第20章 勾股定理（知识 4大易错 ）（知识清单）（解析版）-人教版(2024)八下

第二十章勾股定理知识点01勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.知识点02勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点03勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.知识点04勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点05勾股定理的应用1.解决实际问题：勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.2.平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解易错点1勾股定理与网格问题**易错总结**1.**格点距离误算**：直接数格子当长度，忽略网格单位长度，误将格点数当距离。2.**直角三角形误判**：仅凭视觉认为三点构成直角，未用勾股定理逆定理验证。3.**面积计算错误**：在网格中构造直角三角形时，直角边找错导致斜边计算错误。4.**无理数表示不当**：计算结果为无理数时，未化为最简二次根式或精确值。**注意事项**：-**明确单位**：确认每个小方格边长(通常为1)，用坐标差计算距离。-**逆定理验证**：先算三边平方，看是否满足\(a^2+b^2=c^2\)。-**构造技巧**：斜着线段用直角三角形网格法求长度。-**结果化简**：根式要化为最简形式，分母有理化。【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．点到直线的距离是2【答案】C【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键．先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项．【详解】解：∵，，，，，故A，B选项的结论正确，不符合题意；，故C选项的结论错误，符合题意；设点到直线的距离是，则，，故D选项的结论正确，不符合题意．故选：C．【变式】（24-25八年级下·广东珠海·月考）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上．(1)求的周长；(2)判断的形状，并求边上的高；(3)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．【答案】(1)(2)直角三角形，2(3)见解析【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）利用勾股定理求出每条边的长度即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可求解，再根据等面积法即可求出上的高；（3）根据平行四边形的定义，画出图形即可．【详解】（1）解：，，的周长，（2）解：，，，故是直角三角形，设边上的高为h，即解得：，则边上的高为2；（3）解：D点的位置如下图所示：易错点2勾股定理与折叠问题**易错总结**1.**对应关系混乱**：折叠后哪些边相等、哪些角相等找不准，常将不对应的边当作相等。2.**方程设列不当**：未知数设错(如直接设所求线段，而不设中间量)，导致方程复杂难解。3.**勾股定理用错三角形**：在非直角三角形中用勾股定理，或找错直角边。4.**忽略折叠性质**：折叠前后图形全等，但折叠后有些点、线位置变化未考虑。**注意事项**：-**标等量**：折叠后相等的边、角在图上标出相同符号。-**找直角三角形**：在图中找出含未知数的直角三角形，用勾股列方程。-**巧设未知数**：通常设所求线段为x，用含x的式子表示其他边。-**验证合理性**：解出的边长要符合三角形三边关系。【例2】（25-26八年级上·河南·期末）在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则．【答案】或【分析】本题考查折叠的性质以及勾股定理，确定折叠后点的位置以及准确添加辅助线是解题的关键．长方形的对称轴有两条，故分类讨论：①当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，先求出的值，得出的值，令，则，由勾股定理得出方程，求解即可；②当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，求出的值，由得出的长度，令，则，且，由勾股定理得，得出方程，求解即可．【详解】解：∵长方形的对称轴有两条，故分类讨论，当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，如下图所示：∵，，∴，∴，令，则，由,得方程，解得；当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，如下图所示：∵，，∴，∴，令，则，且，由，得方程，解得，综上，的长度为或．故答案为：或【变式】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为．【答案】或【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分和两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可．【详解】解：如图，当时，则，由折叠的性质可得，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；如图，当时，由折叠的性质可得，,，∴，∴三点共线，由勾股定理得，∴，设，则，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或，故答案为：或．易错点3验证勾股定理证明方法**易错总结**1.**面积关系错误**：用不同方法表示同一个图形面积时，漏掉某些部分或重复计算。2.**图形构造偏差**：拼图验证时，图形拼接不严谨，导致边角关系对应错误。3.**代数化简出错**：得到面积等式后，代数恒等变形时符号、系数处理错误。4.**特殊化局限**：仅用等腰直角三角形验证，误以为对所有直角三角形成立。**注意事项**：-**同一图形两种算法**：用两种方法计算整个图形面积，列等式。-**图形准确**：拼图时确保三角形全等，四边形为正方形。-**代数仔细**：展开、合并同类项要步步为营，避免跳步。-**一般性验证**：用字母表示边长，推导过程不依赖具体数值。【例3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：．(1)已知：，，，．求证．下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整：证明：∵四个直角三角形全等，且，，∴正方形的边长为__________，∵，且（等面积法），∴__________＋__________，∴．(2)如图2，四边形是直角梯形，，，，，其中，．①求证：；②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：．(3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________．【答案】(1)、、(2)①见解析；②见解析(3)97【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题；（2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出；（3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积．【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，，∴正方形的边长为，∵，且（等面积法），∴，∴，故答案为：、、．（2）解：①∵，∴，，∴，又∵，，∴．②∵，∴，，∴，，故，化简得．（3）解：由题意，如下图：∵外围轮廓的总长度为，∴，设，则，在中，，∴，将，代入可得，，解得，∴小正方形的边长为，∴风车的面积为：，故答案为：．【变式】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）综合与实践勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）．某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动：探究活动一：（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论．如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论．探究活动二：（2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论．数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）．探究活动三：（3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理．【答案】（1）；或或；（2）；；见解析；（3）两斜边互相垂直；见解析【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的求解，准确作出辅助线，想到图形中面积的关系为解题关键．（1）利用三角形面积表示出图形的面积即可；利用梯形面积，三角形面积以及矩形面积减三角形面积三种方法表示出梯形面积即可；（2）连接，，利用四边形面积的两种表示方法求出最后结果即可；（3）拼成，延长交于H,连接，设，利用三角形面积的两种表示方法得出结论即可．【详解】解：（1）；梯形面积为：或或，故答案为：；或或；（2）一种等于，另一种等于；如图，连接，，则或，，，，，即，，，即；（3）两斜边互相垂直，理由如下：如图，拼成，延长交于H,连接，设，则，又，，整理得．易错点4勾股定理与逆定理的综合问题**易错总结**1.**定理选择混淆**：已知直角三角形求边用逆定理，已知三边判直角用定理，方向常颠倒。2.**最大边误判**：用逆定理判断直角时，未先找出最大边，误将小边平方和与大边平方比较。3.**隐含直角忽略**：图形中有直角未标出，需先证明垂直才能用勾股定理计算。4.**多解情况遗漏**：已知两边求第三边时，未考虑第三边是直角边或斜边两种情况。**注意事项**：-**分清已知求证**：明确已知的是边关系还是直角关系，再选定理。-**先比大小**：判断直角时，先找出最长边，再验证平方关系。-**证垂再用勾股**：需垂直才能用勾股定理，先证明垂直。-**分类讨论**：已知两边未指明直角边时，分情况计算第三边。【例4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．【答案】(1)，理由见详解(2)小亮跑的路线更短【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解；（2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解．【详解】（1）解：，理由：已知，，点C在点B的正东方处，即，∵，∴是直角三角形，，∴．（2）解：由题意知，，在中，由勾股定理得：，∴，而，∵，∴，∴小亮跑的路线更短．【变式】（25-26八年级上·河北保定·期末）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长．(1)请你帮忙计算出的长度；(2)判断的度数并说明理由；(3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计）【答案】(1)(2)，见解析(3)【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是：（1）根据勾股定理构建关于的方程求解即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形即可（3）根据分割法求出绿地的面积即可．【详解】（1）解：∵，∴，又，比长，∴，解得，即的长度为；（2）解：由（1）知，又，，∴，，∴，∴为直角三角形，且；（3）解：，即这片绿地（即四边形）的面积是．一、单选题1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度．【详解】解：四边形为长方形，，，∴，由折叠可知，，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，．故选：D．2．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（

