知识点38相似位似及其应用一

一、选择题

1.（2019山东枣庄,12,3分）如图，将4ABC沿BC边上的中线AD平:移到△ABC的位置，已知4ABC的面积为16,

阴影部分三角形的面积为9,若AA，=1,贝ijAD等于

第12题图

【答案】B

【思路分析】根据平移得到相似，由相似三角形面积比等于相似比的平方，得到相似比，进而得到两中线的比，求出

A'D的长

【解题过程】由平移可得,△ABCsAAMN,设相似比为上・・・5&姬=16底心川=9,・・・1<2=16:9,・・・1<=4:3,因为人》和

A'D分别为两个三角形的中线,,・・人口41）=1<=4:3,<人口=人今+人1）,・・・人八小。=1:3,・・・人6=1,则AD=3,故

选B

第12题答图

【知识点】图形的平移，相似三角形的性质

2.（2019山东淄博，8,4分）如图，在△力5c中，AC=2,BC=4,。为〃。边上的一点，且/C4O=NB.若

△力。。的面积为。，则A48。的面积为（）

n

A.2aB.-aC.3〃D.-a

22

【答案】C.

【思路分析】在AmC和A/。。中，NC是公共角，NC/Q=NB.,则△比IC"△力。。，根据相似三角形的性质

求出A/8C的面积，进而求出A/IA。的面积.

BC

【解题过程】在△84C和ZUQC中，:NC是公共角，NC4O=NB.,•••△8力Cs△4oc,.・.一二2,

AC

SBC■,

...甘油u=(>=4,又的面积为的面积为4〃，的面积为3Q.

1\DAC

【知识点】相似三角形的判定和性质

3.(2019四川巴中,8,4分)如图口ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,则SA

DEG：S《FG=()

A.2:3B,3:2C,9:4D,4:9

第8题图

【答案】D

【解析】因为DE:AD=1:3,F为BC中点，所以DE:CF=2:3,0ABCD中,DE〃CF,所以△DEGs/\CFG,相似比为

2:3,所以S&DEG：SMTG=4:9.故选D.

【知识点】相似三角形，相似比

4.(2019四川省乐山市，8,3)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置则图中阴影部分的面积为

()

11

A.-B.-D.-

634

L2

第8题图

【答案】A

【思路分析】先根据正方形性质与相似三角形的判定与性质求得。〃的长，再求得阴影部分面积.

第8题答图

【解题过程】•・•四边形川?与四边形都是正方形，・・・4>OC=1,CE=2,AD//CE,：,AADHsRECF,

.ADPH：.4=一",解得QH=L,・••阴影部分面积为Lx1xi=1,故选A.

'~CE~'CH2\-DH3236

【知识点】正方形性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积

5.（2019四川省乐山市，9,3）如图，在边长为百的菱形/4CZ）中，=30。，过点力作力E_L3C于点E,

现将△力8E沿直线/E翻折至△NFE的位置，力/与。交于点G.则CG等于（）

1

A.y[3—1B.1C.一D.皂

4O2

第9题图

【答案】A

【思路分析】先根据菱形性质以及锐角三角函数求BE、EF、CF、DC,再利用相似三角形求CG的长.

【解题过程】•・•AE1BC,・・・NAEB=90°,菱形48CO的边长为JLN8=30。，AAE=-AB--73，

22

BE=CF=ylAB2-AE2=1.5,BF=3,CF=BF-BC=3-VJ,VAD/7CF,AAAGD^AFGC,—

CGCF

,‘喘=票解得:OC=g，点C（O,。故选B.

