1.3 函数的基本性质教学设计高中数学人教A版必修1-人教A版2007

1.3函数的基本性质教学设计高中数学人教A版必修1-人教A版2007科目Xx授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师Xx老师授课班级、授课课时1授课题目（包括教材及章节名称）Xx教学内容一、教学内容人教A版必修第一章“1.3函数的基本性质”，主要内容为函数的单调性（定义、单调区间、判断方法：定义法与图像法）、函数的奇偶性（奇函数、偶函数的定义、判断步骤及图像特征），以及函数的最值（最大值、最小值的概念及求法）。核心素养目标二、核心素养目标通过函数单调性、奇偶性及最值的学习，发展数学抽象与逻辑推理素养，能抽象函数性质的本质，运用定义进行严谨推理；结合函数图像分析性质，提升直观想象素养，体会数形结合思想；通过函数最值在实际问题中的应用，渗透数学建模意识，培养数学运算能力，增强应用数学解决问题的意识。学情分析三、学情分析本节课授课对象为高一学生，刚完成函数概念与表示的学习，对函数有初步认知，但抽象思维和逻辑推理能力仍需培养。知识层面，学生掌握函数三要素，能绘制简单函数图像，但对单调性、奇偶性的本质理解较浅，易混淆“单调区间”与“函数单调性”等概念。能力上，学生具备基本图像观察能力，但通过图像归纳性质、运用定义严谨证明的能力较弱，尤其在含参数问题中易忽略细节。素质方面，多数学生有学习兴趣，但主动探究和合作习惯不足，对抽象概念的理解依赖具体实例。行为习惯上，学生习惯被动接受知识，对数形结合思想的运用意识不强，需通过实例和图像引导其主动分析，影响性质的理解深度和应用能力。初中接触过一次、二次函数图像，但未系统研究性质，需衔接旧知，避免学习断层。教学资源准备四、教学资源准备1.教材：每位学生配备人教A版必修1教材及配套同步练习册。2.辅助材料：准备函数单调性（如y=x²、y=-x+1）、奇偶性（如y=x³、y=|x|）的典型图像静态图片，含参数函数（如y=ax²）性质动态变化视频，单调区间判断、奇偶性验证的图表模板。3.实验器材：本节课无实验内容，无需准备。4.教室布置：前方黑板设置图像绘制展示区，后排划分4-6人分组讨论区，每组配备白板笔及答题纸，便于合作分析函数性质。教学流程**1.导入新课（5分钟）**

展示初中熟悉的二次函数y=x²和一次函数y=-2x的图像，提问：“随着x的增大，y的值如何变化？这种变化规律在数学中如何描述？”引导学生观察图像得出“y=x²在x>0时y随x增大而增大，x<0时y随x增大而减小；y=-2x在R上y随x增大而减小”。进而引出问题：“函数的这种‘增减变化’规律是函数的重要性质，如何用数学语言精确描述？这就是本节课要研究的函数的基本性质——单调性、奇偶性及最值。”通过具体实例激活学生已有经验，自然引入课题，明确学习目标。

**2.新课讲授（12分钟）**

（1）**函数的单调性（4分钟）**

①定义：结合y=x²图像，强调“对于函数f(x)定义域内某个区间I上的任意x1<x2，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增；若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减”。重点强调“任意”（非个别）和“区间内”（非定义域整体）两个关键词。

②判断方法：举例f(x)=x²，用定义法证明在(0,+∞)单调递增：设0<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1²-x2²=(x1-x2)(x1+x2)，由x1-x2<0且x1+x2>0，得f(x1)-f(x2)<0，故f(x1)<f(x2)，单调递增。同时展示图像法：观察图像从左到右是否“上升”或“下降”。

③重难点突破：区分“单调区间”与“函数单调性”，如y=x²的单调递增区间是[0,+∞)，递减区间是(-∞,0]，不能说“y=x²在R上单调”。

（2）**函数的奇偶性（4分钟）**

①定义：展示f(x)=x³和f(x)=|x|的图像，引导学生发现“f(x)=x³图像关于原点对称，f(-x)=-f(x)；f(x)=|x|图像关于y轴对称，f(-x)=f(x)”。给出严格定义：若对于函数f(x)定义域内任意x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。

