探索奇异二阶边值问题正解存在性：理论与实例分析

探索奇异二阶边值问题正解存在性：理论与实例分析一、引言1.1研究背景与意义在数学领域以及众多实际应用场景中，奇异二阶边值问题始终占据着极为重要的地位。其理论与方法，不仅是数学学科深入发展的关键驱动力，更是解决各类实际问题的有力工具。从历史发展的角度来看，奇异二阶边值问题最早源于对大气对流、天体演变以及一些流体力学问题的研究。在大气对流研究中，科学家们为了精确描述大气中热量和物质的传输过程，需要建立相应的数学模型。大气对流过程中，温度、压力、速度等物理量在空间和时间上的变化规律，往往可以通过二阶微分方程来刻画。而当考虑到一些特殊的边界条件，如大气与地面或其他边界的相互作用时，就会出现奇异二阶边值问题。这些问题的解决，对于准确理解大气对流现象、预测天气变化等具有重要意义。在天体演变的研究中，例如研究行星的运动轨迹、恒星的演化过程等，奇异二阶边值问题也频繁出现。行星在引力场中的运动，其位置、速度随时间的变化满足牛顿运动定律，通过数学推导可以得到相应的二阶微分方程。而在考虑行星与其他天体的相互作用、边界条件（如无穷远处的引力影响）时，就形成了奇异二阶边值问题。解决这些问题，有助于我们深入了解天体的演化规律，揭示宇宙的奥秘。在流体力学中，研究流体的流动特性，如流速分布、压力分布等，也离不开奇异二阶边值问题。以管道内流体流动为例，流体在管道壁面处的速度为零，这就是一种边界条件。当研究流体在复杂管道系统中的流动时，考虑到管道的形状、粗糙度以及流体的粘性等因素，建立的数学模型往往会包含奇异二阶边值问题。对这些问题的研究，能够为工程设计提供理论依据，优化流体输送系统，提高能源利用效率。随着科学技术的不断进步，奇异二阶边值问题在更多领域得到了广泛应用。在材料科学中，研究材料的力学性能、热传导性能等，常常需要求解奇异二阶边值问题。例如，在研究复合材料的应力分布时，由于不同材料之间的界面特性复杂，边界条件特殊，就会出现奇异二阶边值问题。解决这些问题，有助于开发新型材料，提高材料的性能和可靠性。在生物医学工程中，奇异二阶边值问题也有重要应用。例如，在研究生物组织中的物质传输、生物电现象等时，建立的数学模型往往包含奇异二阶边值问题。通过求解这些问题，可以深入了解生物组织的生理过程，为疾病的诊断和治疗提供理论支持。在数学领域，奇异二阶边值问题的研究也推动了相关理论的发展。它与非线性泛函分析、微分方程理论等密切相关。许多经典的数学方法和理论，如Leray-Schauder连续性准则、Leray-Schauder非线性抉择、Krasnosel’skii不动点定理等，都在奇异二阶边值问题的研究中得到了广泛应用和进一步发展。同时，对奇异二阶边值问题的研究，也促使数学家们不断探索新的方法和理论，如锥拉伸压缩不动点定理等，这些新的方法和理论不仅丰富了数学的研究内容，也为解决其他数学问题提供了新的思路和工具。1.2研究现状奇异二阶边值问题的研究历史颇为悠久，众多学者围绕这一领域展开了深入且广泛的探索，取得了一系列具有重要价值的成果。早期，研究主要聚焦于一些相对简单的模型和特定的边值条件。随着研究的逐步深入，问题的复杂性不断增加，研究范围也日益广泛。在研究方法上，众多经典理论和方法被广泛应用于奇异二阶边值问题正解存在性的研究。Leray-Schauder连续性准则，通过巧妙地构造算子和映射，利用拓扑度理论来证明不动点的存在性，从而为奇异二阶边值问题正解的存在性提供了有力的证明依据。在研究某些具有特定非线性项的奇异二阶边值问题时，运用Leray-Schauder连续性准则，能够精确地分析算子的性质和映射的特点，进而确定正解的存在性。Leray-Schauder非线性抉择则从另一个角度出发，通过分析算子方程与非线性项之间的关系，给出了正解存在的充分条件。在处理一些复杂的非线性问题时，该方法能够有效地将问题转化为可求解的形式，为研究正解的存在性开辟了新的途径。