【知识点】相似三角形的性质和判定

8.（2019四川省眉山市，12,3分）如图，在菱形力BCQ中己知力3=4,ZABC=60°,/E4F=60°,

点“在CZy的延长线上，点〃在。C的延长线上，有下列结论：①，Z"CF,②/EAB=NCEF；③

△ABESAEFC,④若N8/E=15°,则点尸到8C的距离为2行-2,则其中正确结论的个数是

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【思路分析】连接AC,易得△ABC是等边三角形，利用AABE丝△ACF,可得BE=CF；由△ABEWZXACF,

可得AE=AF,进而可得4AEF是等边三角形，进而可得NEAB=NCEF；求出AABE和AEFC的角的度数，

即可判断；过点A作AG_LBC于点G,过点F作FH_LEC于点H,根据FH=CF・cos30°,因为CF=BE,只要

求出BE即可解决问题.

【解题过程】解：连接AC,在菱形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,，4ABC是等边三角形，，AB=AC,

ZBAC=60°,VZEAF=60°,：.ZEAB+ZBAF=ZCAF+ZBAF=600,即NEAB=NCAF,VZABE=Z

ACF=120°,AAABE^AACF,.*.BE=CF,故①正确；由△ABEgZ\ACF,可得AE=AF,VZEAF=60°,

•••△AEF是等边三角形，・・・NAEF=60°,AZAEB+ZCEF=60°,VZAEB+ZEAB=60<>,/.ZCEF=ZEAB,

故②正确；在^ABE中，NAEBV60。，NECF=60°,・,.③错误；过点A作AGJ_BC于点G,过点F作FH

_LEC于点H,VZEAB=15°，ZABC=60°，：.ZAEB=45°，在RtaAGB中，VZABC=60°，AB=4,

LLL

ABG=-AB=2,AG=j3BG=2j3,在RtZXAEG中，VZAEG=ZEAG=45°,・,.AG=GE=2j3,

2

・・・EB=EG-BG=2百-2，VZB/\C=ZEAF=60°,AZBAE=ZCAF,VZABC=ZACD=60°,AZABE=Z

ACF=120°

ZEAB=ZFAC

在AAEB和ZkAFC中，rAB=AC,/.AAEB^AAFC,AAE=AF,EB=CF=2行-2,

ZABE=ZACF=120°

在RtZkCHF中，VZHCF=180°-ZBCD=60°,CF=2百・2,AFH=CF*sin600=（2石・2）・母=3・石.

:.点F到BC的距离为3-M.故④错误.故选B.

【知识点】菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，锐角三角形函数

%（2019重庆市B卷，3,4）下列命题是真命题的是（）

A.如果两个三角形相似，相以比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3

B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9

C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3

D.如果两个三角形相似，相以比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9

【答案】B

【解析】如果两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.

即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积匕是相似比的

平方，即16:81.故选B.

【知识点】真命题，假命题，相似比

10.（2019重庆A卷，3,4）如图，△ABOsRCDO,若80=6,DO=3,CD=2,则48的长是（）

A.2B.3C.4D.5

第3题图

【答案】C.

,4BBOAB6山田

【解析】,：△ABOS^CDO,：.——=——.,:B0=6,DO=3,CD=2,：——=-.：.AB=4.故选C.

CDDO23

【知识点】图形的相似；相似三角形的性质

11.（2019安徽省，7,4分）如图，在R3ABC中，ZJCZ?=90°,AC=6,8C=12,点。在边8。上，点后在

线段力力上，EFL4c于点F,EG1E尸交力8于点G.若EF=EG,则CO的长为（）

【答案】B

【解析】解：作DH/JEG交AB于点、H,则A/IEGSAJ。"，

.AEEG

，•9

ADDH

：EFLAC,ZC=90°,

/.ZEFJ=ZC=90°,

EF//CD，

MEF^MDC,

.AE_EF

"AD~CD

.EG_EF

,~DH~~CD

EG=EF,

DH=CD,

设。方=丫,则CD=x,

vBC=\2,AC=6,

BD=12-x,

vEFLAC>EF1EG,DH//EG,

EG//AC//DH,

kBDHsbBCA,

笔"案‘即"号‘解得‘

x=4,

:.CD=4,

故选B.

