圆周角和圆心角的关系课件北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版数学九年级下册第三章

圆3.4.1圆周角和圆心角的关系1.圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.弧弦第1页：情境导入——认识两种角（5分钟）​1.回顾旧知：提问“什么是圆心角？”（引导学生回忆：顶点在圆心的角叫做圆心角，如⊙O中∠AOB），并复习圆心角定理的核心内容（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。​2.情境设问：展示圆形笑脸图案，标注圆心O和圆上一点C，连接AC、BC，形成∠ACB。提问“这个角（∠ACB）的顶点在哪里？它和圆心角有什么不同？我们把这样的角叫做什么角？它和对应的圆心角∠AOB之间又存在怎样的关系呢？”​3.引出课题：明确本节课主题——3.4.1圆周角和圆心角的关系，共同探究两种角的定义、特征及数量关系。​第2页：概念辨析——圆周角的定义与特征（8分钟）​1.圆周角定义：结合导入环节的∠ACB，给出圆周角的严格定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。​2.特征提炼：引导学生总结圆周角的两个核心特征：①

顶点在圆上；②

两边都与圆相交（缺一不可）。​3.辨析练习：展示一组角（包含顶点在圆内、圆外的角，两边不都与圆相交的角，圆周角、圆心角），让学生判断哪些是圆周角，并说明理由，强化对定义的理解。​第3页：实验探究——圆周角与圆心角的关系（15分钟）​1.明确探究对象：在同圆⊙O中，画出同一条弧AB所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB（C为圆上任意一点），明确探究核心：同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系。​2.动手测量：请学生拿出量角器，测量自己画出的∠AOB和∠ACB的度数，记录数据（如∠AOB=80°，∠ACB=40°；∠AOB=120°，∠ACB=60°），小组内交流数据，初步猜想关系。​3.分类探究：考虑到圆心与圆周角的位置关系有三种（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部），引导学生分情况画图探究：​①

情况一：圆心在圆周角一边上（如∠ACB，OC在AC上）：∵OA=OC，∴∠A=∠C，又∵∠AOB=∠A+∠C，∴∠ACB=1/2∠AOB；②

情况二、三：通过作辅助线（过C作直径CD），转化为情况一，最终均得出∠ACB=1/2∠AOB的结论。​第4页：定理总结与拓展（10分钟）​1.核心定理：引导学生归纳得出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。​2.符号表示：结合图形（⊙O中，弧AB所对的圆周角为∠ACB，圆心角为∠AOB），用符号表示：∵∠ACB和∠AOB都对应弧AB∴∠ACB=1/2∠AOB。​3.推论拓展：基于定理推导两个重要推论：①

同弧或等弧所对的圆周角相等；②

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。（结合图形直观演示，帮助学生理解）探究新知顶点在圆心圆心角角顶点发生变化时,我们得到几种情况?点A在圆内点A在圆上点A在圆外圆周角圆周角定义:

顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.指出图中的圆心角和圆周角.ABOC圆心角：∠AOB、∠AOC、∠BOC圆周角：∠BAC、∠ABC、∠ACB在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B

对球门AC

的张角（∠ABC）有关.ABDECABDEC当球员在B，D，E

处射门时，他所处的位置对球门AC

分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？做一做如图，∠AOB=80°.（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？议一议C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.先证明哪一种情况？C已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：证明：（1）圆心O

在∠C

的一条边上，如图.∵∠AOB

是△AOC

的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，CC你能完成另两种情况的证明吗？C已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：提示：能否转化为前一种已证明的情况?D过点C作直径CD.由已证可得:C已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：提示：能否也转化为第一种已证明的情况?D过点C作直径CD.由已证可得:想一想在上面的射门游戏中，当球员在B，D，E

处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？●

O所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根据圆周角定理，●

O推论同弧或等弧所对的圆周角相等.返回C1.下图中，∠α为圆周角的是(

)返回2.∠BAC∠D和∠C返回3.B[2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(

)A．40°B．50°C．80°D．100°返回4.B如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为(

)A．60°B．75°C．80°D．90°返回5.C[教材P104“复习题”第5题变式]如图，点A，B，C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝52°，则∠OAC的度数为(

)A．52°B．45°C．26°D．20°返回6.B如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(

)A．28°

B．34°C．56°D．62°返回7.5如图，⊙O的直径是10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝30°，则BC＝________.返回8.D[教材P80“随堂练习”第2题变式]如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(

)A．∠B

B．∠CC．∠DEB

D．∠D返回9.28°返回10.55[2024北京中考]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝________°.11.(4