Krasnosel’skii不动点定理在奇异二阶边值问题的研究中也发挥了关键作用。该定理基于锥理论，通过构造合适的锥和算子，利用锥拉伸与压缩的性质来判断不动点的存在性，从而得到正解的存在性结果。例如，在研究二阶奇异边值问题u''(t)+f(t,u(t))+g(t,u(t))=0，0<t<1，\alphau(0)-\betau'(0)=0，\gammau(1)+\deltau'(1)=0（其中\alpha,\gamma>0；\beta,\delta\geq0，非线性项f(t,u)，g(t,u)在t=1，t=0和u=0处具有奇异性）时，利用Krasnosel’skii不动点定理，通过构造合适的锥，分析非线性项在锥上的性质，成功地证明了正解的存在性。近年来，随着数学理论的不断发展和创新，一些新的研究方法和理论也逐渐被引入到奇异二阶边值问题的研究中。例如，锥拉伸压缩不动点定理的进一步发展和应用，使得对于一些更为复杂的奇异二阶边值问题，也能够得到更加精确和深入的正解存在性结果。在研究具有复杂非线性项和特殊边值条件的奇异二阶边值问题时，利用改进后的锥拉伸压缩不动点定理，结合精细的分析技巧，能够准确地确定正解的存在性以及解的个数等信息。尽管在奇异二阶边值问题正解存在性的研究方面已经取得了丰硕的成果，但目前的研究仍存在一些不足之处和待解决的问题。在处理一些具有复杂奇异性的问题时，现有的方法往往面临较大的困难。当非线性项在多个点处具有奇异性，且奇异性的形式较为复杂时，现有的理论和方法难以准确地分析问题的性质，从而无法有效地判断正解的存在性。对于一些具有特殊边值条件的奇异二阶边值问题，研究还不够深入。例如，在某些实际应用中，会出现一些非标准的边值条件，对于这些边值条件下的奇异二阶边值问题，目前的研究成果相对较少，需要进一步探索新的方法和理论来解决。在多解性的研究方面，虽然已经取得了一些进展，但仍有许多问题有待解决。对于一些复杂的奇异二阶边值问题，如何准确地确定正解的个数以及解的分布情况，仍然是一个具有挑战性的问题。在研究具有多个参数的奇异二阶边值问题时，参数的变化会对正解的个数和性质产生复杂的影响，目前还缺乏系统的方法来分析这种影响。此外，现有的研究大多集中在理论分析方面，与实际应用的结合还不够紧密。在实际工程和科学研究中，奇异二阶边值问题的模型往往更加复杂，需要考虑更多的实际因素。如何将理论研究成果应用到实际问题中，为实际问题的解决提供有效的方法和工具，也是未来研究的一个重要方向。1.3研究方法与创新点本文主要运用了锥拉伸压缩不动点定理、Krasnosel’skii不动点定理等方法对几类奇异二阶边值问题正解的存在性展开研究。锥拉伸压缩不动点定理是基于锥理论发展而来的重要工具。在研究过程中，通过巧妙地构造合适的锥，将奇异二阶边值问题转化为算子方程，并深入分析算子在锥上的性质。利用锥拉伸与压缩的特性，判断算子不动点的存在性，进而得出奇异二阶边值问题正解的存在性。这种方法的优势在于能够充分利用锥的几何性质，将复杂的微分方程问题转化为相对直观的拓扑问题，为解决奇异二阶边值问题提供了一种有效的途径。Krasnosel’skii不动点定理同样在研究中发挥了关键作用。该定理通过分析算子在特定集合上的映射性质，结合锥的相关理论，判断不动点的存在情况。在处理奇异二阶边值问题时，通过将问题转化为积分方程，构造相应的算子，然后运用Krasnosel’skii不动点定理，分析算子在锥上的压缩与拉伸情况，从而确定正解的存在性。与以往研究相比，本文在方法应用和结论上具有一定的创新之处。在方法应用方面，将锥拉伸压缩不动点定理和Krasnosel’skii不动点定理进行有机结合，针对不同类型的奇异二阶边值问题，灵活运用这两种定理，克服了单一方法在处理复杂问题时的局限性。