②判断步骤：强调“先看定义域是否关于原点对称（如f(x)=x²+1定义域R，对称；f(x)=√x定义域[0,+∞)，不对称，非奇非偶），再计算f(-x)与f(x)的关系”。举例f(x)=2x，f(-x)=-2x=-f(x)，定义域R关于原点对称，故为奇函数。

③易错点提醒：f(x)=0既是奇函数又是偶函数（因f(-x)=0=f(x)且f(-x)=0=-f(x)）。

（3）**函数的最值（4分钟）**

①概念：结合y=x²在[-2,3]的图像，明确“函数f(x)在区间I上的最大值是存在x0∈I，使f(x0)≥f(x)对任意x∈I成立；最小值同理”。

②求法：举例f(x)=-x²+4x在[0,3]的最值，用配方法得f(x)=-(x-2)²+4，对称轴x=2∈[0,3]，故x=2时取最大值4；端点x=0时f(0)=0，x=3时f(3)=3，故最小值为0。强调“闭区间上连续函数最值可能在极值点或端点取得”。

③实际应用：简单提及“最值可解决实际问题，如‘用料最省’‘利润最大’等”，为后续建模做铺垫。

**3.实践活动（12分钟）**

（1）**函数图像单调性判断（4分钟）**

发放任务卡：画出y=1/x和y=x³的图像，标出各自的单调区间，并选择其中一个区间用定义法验证单调性。学生独立完成后小组互评，教师巡视指导，重点纠正“单调区间用‘，’隔开”“定义法需严格作差变形”等问题，展示典型学生作品（如y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，不能合并为R\{0}）。

（2）**奇偶性验证练习（4分钟）**

给出函数：①f(x)=x²+1；②f(x)=2x；③f(x)=0。要求学生先判断定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)，判断奇偶性。教师提问：“③的奇偶性是什么？”引导学生得出“既是奇函数又是偶函数”，并强调“定义域关于原点对称是前提”。

（3）**最值求解应用（4分钟）**

问题：求函数f(x)=|x-2|在[1,3]上的最大值和最小值。学生独立尝试，教师引导分析：将绝对值函数分段，当1≤x≤2时，f(x)=2-x，单调递减；当2≤x≤3时，f(x)=x-2，单调递增。故x=2时取最小值0，端点x=1时f(1)=1，x=3时f(3)=1，最大值为1。通过分段讨论突破含绝对值函数的最值难点。

**4.学生小组讨论（8分钟）**

将学生分为4人小组，围绕以下问题讨论，每组记录讨论结果，派代表发言：

（1）**问题举例回答1**：“函数f(x)=x在R上单调递增，为什么不能说‘在x=0处单调递增’？”

学生可能回答：“单调性描述的是区间上的整体变化趋势，x=0是一个点，没有‘增大’或‘减小’的过程，必须涉及区间内任意两个自变量。”教师总结：“单调性是‘区间性质’，非‘点性质’，需强调‘任意x1<x2∈I’。”

（2）**问题举例回答2**：“f(x)=x²+1是偶函数，f(x)=x³是奇函数，f(x)=0呢？为什么？”

学生可能回答：“f(0)=0，f(-x)=0=f(x)且f(-x)=0=-f(x)，所以既是奇函数又是偶函数。”教师强调：“定义中‘偶函数’要求f(-x)=f(x)，‘奇函数’要求f(-x)=-f(x)，两者同时满足时，函数既是奇又是偶，只有f(x)=0满足。”

（3）**问题举例回答3**：“求函数f(x)=x²-2x在[-1,3]的最值，如何结合单调性分析？”

学生可能回答：“先求导（或配方法）得对称轴x=1，在[-1,1]单调递减，在[1,3]单调递增，故x=1时取最小值-1，端点x=-1时f(-1)=3，x=3时f(3)=3，最大值为3。”教师补充：“闭区间上求最值，需比较极值点和端点函数值。”

