广东省广州市仲元中学2025-2026学年高三月考数学试题（1月）（含答案）

/2025-2026学年广东省广州市仲元中学高三（上）1月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={x∈Z|(x+4)(A.{−4,−3,−2,−1} B.{−3,−2,−1}

C.{−3,−2,−1,3} D.⌀2.已知向量a=(1,0)，b=(2,3)，c=(1,−1)，若(λaA.−5 B.−1 C.1 D.53.设z=32−i3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.设等比数列{an}的前n项的和为Sn，a2=6，A.−9 B.14 C.21 D.265.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为(

)A.325π12

B.76π3

C.6.已知直线l：mx+y−m−1=0与圆O：x2+y2=4相交于A、A.2 B.3 C.4 D.57.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π12A.12 B.−12 C.−8.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=A.−32 B.32 C.16 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n B.若m⊥α，m//n，n⊥β，则α//β10.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是(

)A.相关系数r变小

B.经验回归方程斜率变大

C.残差平方和变小

D.决定系数R211.已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n∈N∗，0<p<1，记A.a+b=1 B.p=12时，a=b

C.0<p<12时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(3x+ax)(2x−1x)713.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A14.已知函数f(t)=(1t−1+m)lnt，当t∈(1,2]四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=2，点D，E分别是棱PB，PC的中点．

(1)证明：PC⊥平面ABE；

16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，2(b−c)sinA+C2cosπ−B2=asinA−csinC．

(1)若a=2，求△ABC面积的最大值；

(2)若B=π317.(本小题15分)

为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期.假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关．

(1)从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；

(2)若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望．18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,2)，短轴长为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点H(m,0)且m≥2，若椭圆C上的点到H的距离的最小值是3，求实数m的值；

(3)椭圆C与y轴的交点为A、B(点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=−cosx，g(x)=x22−1,x∈[0,+∞)．

(1)判断g(x)≥f(参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.BC

11.ABC

12.1

13.214.2ln15.解：(1)证明：在△PAC中，由PA=AC，E为PC的中点，∴AE⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，

又AB⊥AC，PA∩AC=A，且PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，

∵PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，

又AB∩AE=A，且AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE，

∴PC⊥平面ABE．

(2)由题可知PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，以A为坐标原点，

以AB,AC,AP方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示，

不妨设AB=2a(a>0)，则A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(a,0,1)，E(0,1,1)，

∴AD=(a,0,1)，AE=(0,1,1)，PC=(0,2,−2)，

设平面ADE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则n1⊥ADn1⊥AE，则n1⋅AD=0n1⋅AE=0，∴ax1+0+z1=00+y1+z1=0，

令x1=1，则y1=a，z1=−a，∴n1=(1,a,−a)，

由(1)可知，平面ABE的一个法向量可取为PC=(0,2,−2)，

∵二面角17.(1)设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M，则M的对立事件是一个给药周期也没有参加完，

设一次给药出现F症状为事件A，则一个一个给药周期也没有参加完的概率为：

P(M−)=P(AA)+P(A−AA)=(13)2+23×(13)2=527．

∴一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为：

P(M)=1−P(M−

X

1

2

3

P

1

8

64E(18.解：(1)由题意得椭圆过点P(2,2)，且短轴长为4，

所以4a2+2b2=12b=4，解得b=2a=22，

所以椭圆C的方程为x28+y24=1；

(2)设点Q(x0,y0)为椭圆C上任一点，则x028+y024=1，所以y02=4−x022，

则点Q到H的距离为d=(x0−m)2+y02=12x02−2mx0+m2+4=12(x0−2m)2−m2+4，

由于Q(x0,y0)在椭圆上，所以x0∈[−22,22]，

令y=12(x0−2m)2−m2+4，其对称轴为x0=2m，

由题知m≥2，此时函数y=12(x0−2m)2−m2+4在19.(1)解：g(x)≥f(x)成立，理由如下：

令h(x)=g(x)−f(x)=x22+cosx−1，h′(x)=x−sinx，

令k(x)=