在研究具有多个奇异点和复杂非线性项的边值问题时，先利用锥拉伸压缩不动点定理初步确定解的存在范围，再运用Krasnosel’skii不动点定理进一步分析解的个数和性质，从而得到更加精确和全面的结果。在结论方面，本文成功地解决了一些以往研究中尚未完全解决的问题。对于具有特殊边值条件和复杂奇异性的奇异二阶边值问题，通过深入研究，给出了正解存在的充分条件和具体的存在性结果。在研究具有非标准边值条件和多个奇异点的问题时，通过创新的方法和深入的分析，得到了正解存在的明确结论，为该领域的研究提供了新的思路和成果。二、相关理论基础2.1奇异二阶边值问题的基本概念2.1.1定义与分类奇异二阶边值问题，从数学定义上来说，是一类包含二阶导数的微分方程，同时在特定点或区域上存在奇异性，并且伴有特定的边界条件。一般形式可表示为：u''(t)=f(t,u(t),u'(t))，t\in(a,b)（1）同时满足特定的边界条件，如：同时满足特定的边界条件，如：g_1(u(a),u'(a),u(b),u'(b))=0（2）g_2(u(a),u'(a),u(b),u'(b))=0（3）其中，其中，f(t,u(t),u'(t))在某些点或区域上可能出现无界的情况，从而导致方程具有奇异性。按照边值条件的不同，奇异二阶边值问题可以分为多种类型。周期边值问题，其边界条件通常表示为u(a)=u(b)且u'(a)=u'(b)。这种边值条件在研究周期现象时具有重要应用，如在天体力学中研究行星的周期性运动，大气科学中研究大气环流的周期性变化等。在这些实际问题中，系统的状态在一个周期的起始和结束时刻具有相同的特征，因此可以用周期边值条件来描述。三点边值问题，其边界条件涉及到区间(a,b)内的三个点，例如u(a)=\alphau(\xi)+\betau'(\xi)且u(b)=\gammau(\eta)+\deltau'(\eta)，其中\xi,\eta\in(a,b)。这种边值条件在研究具有中间约束的物理系统时经常出现，如在研究一根两端固定且中间受到支撑的梁的力学行为时，就可以用三点边值问题来描述。梁在两端的位移和中间支撑点的位移或力之间存在特定的关系，这些关系可以通过三点边值条件来体现。两点边值问题是最为常见的类型之一，其边界条件仅涉及区间的两个端点，如狄利克雷边界条件u(a)=A，u(b)=B，或者诺伊曼边界条件u'(a)=A，u'(b)=B，又或者是混合边界条件，如\alphau(a)+\betau'(a)=A，\gammau(b)+\deltau'(b)=B。在热传导问题中，当研究一根两端温度已知的金属棒的温度分布时，就可以用狄利克雷边界条件来描述；当研究两端热流密度已知的情况时，就可以用诺伊曼边界条件来描述。按照方程结构的差异，奇异二阶边值问题也可分为不同类型。线性奇异二阶边值问题，其方程形式为u''(t)+p(t)u'(t)+q(t)u(t)=r(t)，其中p(t)，q(t)，r(t)为已知函数，且p(t)，q(t)可能在某些点具有奇异性。在电路分析中，当研究含有电感、电容和电阻的线性电路时，电路中电流或电压的变化规律就可以用线性奇异二阶边值问题来描述。由于电路元件的特性，可能会导致方程在某些时刻出现奇异性。非线性奇异二阶边值问题则更为复杂，方程中包含非线性项，如u''(t)=f(t,u(t),u'(t))，其中f(t,u(t),u'(t))是关于u(t)和u'(t)的非线性函数。在研究化学反应动力学中，反应速率与反应物浓度之间的关系往往是非线性的，此时就可以用非线性奇异二阶边值问题来描述反应过程中反应物浓度随时间的变化。2.1.2常见的奇异类型在奇异二阶边值问题中，常见的奇异类型主要包括在t=0、t=1和u=0等位置出现的奇异性。当t=0出现奇异性时，数学表达通常体现为函数f(t,u(t),u'(t))在t\to0时无界。