**5.总结回顾（3分钟）**

引导学生梳理本节课核心内容：

①单调性：定义（任意x1<x2，f(x1)与f(x2)关系）、判断方法（定义法、图像法）、单调区间（连续、用“，”隔开）；

②奇偶性：定义（f(-x)与f(x)关系）、判断步骤（先定义域、再计算f(-x)）、图像特征（偶轴对称、奇中心对称）；

③最值：概念（区间内最大/最小值）、求法（图像法、单调性法、端点值比较）。

强调重难点：“单调性的‘任意性’和‘区间内’是易错点，奇偶性的‘定义域对称’是前提，最值的‘区间内’和‘端点’是关键。”举例回顾：y=x²在(0,+∞)单调递增（定义法证明），y=x³是奇函数（图像中心对称），y=-x²+4x在[0,3]最大值4（顶点处）、最小值0（端点）。通过总结构建知识网络，强化核心概念。

**总用时**：5+12+12+8+3=40分钟，预留5分钟机动处理生成性问题（如学生提出“含参数函数单调性判断”等），确保课堂高效。拓展与延伸六、拓展与延伸1.拓展阅读材料（1）函数单调性的深化应用复合函数的单调性是单调性知识的拓展，若函数y=f(u)与u=g(x)在对应区间上单调性相同（同为增函数或同为减函数），则复合函数y=f(g(x))在相应区间上为增函数；若单调性相反，则为减函数。例如，f(u)=u²在[0,+∞)单调递增，g(x)=2x-1在R上单调递增，则f(g(x))=(2x-1)²在R上单调递增；若f(u)=1/u在(-∞,0)单调递减，g(x)=x²-1在(-∞,-1)单调递减，则f(g(x))=1/(x²-1)在(-∞,-1)单调递增（同减得增）。此法则可简化复杂函数单调性判断，是后续学习导数单调性判断的基础。（2）函数奇偶性与周期性的联系若函数f(x)既是奇函数又是周期函数，且周期为T，则f(x+T)=f(x)且f(-x)=-f(x)。例如，f(x)=sinx是奇函数，周期为2π，满足sin(x+2π)=sinx且sin(-x)=-sinx。若f(x)是偶函数且周期为T，则f(x+T)=f(x)且f(-x)=f(x)，如f(x)=cosx。此性质可简化函数解析式，如已知f(x)是奇函数，周期为4，且f(1)=2，则f(5)=f(1+4)=f(1)=2，f(-3)=-f(3)=-f(-1+4)=-f(-1)=f(1)=2。（3）含参函数的最值讨论含参函数的最值是函数最值知识的深化，需对参数分类讨论。例如，f(x)=x²-2ax+3在[-1,2]上的最小值，当a≤-1时，对称轴x=a≤-1，f(x)在[-1,2]单调递增，最小值f(-1)=1+2a+3=4+2a；当-1<a<1时，对称轴x=a∈[-1,2]，最小值f(a)=3-a²；当a≥1时，对称轴x=a≥1，f(x)在[-1,2]单调递减，最小值f(2)=4-4a+3=7-4a。分类讨论的关键是确定对称轴与给定区间的位置关系。（4）函数性质在实际问题中的应用函数性质在经济学、物理学等领域有广泛应用。例如，某商品的成本函数C(x)=1000+50x，收入函数R(x)=100x-x²，利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-x²+50x-1000，利用二次函数最值，当x=25时，L(x)取最大值-625+1250-1000=-375（亏损），需调整定价策略；物理学中，自由落体运动s(t)=4.9t²，其单调递增性质说明速度随时间增加而增大，加速度恒定。2.课后自主学习探究（1）探究任务1：复合函数单调性研究给定函数f(x)=log₂(x-1)，g(x)=x²-4x+5，求复合函数y=f(g(x))的单调区间，并说明理由。要求：①确定g(x)的值域与定义域；②分析f(u)的单调性；③根据“同增异减”法则判断y的单调性；④画出y的示意图验证结论。（2）探究任务2：分段函数奇偶性判断判断函数f(x)=x²(x≥0)，f(x)=-x²(x<0)的奇偶性，并说明理由。