第14课时二次函数的图象与性质（二）

第三单元函数及其图象第14课时二次函数的图象与性质（二）1.

二次函数与方程、不等式之间的关系

b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0a

＞

0抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点

有两个交点有一个交点没有交点不等式ax2＋bx

＋c＞0解集为x＜x1或x＞

x2解集为x≠x1（或

x≠x2）解集为全体实数

b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0a

＞

0不等式ax2＋bx

＋c＜0解集为x1＜x

＜x2无解无解

b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0a

＜

0抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点

有两个交点有一个交点没有交点不等式ax2＋bx

＋c＞0解集为x1＜x

＜x2无解无解不等式ax2＋bx

＋c＜0解集为x＜x1或x＞

x2解集为x≠x1（或

x≠x2）解集为全体实数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实

数根有两个不相等

的实数根有两个相等的

实数根无实数根2.

二次函数图象与系数的关系

符号图象的特征a（决定开口方向）a＞0开口向上a＜0开口向下a，b（决定对称轴

的位置）b＝0对称轴为y轴ab＞0（b与a同号）对称轴在y轴左侧ab＜0（b与a异号）对称轴在y轴右侧c（决定与y轴的交点

位置）c＝0图象过原点c＞0与y轴的正半轴相交c＜0与y轴的负半轴相交类型之一二次函数与x轴的交点1.

［2024•达州］抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点

的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是

（

A

）A.

b＋c＞1B.

b＝2C.

b2＋4c＜0D.

c＜0A

【解析】依题意，设抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，横坐标分别

为x1，x2（x1＜x2），依题意，x1＜1，x2＞1.∵a＝－1＜0，抛物线开口

向下，∴当x＝1时，y＞0，即－1＋b＋c＞0，∴b＋c＞1，故A选项正

＜1，x2＞1，不能得出对称轴为直线x＝1，故B选项不正确，不符合题

意；∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程－x2＋bx＋c＝0有两个不相等

实数根，即Δ＝b2－4ac＞0.又a＝－1，∴b2＋4c＞0，故C选项错误，不

符合题意；无法判断c的符号，故D选项错误，不符合题意.2.

［2025•泸州模拟］已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图象

与x轴有两个交点，当m＞2且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满

足：－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，则m的取值范围是（

B

）A.

3＜m＜11B.

＜m＜11C.

2＜m＜3或

＜m＜11D.

＜m＜11B

【解析】当m＞2时，m－2＞0，即二次函数开口向上，∵－3＜x1＜－2，

∴当x＝－3时，y＞0；当x＝－2时，y＜0，

A.

10B.

12C.

13D.

15B类型之二二次函数与一元二次方程、不等式的关系4.

［2024•凉山州模拟］如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与抛物线y＝

ax2＋bx＋c（a≠0）相交于A，B两点，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞

kx＋b的解集为（

A

）A.

x＜－2或x＞2B.

x＞2C.

x＜2D.

－2＜x＜2A5.

如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A（－3，y1），B

（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是（

D

）A.

x≤－3或x≥1B.

x≤－1或x≥3C.

－3≤x≤1D.

－1≤x≤3D类型之三二次函数与一元二次方程根的判别式6.

［2025•泸州模拟］已知函数y＝ax2＋2（a－1）x＋5－a在x＞0时与

x轴有且仅有一个公共点，则参数a的取值范围是（

A

）A.

a≤0或a＝

或a＞5B.

a＜0或a＝

或a＞5C.

a≤0或a＞5D.

a≤0或a＝

或a＞5A

【解析】当a＝0时，函数为y＝－2x＋5，图象经过第一、二、四象限，

与x轴交点在x轴正半轴，符合题意；当a≠0时，Δ＝［2（a－1）］2－

不符合题意；当a＞0时，如答图1，答图1

于0恒成立，符合题意.

答图27.

［2025•泸州模拟］已知二次函数y＝x2－2bx＋c2－5（b，c为常数）

的图象经过不同的两点A（1－b，m），B（2b＋c，m）.若该二次函

数的图象与直线y＝－1有公共点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则

c的取值范围是（

D

）A.

c≥－

B.

c≥－

C.

－

≤c≤2D.