）A． B． C． D． 【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论．【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为，，展开化简得，可以验证勾股定理．对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为，，展开化简得，可以验证勾股定理．对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理．对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为，，化简得，可以验证勾股定理．故选：C．3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用．先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，即可求解的面积．【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，∴由勾股定理得，，∴，，∴，∴，∴，故D错误，A、B、C正确，故选：D．4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】本题主要考查折叠问题、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，由于，所以，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案．【详解】解：∵等腰直角中，∵，∴，∵折叠∴，，，，，，，∴，∴，∴是等腰三角形中，，∴，∴，∴∴，，的周长等于；∵，∴不平分，∴①，③错误，②④正确，故选：C．二、填空题5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解．【详解】解：如图，过点E作于点P，则，根据题意得：，，∴，∵，∴，由折叠的性质得：，，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，在中，，∴．故答案为：6．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∴为直角三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．7．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上．（1）度；（2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】45取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．（1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案；（2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得．【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得，，∴，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：45；（2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求．故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求．8．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是．【答案】5或或或10【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，∴，①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1，∴，∵，∴，∴，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，设，∴，∴，∴，∴；当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图，由折叠得：，，，，∴，∴，即，∵，∴，又，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；②当时，如图2，作，连接，延长交于N，∵，∴，∴，∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，且，∴∴，∵，∴，∴；③若，如图3，过点A作于H，延长交于M，同理可求，∴，故答案为：5或或或10．三、解答题9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，．(1)求证：；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：（1）利用勾股定理逆定理，即可得证；（2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可．【详解】（1）证明：，，，，即．（2）解：在中，根据勾股定理，得，即，．．．10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)5【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．（1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：由勾股定理和网格的特点可得，，∴，∴是直角三角形；（2）解：由（1）可得，∴．11．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．(1)判断支架与的位置关系，并说明理由；(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离（结果保留小数点后一位，）．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理逆定理即可求解；（2）作交于点，根据勾股定理，可求，利用等面积法，可求，计算即可求解．【详解】（1）解：，理由如下，，，，，即，是直角三角形，则；（2）解：如图2，作交于点，，，，在中，，，，，解得，滚轮半径，（）则购物车上篮子的左边缘D到地面的距离约为．12．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知，，，为坐标原点．

(1)的面积为______；(2)判断的形状并说明理由；(3)在轴上有一点，使得是等腰三角形，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)为等腰直角三角形，理由见解析(3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点的坐标为，，，【分析】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．（1）过点作轴于点，根据列式求解即可；（2）根据两点之间的距离分别表示，，，利用勾股定理逆定理判定即可；（3）设，进而表示出，，，分：，，，三种情况讨论，分别列式解方程即可．【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，

，，；故答案为：；（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：，，为坐标原点，，，，，，为等腰直角三角形；（3）解：，设，，，

若，则有，即，解得或；若，则有，即，解得（与点重合，故舍去）或；若，则有，即，解得；综上，在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点的坐标为，，，．13．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上．(1)求证：是直角三角形；(2)