【知识点】相似三角形的判定与性质

12.(2019四川南充，8,4分)己知48=8,A'B'=6,则型=()

B'C

416

A.2B.-C.3D.—

39

【答案】B

【解析】解—小△丽，，...存=器=泻.故选：B.

【知识点】相似三角形的性质

13.（2019甘肃武威，5,3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

【答案】B.

【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选

B.

【知识点】几何变换

14.（2019广东广州，7,3分）如图，口48CZ）中，AB=2,AD=^,对角线4C,8。相交于点0,且E,F,G,

〃分别是4。，BO,CO,的中点，则下列说法正确的是（）

A.EH=HGB.四边形EFG”是平行四边形

C.ACA.BDD.XABO的面积是△石斤。的面积的2倍

【答窠】B

【解析】解:V£,F,G,"分别是/O,BO,CO,。。的中点，在口48。。中，AB=2,力力=4,

：.EH=^AD=2,HG=^CD=^AB=l,

:・EH卢HG,故选项/错误；

•；E,F,G,〃分别是力O,BO,CO,。。的中点,

11

:,EH=^AD=^BC=FG,

・•・四边形EFG”是平行四边形，故选项8正确；

由题目中的条件，无法判断/C和8。是否垂直，故选项C错误；

•・•点£、/分别为04和。8的中点，

：,EF=^AB,EF//AB,

:AOEFSAOAB,

.S^AEF_/竺、2_1

=?

即△力8。的面积是的面积的4倍，故选项D错误，

故选：B.

【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质

15.（2019广东省，10,3分）如图，正方形48CQ的边长为4,延长C8至E使£8=2,以£8为边在上方作

正方形EFGB,延长尸G交。C于A/,连接力“，力总〃为/I。的中点，连接尸〃分别与48,4”交于点N、

K：则下列结论：①②NAFN=NHFG；③FN=2NK；④S^ADM=1：4.其中正确

的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】解：•・•四边形EFGB是正方形，EB=2,

:.FG=BE=2,/FGB=90",

•・•四边形力AC。是正方形，以为力。的中点,

・"。=4,47=2,

ZBAD=90Q,

:・/HAN=NFGN,AH=FG,

•・•/ANH=/GNF,

•••△/N〃0△GM'(AAS),故①正确;

J乙AHN=4HFG,

'：AG=FG=2=AH,

：,AF=y/2FG=y/2AH,

JNAFH乎ZAHF,

:・/AFN#NHFG,故②错误；

♦：△ANHWAGNF,

:.AN=%G=1,

*：GM=BC=4,

•_A_H____G_M___n

''AN~AG~，

•:/HAN=NAGM=90",

・•・△AHNSAGMA,

・•・ZAHN=ZAMG,

,:ADUGM、

：.ZHAK=ZAMG,

，NAHK=NHAK,

:・AK=HK,

:・AK=HK=NK,

・：FN=HN,

:・FN=2NK：故③正确:

•・•延长户G交QC于

，四边形4DWG是矩形，

：.DM=AG=2,

■:S“FN=%N・FG=1x2Xl=l,S&AD后^AD*DM=1x4X2=4,

:・SyFN：S^ADM=1：4故④正确，

故选：C.

【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质

16,（2019贵州黔东南，10,4分）如图，在一斜边长300〃的直角三角形木板（即RtZVlCB）中截取一个正方形

CDEF,点。在边上，点石在斜边上，点尸在边4C上，若//：AC=\：3,则这块木板截取正方形

CDEF后,剩余部分的面枳为（）

A.200cm2B.170c//rC.150cm2D.1OOcw2

【答案】D

【解析】解：设力/=X，则/C=3x,

•・•四边形CQ”为正方形,

:・EF=CF=2x,EF//BC,

'：EF!/BC,

・•・AAEFsAABC,

EFAF1

•*•

BCAC3

:,BC=6x,

在Rta/14C中，AB=V(3x)2+(6x)2=3>/5x,

.,.3V5x=3O,解得x=2百，

.\/lC=6V5,BC=12底

・••剩余部分的面积=4x6西X12的一(4V5)2=100(c〃J).

