+l=0的解为：x=，根据求根公式的分解方法和特点得出答案.

解答：解：・.”23x+l=0的解为：x=,

x2-3x+l=(x-)(x-).

故答案为：(X-)(X-).

点评：此题主要考查了实数范围内分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解因式是解决问题的关键.

73.在实数范围内分解因式a2-12;

考点：实数范围内分解因式。

分析：直接利用平方差公式分解因式.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

解答：解：a2-12=a2-(2)2,

=(a+2V3)-；

故答案为：.

点评：本题考查平方差公式分解因式，把5写成(2)2是利用平方差公式的关键.

74.因式分解：4x2・12x+7=(2x-3-)(2x-3+).

考点：实数范围内分解因式。

分析：根据因式分解方法：运用平方差公式a2・b2=(a+b)(a-b),把4x2・12x+7化成(2x-3)2-()2的形

式，即可分解成：(2x-3-)(2x-3+)即可.

解答：解:4x2-12x+7=(2x-3-)(2x-3+).

故答案为：(2x-3-)(2x-3+).

点评：本题主要考查了实数范围内分解因式，对因式分解的方法-平方差公式和完全平方公式的理解和掌握，能找

出式子中的a、b并进一步分解是解此题的关键.

75.在实数范围内分解因式：2a2・4=2(a+)(