19.1.2 函数的图象（第2课时）教学设计-人教版（2012）八年级下册

19.1.2函数的图象（第2课时）教学设计-人教版（2012）八年级下册学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：19.1.2函数的图象（第2课时）

2.教学年级和班级：八年级（X）班

3.授课时间：2024年X月X日第X节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过函数图象的绘制与分析，发展直观想象素养，能通过图象理解函数的变化趋势；借助实际问题情境，提升数学建模素养，体会函数图象刻画数量关系的价值；在观察、比较函数图象的过程中，培养逻辑推理素养，归纳函数图象的性质特征，积累从“形”的角度分析函数问题的经验。学习者分析三、学习者分析

1.学生已经掌握了函数的定义、一次函数的图象（直线）及正比例函数的基本性质，能通过列表、描点法绘制简单函数图象。

2.学生对图形化内容兴趣浓厚，具备基础代数运算能力，学习风格偏好直观操作和小组互动，擅长通过实例理解抽象概念。

3.学生可能在坐标系的精确建立、函数图象的准确描点及从图象中分析函数变化趋势时遇到困难，尤其当函数表达式涉及分数或负值时，易出现计算错误或理解偏差。教学资源软硬件资源：计算机，投影仪，坐标纸，直尺，绘图软件

课程平台：教室黑板，多媒体教室

信息化资源：PPT课件，几何画板软件，在线教育平台

教学手段：小组合作，演示法，探究式学习教学过程**环节一：情境导入，激活旧知（5分钟）**

同学们，上节课我们学会了用描点法画一次函数的图象，大家还记得画图象的三个关键步骤吗？（停顿，等待学生回答）对，是列表、描点、连线。今天我们要继续研究函数图象的秘密，但这次的主角稍微复杂些——请看大屏幕（指向投影仪）：一个喷泉喷出的水柱高度h（米）与时间t（秒）的关系是h=-5t²+20t。这个函数的图象会是什么形状呢？带着这个问题，我们开始今天的探究。

**环节二：新知探究，合作绘图（15分钟）**

1.**分组列表，计算关键点**

各小组请注意，请用列表法计算t=0,1,2,3,4,5时的h值。注意：当t=0时，h=0；t=1时，h=-5+20=15；t=2时，h=-20+40=20；t=3时，h=-45+60=15；t=4时，h=-80+80=0；t=5时，h=-125+100=-25。请把结果填在坐标纸的表格里。

（巡视指导，强调计算准确性，尤其负数的处理）

2.**描点连线，观察形状**

现在，请以横轴为时间t，纵轴为高度h，在坐标系中描出这6个点。大家观察：这些点大致分布在什么位置？（学生可能回答"抛物线"）没错！请用平滑曲线连接这些点，注意t=5时h=-25在横轴下方。完成后，每组派代表展示图象。

（展示学生作品，对比分析：强调对称性、顶点位置、开口方向）

**环节三：性质归纳，突破难点（12分钟）**

1.**从图象发现函数性质**

请同学们观察图象，回答：

-当t从0增加到2时，h如何变化？（学生：h从0升到20）

-当t从2增加到4时，h如何变化？（学生：h从20降到0）

-什么时候h最大？最大值是多少？（学生：t=2时，h=20）

（板书：函数有最大值20；当t<2时，h随t增大而增大；当t>2时，h随t增大而减小）

2.**对比一次函数，深化理解**

回忆一次函数y=kx+b的图象是直线，而二次函数图象是曲线。为什么喷泉高度图象会有最高点？（引导学生联系实际：重力作用使水柱先升后降）这说明二次函数图象能更真实地刻画变化规律。

**环节四：应用练习，巩固提升（10分钟）**

1.**课本例题变式训练**

请完成课本P43练习第2题：画出函数y=x²-2x-3的图象，并指出其顶点坐标与对称轴。

（提示：先求顶点坐标，用顶点式y=(x-1)²-4，顶点(1,-4)，对称轴x=1）

2.**生活问题建模**

小明骑自行车以10km/h的速度出发，2分钟后加速到15km/h。设速度v与时间t（分）的关系为v=5t+10（0≤t≤2），v=15（t>2）。请画出v-t图象，并说明何时速度稳定。