故选：D.

【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用

17.（2019江苏连云港，6,3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的

规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”

所在位置的格点构成的三角形相似（）

A.①处B.②处C.③处D.④处

（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由网格得，帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2石、4及;

“车”、“炮”之间的距离为1,“炮”②之间的距离为石，“车”②之间的距离为2&,

石_20_1

.双=汲=5'

・•・马应该落在②的位置，

故选B.

【知识点】相似三角形的判定与性质

18.（2019山东德州，12,4分）如图，正方形点下在边44上，且力F:FB=1:2,CE1DF,垂足为

M,且交力。于点E,AC与DF交于点、N,延长C8至G，使BG」8C,连接CM.有如下结论：①DE=AF；

2

上述结论中，所有正确结论的序号是（

@AN=^AB；©Z/iDF=Z（7MF；@SMVF:=1:8.）

A.®®B.①③C.①②③D.②③④

【答案】C

【解析】•.•四边形是正方形,

..AD=AB=CD=BC,NCDE=NDAF=90°,

CEA.DF,

NDCE+ZCDF=NADF+ZCDF=90°,

£ADF=NDCE,

在A4D尸与ADCE中，

/DAF=NCDE=%。

-AD=CD,

/ADF=ZDCE

/.MDF=ADCE(ASA),

；.DE=AF；故①正确；

vABUCD,

.AFAN

"~CD~~CN，

vAF:FB=\:2,

：.AF:AB=AF:CD=\:3,

AN1

「・---二一,

CN3

ANI

AC4

-AC=yf2AB,

AN1

/.~=—,

yJ2AB4

/.AN=—ABi故②正确；

4

作GH_LCE于“，设/产=QE=a,BF=2a,贝lj=。。=8c=3a,EC=Ma,

由NCMDsbCDE,可得CM=见见a,

10

由bGHCsbCDE,可得CH=,

20

:.CH=MH=-CM,

2

GH1CM,

GM=GC,

"GMH=NGCH,

4FMG+NGMH=90°,ZDCE+ZGGW=90°,

NFEG=NDCE,

•；NADF=ZDCE，

ZADF=£GMF；故③正确,

设的面积为利,

vAFIICD，

AFFN1

-=—=MFNsbCDN,

CDDN3

，MDN的面积为3m,ADCN的面积为9m,

MDC的面积=MBC的面积=12m,

•*,S^ANF：Spq边形。、，q=1：11，故④错误,

故选C.

【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质

1%(2019四川绵阳，12,3分)如图，在四边形/BCQ中，AB//DC,ZADC=9(Y),/1B=5,CD=AD=3,点

E是线段CO的三等分点，且靠近点C,N/EG的两边与线段力8分别交于点“、G,连接/C分别交E/7、EG

于点〃、K.若BG=W，ZFEG=45°,则HK=()

3V213V2

cVD-—

【答案】B

【解析】解：・・・/力。。=90°,CD=AD=3,

・FC=3&,

*4=5,BG=I，

7

：.AG=y,

•:AR//DC.

：・4CEKs色AGK,

.CECKEK

••而=族=记'

,1CKEK

*,Z_AK_KG'

2

CKEK2

•*•，

AKKG7

♦:CK+AK=3a,

:・CK=竽，

过E作EM工AB于"，

则四边形力。EM是矩形，

：,EM=AD=3,AM=DE=2,

：,MG=I，

：.EG=y/EM2+MG2=竽，

EK2

•••-9

KG7

:,EK=卓，

VZHEK=ZKCE=450,ZEHK=ZCHE,

:.△HEKS^HCE,

.HE13

,而=逅=/

3

・••设HE=3x,HK=V5x,

，：AHEKs/XHCE,

EHHK

•*•_—__—_，

HCEH

3xV5x

J不邛二封

解得：

・H15/

••/7A-$，

故选B.

