2020数二考研真题答案解析

2020数二考研真题答案解析以下是2020年数学二考研真题部分答案解析：一、选择题当x→0+时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.

∫0x​(et2−1)dtB.

∫0x​ln(1+t3​)dtC.

∫0sinx​sint2dtD.

∫01−cosx​sin3t​dt答案：D解析：当x→0+时，∫0x​(et2−1)dt∼∫0x​t2dt=31​x3；∫0x​ln(1+t3​)dt∼∫0x​t23​dt=52​x25​；∫0sinx​sint2dt∼∫0x​t2dt=31​x3；∫01−cosx​sin3t​dt∼∫021​x2​t23​dt=202​​x5。因为5>3>25​，所以最高阶的无穷小量是∫01−cosx​sin3t​dt。函数f(x)=∣x−1∣ln∣x∣​sinx的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C.3D.4答案：C解析：显然x=−1，x=0，x=1，x=2为f(x)的间断点。由limx→−1​f(x)=−∞得x=−1为第二类间断点；limx→0​f(x)=limx→0​∣x−1∣ln∣x∣​sinx=limx→0​1ln∣x∣​⋅x=limx→0​xln∣x∣=0，x=0是可去间断点；limx→1−​f(x)=limx→1−​1−xlnx​sinx=limx→1−​1−xlnx​⋅x=limx→1−​1−xlnx​⋅limx→1−​x=−1，limx→1+​f(x)=limx→1+​x−1lnx​sinx=limx→1+​x−1lnx​⋅x=limx→1+​x−1lnx​⋅limx→1+​x=1，x=1是第一类间断点；由limx→2​f(x)=∞得x=2为第二类间断点。所以第二类间断点有x=−1，x=2，共2个。二、填空题设函数y=y(x)由参数方程{x=∫0t2​1+u​1​duy=∫0t​1+u​u​du​确定，则dxdy​​t=1​=______。答案：1解析：根据参数方程求导公式dxdy​=dtdx​dtdy​​，dtdx​=t2+1​1​⋅2t，dtdy​=t2+1​t​，所以dxdy​=t2+1​2t​t2+1​t​​=21​，则dxdy​​t=1​=21​。计算∫01​x(1−x)​arcsinx​​dx=______。答案：4π2​解析：令t=arcsinx​，则x=sin2t，dx=2sintcostdt。当x=0时，t=0；当x=1时，t=2π​。所以∫01​x(1−x)​arcsinx​​dx=∫02π​​sintcostt​⋅2sintcostdt=2∫02π​​tdt=t2​02π​​=4π2​。三、解答题已知函数f(x)=x2ln(1−x)，求f(x)的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。答案：f(n)(0)=−n−2n!​解析：由ln(1−x)=−x−2x2​−3x3​−⋯−n−2xn−2​+o(xn−2)，可得f(x)=x2ln(1−x)=−x3−2x4​−3x5​−⋯−n−2xn​+o(xn)。根据幂函数求导公式(xm)(n)=(m−n)!m!​xm−n，xk求n阶导数，当k<n时，导数为0；当k=n时，导