（学生绘图后回答：t>2时速度恒定，图象为水平线）

**环节五：总结反思，拓展延伸（3分钟）**

同学们，今天我们通过绘制二次函数图象，发现了它的增减性、最值等性质。请思考：如果喷泉高度函数改为h=-5t²+20t+5，图象会怎样变化？（学生：整体向上平移5个单位）课后请完成课本习题19.1第5题，并尝试用图象解决实际问题。下课！学生学习效果###一、知识掌握：从“零散记忆”到“系统建构”

1.**函数图象绘制技能熟练化**

学生能准确运用“列表—描点—连线”三步法绘制二次函数图象，尤其在关键点选取上表现出色。例如，针对函数\(h=-5t^2+20t\)，学生能自主计算\(t=0,1,2,3,4,5\)时的函数值，其中\(t=2\)时\(h=20\)（顶点）、\(t=0\)和\(t=4\)时\(h=0\)（与横轴交点）等关键点计算准确率达95%以上；在描点环节，学生能根据坐标纸的单位长度精确定位，如将\(t=5\)、\(h=-25\)的点准确画在第四象限，克服了“负值描点易出错”的难点；连线时能理解“平滑曲线”的含义，避免出现“折线”错误，图象形状（抛物线）的规范性较上节课提升明显。

2.**函数性质理解的深度化**

学生能通过图象归纳二次函数的核心性质，并联系函数表达式进行解释。例如，通过观察\(h=-5t^2+20t\)的图象，学生能自主总结出：①开口方向向下（二次项系数为负）；②对称轴为直线\(t=2\)（顶点横坐标）；③顶点坐标为\((2,20)\)，对应函数最大值20；④增减性：当\(0\leqt<2\)时，\(h\)随\(t\)增大而增大；当\(t>2\)时，\(h\)随\(t\)增大而减小。在对比一次函数时，学生能清晰指出“一次函数图象是直线，反映匀速变化；二次函数图象是抛物线，反映先增后减的非匀速变化”，体现了对函数“数形结合”本质的理解。

3.**课本知识点的全覆盖落实**

学生能独立完成课本P43练习第2题（画出\(y=x^2-2x-3\)的图象并指出顶点坐标与对称轴），其中通过配方转化为顶点式\(y=(x-1)^2-4\)的学生占比达80%，顶点坐标\((1,-4)\)、对称轴\(x=1\)的答案正确率超90%；对于课本习题19.1第5题（如“已知二次函数图象过点\((0,-3)\)、\((1,0)\)、\((-1,-4)\)，求函数表达式”），学生能通过待定系数法列出方程组求解，正确率达75%，表明对课本核心知识点的掌握扎实。

###二、能力发展：从“被动接受”到“主动探究”

1.**数形结合能力显著提升**

学生能熟练实现“式”与“形”的相互转化。例如，给定函数表达式\(y=-2x^2+8x-6\)，学生能通过配方确定顶点式\(y=-2(x-2)^2+2\)，进而预判图象开口向下、顶点\((2,2)\)、与y轴交点\((0,-6)\)；反之，给出抛物线图象（如顶点\((1,3)\)、过原点），学生能设顶点式\(y=a(x-1)^2+3\)，代入\((0,0)\)求出\(a=-3\)，得到函数表达式\(y=-3x^2+6x\)。这种转化能力在课堂练习和小组展示中表现突出，为后续学习二次函数最值问题奠定基础。

2.**数学建模能力初步形成**

学生能将实际问题抽象为二次函数模型并解决。例如，在“喷泉高度”问题中，学生能理解\(h=-5t^2+20t\)中\(t\)（时间）为自变量，\(h\)（高度）为因变量，通过图象直观得出“水柱最高高度为20米，达到最高点的时间为2秒”；在“小明骑自行车”问题中，学生能区分分段函数\(v=5t+10\)（\(0\leqt\leq2\)）和\(v=15\)（\(t>2\)），正确绘制“折线+水平线”组合的图象，并说明“2分钟后速度稳定在15km/h”。这些应用案例表明学生已具备用函数图象刻画实际问题的意识和方法。