【知识点】勾股定理：相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；矩形的判定和性质,

20.（2019四川南充，9,3分）如图，正方形MVC8在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形得到折痕力E,

再翻折纸片，使44与4O重合，以下结论错误的是（）

A.482=10+2石B.£2=叵11C.BC2=CD・EHD.=

BC25

【答案】A

【解析】解：在RtAAEB中，AB=JAE2+BE2=x/F+l7=右，

vABUDH,BHUAD,

四边形AB1ID是平行四边形，

'：AB=AD,

.•.四边形力8〃Q是菱形，

/.AD=AB=x/5,

：.CD=AD=AD=旧-T,

.•・攵=正口，故选项8正确，

BC2

vBC1=4,CD*EH=（x/5-1）（75+1）=4,

BC'=CD・EH,故选项C正确，

•.•四边形力8"。是菱形，

NAHD=NAHB,

二.sinZ.AHD=sinZ.AHB=-^-=/1=后",故选项0正确，

AH犷+（一+尸5

故选:A.

【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质：正方形的性质：解直角三角形；相似三角形的判定与性质

21.（2019浙江绍兴，10,4分）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面

高度为（）

设=则/O=8-x,

根据题意得：1(8-x+8)x3x3=3x3x6,

解得：x=4,

:.DE=4,

•.ZE=90。，

由勾股定理得：CQ=J/)炉+。炉在+32=5,

NBCE=NDCF=90°,

:"DCE=/BCF,

•:ZDEC=/BFC=90。,

\CDE^\BCF，

CECD

-=-----9

CFCB

即w

故选:A.

【知识点】认识立体图形；勾股定理：相似三角形的判定与性质

22.（2019浙江温州，10,4分）如图，在矩形力8C。中，E为4E中点,以8E为边作正方形阴犷G,边EF交

CD于点H,在边8E上取点M使8M=4C,作MNUBG交CD于点、L,交FG于点、N,欧几里得在《几何原

本》中利用该图解释了（。+6）（。-6）=/-/，现以点尸为圆心，此为半径作圆弧交线段。〃于点尸，连结EP,

记AEP”的面积为百，图中阴影部分的面积为$2•若点/,L,G在同一直线上，则立的值为（）

S]

——a16

A

H

A.旦B6旦

C.

23~T。・器

【答案】C

【解析】解：如图，连接4GL,PF.

13

D

G

由题意：Sgj形小〃。=S阴=/一b*,PH=\Ja2-b2,

•.•点L,G在同一直线上，AMHGN,

：.MMWMNL,

.AM_ML

"而一祈’

a+ba-h

・•・____——____，

a-hb

整理得a=3/),

S、师下二&2

•商一a2-h2~Sb2~~T

故选：C.

【知识点】平方差公式；正方形的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质；相似三角形的

判定与性质

二、填空题

1.（2019山东滨州，16,5分）在平面直角坐标系中，△48。三个顶点的坐标分别为/（一2,4）,8（—4,0）,

1

O（0,0）.以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的Q,得到△CZ）O,则点力的对应点。的坐标

是.

【答案】（一1，2）或（1,-2）

1111

【解析】点A的对应点C的坐标是（一2义［，4X1）或（-2X（一二），4X(--)),即(-1,2)或(1,

2222

-2).

【知识点】位似

2.（2019山东滨州，19,5分）如图，口/8CO的对角线XC,80交于点O,CE平分NBCD交AB于点、E,交

BD于点、F,且N/i8C=60°,AB=2BC,连接下列结论：@EOYAC；②4s3处；③4C：BD

=4五：7；④FB?=OF・DF.其中正确的结论有•（填写所有正确结论的序号）

c

o.