要求：①验证定义域是否关于原点对称；②计算f(-x)与f(x)的关系；③结合图像分析对称性；④推广：若f(x)在R上分段定义，奇偶性判断需注意分段区间内的表达式对应关系。（3）探究任务3：最值问题实际建模某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每生产1件产品增加成本50元，销售价为150元/件，若生产x件产品，销售量为x(0≤x≤100)，求利润最大时的产量及最大利润。要求：①建立利润函数L(x)；②分析L(x)的单调性；③求L(x)在[0,100]上的最大值；④讨论若销售量与产量关系变化（如销售量为100-x），利润如何变化。（4）探究任务4：函数性质与数学文化查阅资料，了解中国古代数学家在函数性质研究中的贡献，如刘徽的“割圆术”如何体现函数的极限思想（圆内接正多边形边数增加时，面积单调递增逼近圆面积），或《九章算术》中“盈不足术”如何通过函数单调性解决实际问题。撰写1000字报告，阐述函数性质的历史发展及现代应用。重点题型整理七、重点题型整理1.用定义法证明函数f(x)=x³在(0,+∞)上单调递增。证明：设0<x1<x2，则f(x2)-f(x1)=x2³-x1³=(x2-x1)(x2²+x1x2+x1²)，由x2-x1>0且x2²+x1x2+x1²>0（因x1,x2>0），故f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0,+∞)单调递增。2.求函数f(x)=|x²-2x-3|的单调区间。解：内层函数u=x²-2x-3，对称轴x=1，开口向上，与x轴交点x=-1,3。u在(-∞,-1]递减，[-1,1]递增，[1,3]递减，[3,+∞)递增。当u≥0时f(x)=u，单调性同u；u<0时f(x)=-u，单调性相反。故f(x)单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞)，单调递减区间为(-∞,-1]和[1,3]。3.判断函数f(x)=x/(x²+1)的奇偶性。解：定义域R关于原点对称，f(-x)=-x/(x²+1)=-f(x)，故f(x)为奇函数。4.求函数f(x)=x²-2ax+2在[-1,2]上的最小值。解：对称轴x=a，开口向上。当a≤-1时，f(x)在[-1,2]递增，最小值f(-1)=3+2a；当-1<a<2时，最小值f(a)=2-a²；当a≥2时，f(x)在[-1,2]递减，最小值f(2)=6-4a。5.已知函数f(x)=x+1(x<0)，f(x)=x²-2x(0≤x≤3)，求f(x)的最值。解：x<0时f(x)<1；0≤x≤3时，f(x)=x²-2x，对称轴x=1，f(1)=-1，f(0)=0，f(3)=3。故最小值-1，最大值3。教学反思与改进上完这节课，我观察到学生在用定义法证明单调性时，对“任意x1<x2”的理解不够透彻，计算变形容易出错，尤其是含参数时分类讨论不全面。奇偶性判断中，部分学生直接跳过定义域对称性检查，导致误判。最值求解时，闭区间端点值比较常被忽略。

课后反思发现，例题设计虽覆盖了基本题型，但梯度不够，学生面对含参函数时信心不足。小组讨论时，部分学生参与度不高，依赖组长发言。

改进措施：下次课增加“定义法证明”的专项训练，补充含参函数的典型例题，设计分层练习题。奇偶性判断前，先强化定义域对称性的快速判断方法。最值问题增加端点值计算的专项练习。课堂讨论采用“轮值组长制”，确保每位学生发言。课后增加错题整理环节，针对性反馈易错点。通过这些调整，帮助学生更扎实地掌握函数性质的核心概念。板书设计九、板书设计①核心概念定义函数单调性：对于函数f(x)定义域内区间I上的任意x1<x2，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增；若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递