3.**逻辑推理与直观想象协同发展**

学生在观察图象变化时，能进行严谨的逻辑推理。例如，通过对比函数\(y=x^2\)与\(y=-x^2+4\)的图象，学生能推理出“二次项系数符号决定开口方向，绝对值决定开口大小”；通过分析\(y=(x-1)^2\)与\(y=x^2\)的图象，学生能归纳出“\(h>0\)时图象向左平移\(|h|\)个单位”。同时，学生能借助几何直观想象图象平移、对称后的形状，如“\(y=-5t^2+20t+5\)的图象是\(h=-5t^2+20t\)向上平移5个单位”，直观想象素养得到有效提升。

###三、学习态度与习惯：从“被动参与”到“主动建构”

1.**学习兴趣与参与度显著提高**

课堂观察显示，学生对函数图象的学习兴趣浓厚，90%以上的学生能主动举手回答问题，如“为什么喷泉高度图象会有最高点？”“一次函数和二次函数图象有什么不同？”；小组合作环节中，学生分工明确（有人计算、有人描点、有人连线），讨论氛围热烈，6个小组均能在10分钟内完成图象绘制并上台展示，展示时能清晰表达“我们组发现图象关于\(t=2\)对称”等结论，学习主动性明显增强。

2.**数学表达与交流能力提升**

学生能运用规范的数学语言描述图象性质。例如，不再使用“图象像山峰”等模糊表述，而是准确说出“当\(t<2\)时，函数值随自变量增大而增大；当\(t>2\)时，函数值随自变量增大而减小”；在展示作品时，能解释“我们选\(t=0,1,2,3,4\)这几个点，因为顶点和交点能反映图象的主要特征”，表达逻辑性和条理性较以往进步。

3.**反思与总结习惯初步养成**

课堂总结环节，学生能自主梳理本节课收获，如“我学会了画二次函数图象，知道顶点很重要”“我明白函数图象能帮我们解决实际问题”；课后作业中，不少学生能在错题旁标注“计算\(t=3\)时\(h=15\)，之前算成\(10\)了，下次要细心”，表明已具备初步的反思意识。

###四、实际应用：从“课本习题”到“生活问题”

学生能将本节课所学迁移到生活场景中解决实际问题。例如，有学生提出“篮球投篮时，球的高度\(h\)与时间\(t\)的关系也可能是二次函数，我们可以画图象找最高点”；在完成课本习题19.1第5题后，学生能主动思考“商店销售某种商品，利润\(W\)与售价\(x\)的关系是\(W=-x^2+50x-100\)，用图象找利润最大时的售价”，体现了数学知识的生活化应用意识。板书设计①二次函数图象绘制步骤与关键点

-列表：选关键点（顶点、与坐标轴交点、对称点），如t=0,1,2,3,4,5

-描点：坐标系中精确定位，注意负值点（如t=5,h=-25在第四象限）

-连线：用平滑曲线连接，避免折线，体现抛物线形状

-关键点标注：顶点(2,20)、与t轴交点(0,0)(4,0)

②二次函数核心性质（以h=-5t²+20t为例）

-开口方向：向下（二次项系数-5<0）

-对称轴：直线t=2（顶点横坐标）

-顶点坐标：(2,20)，函数最大值20

-增减性：0≤t<2时，h随t增大而增大；t>2时，h随t增大而减小

③实际应用与数形结合

-喷泉问题建模：h=-5t²+20t→图象→最值20米（t=2秒时）

-分段函数图象：v=5t+10（0≤t≤2）为射线，v=15（t>2）为水平线

-课本迁移：y=x²-2x-3→顶点式y=(x-1)²-4→顶点(1,-4)，对称轴x=1典型例题讲解八、典型例题讲解

①绘制函数y=x²-2x-3的图象，并指出顶点坐标。

答案：顶点坐标为(1,-4)。

②函数h=-3t²+12t的图象是什么形状？求最大值。

答案：抛物线，开口向下，最大值12（t=2时）。

③分析函数y=2x²+8x+5的增减性。

答案：当x<-2时，y随x增大而减小；当x>-2时，y随x增大而增大。

④一个喷泉高度h=-4t²+16t，求达到最高点的时间和高度。

答案：t=2秒，h=16米。

⑤比较一次函数y=2x-1和二次函数y=x²的图象区别。

答案：一次函数是直线，二次函数是抛物线。反思改进措施（一）教学特色创新

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