【答案】①③④

【思路分析】由平行四边形的性质求出NBCD的度数，再由角平分线的定义得出NBCE的度数，进而得出ABCE

是等边三角形，再由AB=2BC,得巴ZXACE是等腰三角形，可得△ABC为直角三角形，由中位线定理得出0E

±AC,故①正确；或由等腰二角形的性质得出OE_LAC；由中位线定理得出OF；DF=1：2,贝US~\5）=S.oc=3S

△OCF，可得②错误；利用锐角三角函数或勾股定理得出AC与BC的关系，再用勾股定理得出0B与BC的关系，

可得AC：BD=x/21：7,故③正确：由OF：BF=1：2,将BF和DF都化成OF,可得④正确.

【解题过程】在YABCD中,AB〃X,ZABC=60°,/.ZBCD=120°,VCET^ZBCD,AZBCE=60o,AABCE

是等边三角形,ABE=BC=CE,ZBEC=60°.VAB=2BC,AAE=BE=CE,AZEAC=ZACE=30°,AZACB=90°.在

YARCD中，AO=CO,RO=DO.，OF.是△ACR的中位线，/.0F/7RC,/.OF,JAC,故①正确：TOF.是△

1

ACB的中位线，.\OE=-BC,VOE/7BC,/.AOEF^ABCF,/.OF：BF=OE：BC=1：2,/.SA/\OD=SZ1BOC=3S

r-V3

△OCF，故②错误；在RtZXABC中，・・・AB=2BC,AAC=V3BC,AOC=—BC.在Rt△BCO中，

OB=J^?C2+=BC,/.BD=V?BC,/.AC：BD=V3BC：V7BC=：7,故③正确；

VOF：BF=1：2,，BF=2OF,OB=3OF,VOD=OB,ADF=4OF,ABF2=(2OF)2=4OF2,OF-DF=OF-4OF=4OF2,

ABF-OF-DF,故④正确.

【知识点】角平分线的定义；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；中位

线定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数

3.（2019四川省凉山市，16,4）在G1BCO中，£是力。上一点，且点E将4。分为2：3的两部分，连接8E、

AC相交于尸，则S“EF:S/U"是▲.

【答案】4：25或9：25

【思路分析】分AE：DE=2：3与4E：DE=3：2两种情况讨论，借助相似三角形的性质求出面积比.

【解题过程】在58C。中，-：AD/7BC,A^AEF^/\CBF.如答图i,当/£：。后二2：3时，AE：AD=2:5,V

AD=BC,：.AE：BC=2:5,:・S“EF:S&CB产4:25；如答图2,当月E：DE=3：2时，AE：40=3：5,*：AD=BC,

25或9：25.

（第16题图答图（第16题图答图2）

【知识点】三角形相似的判定与性质；分类讨论思想

17.（2019四川省凉山市，17,4）将抛物线尸（x-3）2-2向左平移个单位后经过点力（2,2）.

【答案】3

【思路分析】先假设平移后抛物线解析式，再代入4（2,2）求参数”

【解题过程】设抛物线向左平移用个单位，则平移后的解析式为产（厂3+〃。2-2,将4（2,2）代入，有2=（2-3+〃力

-2,解得：皿=-1（舍去），佻=3,工〃尸3.故答案为3.

【知识点】抛物线的平移规律；待定系数法

4.（2019四川省自贡市，17,4分）如图，在中，/ACB=90°,4?二10,BC=6,CD/；AB,N48。的

平分线4。交4c于点£,DE=.

第17题图

【答案】|V5.

【解题过程】解：・・・BO平分N"C.

••・/ABD:/CBD,

*：ABf/CDy

・•・/D=/ABD,

：・4CBD=4D,

:.CD=BD=6.

在Rt^ABC+«,AC=\/AB2-BC2=V102-62=8.

•:AB//CD,

：・»ABESXDCE,

.CEDECD63

..—=—=-=—=一,

AEBEAB105

：,CE=^AE,DE^BE.

即C£=1/1C=|X8=3.