－

≤c≤2D

【解析】∵二次函数y＝x2－2bx＋c2－5（b，c为常数）的图象经过不同

的图象与直线y＝－1有公共点，∴－1＝x2－2（c＋1）x＋c2－5，∴x2－

2（c＋1）x＋c2－4＝0，则Δ＝［－2（c＋1）］2－4×1×（c2－4）

（c＋1）x＋c2－5的二次项系数为1，∴开口向上，在对称轴为直线x＝b

≤c≤2.

A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个D

【解析】∵当x≤－1时，y随x的增大而减小，∴a＞0，故①错误；－

综上，符合题意的有②③④⑤，共4个.

A.

4个B.

3个C.

2个D.

1个C

【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与y轴的负半轴相交，∴a

∴b＜0，∴abc＞0，故①符合题意；由图象可知，当x＝－3时，y＞0，

在抛物线上，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小和图象可

知，y2＜y1＜y3，故③不符合题意；要使方程ax2＋bx＋c＝t有解，即抛

物线与直线y＝t有交点，∴t≥n，∴要使ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k

＝c－t≤c－n，故④不符合题意；过点P作PC⊥x轴于点C（图略），

由抛物线的对称性可知，PA＝PB.

∴b2－4ac＝4，故⑤符合题意.综上，符合题意的有①⑤，共2个.类型之五二次函数的综合运用10.

［2025•成都］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx过点

（－1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx－k与抛物线交于A，B

两点，与x轴交于点C.

解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx过点（－1，3），且对称轴为直线x＝1，

∴y＝x2－2x.（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.

若抛物

线y＝（x－h）2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围.解：（2）当k＝1时，则y＝x－1，∴当x＝0时，y＝－1，当x＝2时，y＝1，∴D（0，－1），E（2，1）.∵y＝（x－h）2－1.∴顶点在直线y＝－1上.∵y＝（x－h）2－1与线段DE有公共点，

至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x

－h）2－1与线段DE均有公共点，答图1答图1∴当y＝（x－h）2－1过点E（2，1）时，（2－h）2－1＝1，

∴当y＝（x－h）2－1过点E（2，1）时，（2－h）2－1＝1，

（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是

AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点

T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说

明理由.备用图解：（3）∵y＝kx－k，∴当y＝0时，x＝1，∴C（1，0）.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点C在抛物线的对称轴上.∵PQ过点C，且与直线AB垂直，∴∠PCA＝90°，设直线PQ的表达式为y＝k2（x－1）.解：（3）∵y＝kx－k，∴当y＝0时，x＝1，∴C（1，0）.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点C在抛物线的对称轴上.∵PQ过点C，且与直线AB垂直，∴∠PCA＝90°，设直线PQ的表达式为y＝k2（x－1）.答图2如答图2，在直线AB上取点E（m，mk－k），在PQ上取点G，使CG＝

CE，作GH⊥x轴于点H，EF⊥x轴于点F，则∠CHG＝∠CFE＝∠GCE＝90°，EF＝mk－k，CF＝m－1，∴∠ECF＝∠HGC＝90°－∠HCG，∴△CEF≌△GCH，答图2如答图2，在直线AB上取点E（m，mk－k），在PQ上取点G，使CG＝

CE，作GH⊥x轴于点H，EF⊥x轴于点F，则∠CHG＝∠CFE＝∠GCE＝90°，EF＝mk－k，CF＝m－1，∴∠ECF＝∠HGC＝90°－∠HCG，∴△CEF≌△GCH，∴GH＝FC＝m－1，CH＝EF＝mk－k，

∴xA＋xB＝k＋2，yA＋yB＝kxA－k＋kxB－k＝k（xA＋xB）－2k＝k2.∴GH＝FC＝m－1，CH＝EF＝mk－k，∴OH＝mk－k－1，∴G（k＋1－mk，m－1），∴m－1＝k2（k＋1－

∴xA＋xB＝k＋2，yA＋yB＝kxA－k＋kxB－k＝k（xA＋xB）－2k＝k2.备用图

假设存在点T，使得TC总是平分∠MTN，如答图2，作MK⊥CT，

NI⊥CT，垂足分别为K，I.

∵TC平分∠MTN，∴∠NTI＝∠MTK，答图2

备用图

数形结合数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重研究物体的数量关

系，具有精确性，形侧重研究物体的几何特性，具有直观性.数和形相互

联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是

把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，

共同解决问题.同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题.在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的

点为整点.设函数y＝（4a＋2）x2＋（9－6a）x－4a＋4（实数a为常

数）的图象为图象T.

（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点.

∴此时