在Rt^BCE中，BE=>JBC2+CE2=V62+32=375.

・・・。七=14七=乂3花芸\片.

D>O

【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质

5.(2019浙江省衢州市，16,4分)如图，由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。

(1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,

顶点B,D位于y轴上，O为坐标原点，则丝的值为__。

OA

(2)在(1)的基础上，继续摆放第二个"7”字图形得顶点B，摆放第三个“7”字图形得顶点F?.依此类推，…一

摆放第II个“7”字图形得顶点……则顶点F20I9的坐标为。

【答知⑴3⑵（喑，4。5回

【思路分析】（1）根据图形分析ACDB与AOBA相似，根据相似三角形的性质计算OB：OA的值；

（2）连接CA,作FM_Lx轴于M,作CHJ_y轴于H,作CN_LFM于N,根据△MAF与△OBA相似，△DCH

与ZkBAO全等，根据勾股定理求得FN的值，从而求得点F的坐标，进而推得匕，F2,……F2oi9的坐标。

【解题过程】（1）因为NDBC+NBDC=90°,NDBC+NOBA=90°,NDCB=NBOA=90°,所以NBDC=NOBA,

所以△CDBsaOBA,所以OB:OA=CD:CB=J.

2

（2）因为OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得0B=—,OA=.因为NCDH=NABO,ZDHC=Z

BOA=90°,CD=AB,所以△DHCgZXBOA,所以四边形OACH为矩形，DH=g,HC=^^同理△MAFs4

OBA,由AF=3得，AM=,FM=殍，在直角三角形NCF中，

CN=AM=竽,CF=72,NF=Jc尸-CN?=g,在直角三角形ABC中,AC=石，F点的坐标为（竽+竽

V5+—）;根据规律R比F的横坐标增加些单位、纵坐标增加述，F,P点的坐标为｛述+羽5义

55555

2,y[5+——X2）;F?比Fi的横坐标增加一、二单位，纵坐标增加一丫二单位，F2点的坐标为（、5+-'5乂3,

55555

yf5X3）;所以F2019的坐标为（-+X2020,\[5X2020），即（，405>/5）。

【知识点】图形变换相似三角形的判定和性质勾股定理数字与图形规律探究

6工（2019广东广州，16,3分）如图，正方形/4CO的边长为“，点E在边力4上运动（不与点儿6重合），Z

O4W=45°,点尸在射线力河上，KAF=y[2BE.C尸与力。相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：

@Z£CF=45°；②△4EG的周长为（1+孝）a；（3）BE2+DG2=EG2；④4山尸的面积的最大值土?.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①④

【解析】解：如图1中，在8c上截取连接EH.

图1

♦：BE=BH,NEBH=90°,

：.EH=42BE,，：AF=4iBE,

:・AF=EH,

•：/DAM=/EHB=45°,/BAD=90°,

；・NE4E=NEHC=135°,

，：BA=BC,BE=BH,

:.AE=HC,

：.4FAEm丛EHC(SAS),

：.EF=EC,ZAEF=ZECH,

•；NECH+NCEB=90°,

•••N4EF+NCEB=90°,

：・NFEC=90°,

：・NECF=NEFC=45°,故①正确，

如图2中，延长力。到，，使得DH=BE,则ACBEgACDH(S4S),

:・NECB=NDCH,

：・NECH=NBCD=90°,

：,/ECG=/GCH=45°,

VCG=CG,CE=CH,

•••△GCE且△GC〃(SAS),

:.EG=GH,

*：GH=DG+DH,DH=BE,

:.EG=BE+DG,故③错误，

:4EG的周长=4£'+EG+4G=4G+G"=4O+O〃+/lE=/lE+E8+4O=48+4O=2a,故②错误,

设BE=x,则力七=。-达AF=\[2x,

S^AEF=(a-x)Xx=-^ax=-(.x2-ax+)=-^(x-3)2+^z2,

・・—vo，

・，.x=需时，△/1EF的面积的最大值为.故④正确,

乙8

故答案为①④.

【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理：相似三角形的判定与性质

7.（2019江苏南京，15,2分）如图，在△力8C中，8。的垂直平分线MV交46于点。，CD平分NACB.若

AD=2,BD=3,则/C的长.

【答案】g.

【解析】解：作4”_L8C于应如图所示:

•••C。平分/4C8,

ACAD2

••--，

BCBD3

设力C=2x,filjBC=3xt

•・、WN是8C的垂直平分线，

:.MNIBC,BN=CN=

:.MN〃AE、

ENAD2

•*•_=__—,

BNBD3

:.NE=x,

51

・•・BE=BN+EN=弄CE=CN-EN=分，

由勾股定理得：AE1=AB--BE2=AC2-CE2,

即5?-(-X)2=⑵)2-&)2,

22

解得：戈=孚，

AJC=2x=V10；

故答案为：710.

【知识点】与圆有关的位置关系

8.(2019江苏扬州，18,6分)如图，在A/1BC中，48=5,4c=4,若进行以下操作，在边8C上从左到右

依次取点R、2、］、2、…；过点R作力8、47的平行线分别交力C、月8于点品、耳；过点R作月5、

力C的平行线分别交力C、43于点鸟、F八过点2作/3、4C的平行线分别交力C、于点石3、人…，则

4(。禺+£)2/2+--+02019七2019)+5(。£+D/?+..■+^019^2019)=

【答案】40380

【解析】解：•♦•&£///C，D.EJiAB,

._BF、,即AE_AB-DE,

AC~AR''AC~AR

♦.•48=5,BC=4,

4D£+5Z)M=20,

同理4£>2&+5&E=20,...»40如9&0I9+5。20|9居019=20，

・'.4(Z)|£*|+D?E?+...+ZXoigE,oN)+5(RE+D?F?+...+Q2019居019)=20x2019=40380:

故答案为40380.

【知识点】平行线的性质；规律型

9,（2019四川南充，16,3分）如图，矩形硬纸片/BC。的顶点力在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点8在x轴

的正半轴及原点上滑动，点E为的中点，AB=24,BC=5.给出下列结论：①点力从点。出发，到点8运

动至点。为止，点上经过的路径长为12乃；②AO/出的面积最大值为144；③当。力最大时，点。的坐标为（交叵，

26

空区）.其中正确的结论是___________.（填写序号）

26

【答案】②@

【解析】解：•.•点E为48的中点，AB=24,

:,OE=-AB=\2,

2

：.的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧,

•.•403=90。，

90xl2x",

点£经过的路径长为=0冗,故①错误:

180

当AOIB的面积最大时，因为48=24,所以△。力3为等腰直角三角形，即。力=。8,

•・•£为力8的中点,

：.OEA.AB,OE=-AB^\2,

2

・•・S.Mg=gx24xl2=144，故②正确;

如图，当O、E、。三点共线时，。。最大，过点。作。尸_Ly轴于点尸，

•/AD=BC=5,AE=—AB=12»

2

DE=y/AD2+AE2=752+122=13,

:.OD=DE+OE=13+12=25,

设。尸二工，

二.OF=yloD2-DF2=V252-x2,

•••四边形力8。是矩形，

ZDAB=90°,

ADFA=ZAOB,

:.NDAF=NABO,

\DFA^MOB

DFDA

~OA~7B

x_5

O4=24'

OA=—

5

•.•E为力8的中点，408=90。，

AE-OE，

:4OE=NOAE,

...AD尸Os&?Q4,

OPOF

~AB~~OA

2424,v

手

初俎25\/26、=一生叵舍去,

解得x=------

2626

26

~25廊125廊、助自p施

D（------,-------）.故③正确.

2626

故答案为：②©.

【知识点】直角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定和性质

10.（2019四川宜宾