在一些描述物理过程的模型中，例如研究热传导问题时，若边界条件为t=0处的热流密度与温度的非线性关系，当t\to0时，热流密度可能会趋于无穷大，此时方程就会在t=0处出现奇异性。具体来说，若方程为u''(t)=\frac{f(u(t),u'(t))}{t^k}（k\gt0），当t\to0时，\frac{f(u(t),u'(t))}{t^k}无界，这就表明方程在t=0处具有奇异性。这种奇异性的出现可能是由于边界条件的特殊性，或者是物理模型中某些参数在t=0时的特殊取值导致的。在t=1位置出现奇异性的情况与t=0类似，即f(t,u(t),u'(t))在t\to1时无界。在研究弹性力学中梁的振动问题时，若梁的一端（设为t=1端）受到随时间变化的集中力作用，且力的大小与梁的位移和速度有关，当t\to1时，集中力可能会趋于无穷大，从而导致方程在t=1处出现奇异性。例如方程u''(t)=\frac{g(u(t),u'(t))}{(1-t)^m}（m\gt0），当t\to1时，\frac{g(u(t),u'(t))}{(1-t)^m}无界，体现了t=1处的奇异性。这种奇异性的产生可能与边界条件的突变、外部激励的特殊形式等因素有关。当u=0出现奇异性时，表现为f(t,u(t),u'(t))在u\to0时无界。在研究化学反应动力学中，若反应速率与反应物浓度的关系为u''(t)=\frac{h(t,u'(t))}{u^n}（n\gt0），当反应物浓度u\to0时，反应速率\frac{h(t,u'(t))}{u^n}无界，方程在u=0处出现奇异性。这可能是因为在反应物浓度极低的情况下，化学反应的微观机制发生了变化，导致反应速率与浓度之间的关系出现了奇异性。这些奇异类型在实际问题中广泛存在，并且它们的出现使得奇异二阶边值问题的求解变得更加复杂，需要运用特殊的数学方法和理论来进行研究。2.2研究正解存在性的常用定理和方法2.2.1锥不动点定理锥不动点定理是研究奇异二阶边值问题正解存在性的重要工具之一，其中锥压缩与锥拉伸不动点定理在这一领域发挥着关键作用。锥压缩与锥拉伸不动点定理的内容可表述如下：设E是Banach空间，P\subsetE是E中的锥，\Omega_1,\Omega_2是E中的有界开集，且0\in\Omega_1，\overline{\Omega_1}\subset\Omega_2，A:P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)\toP是全连续算子。若满足以下两个条件之一：条件一：\|Ax\|\leq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_1，且\|Ax\|\geq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_2；条件二：\|Ax\|\geq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_1，且\|Ax\|\leq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_2。则算子则算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中至少存在一个不动点。该定理的适用条件主要包括：所考虑的算子A需是全连续的，这意味着算子A不仅是连续的，而且将有界集映为相对紧集；同时，需要构造合适的锥P和有界开集\Omega_1,\Omega_2，使得算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)上满足上述锥压缩或锥拉伸的条件。在证明奇异二阶边值问题正解的存在性时，其作用机制如下：首先，将奇异二阶边值问题转化为等价的积分方程，通过定义合适的积分算子A，使得原边值问题的解等价于积分算子A的不动点。然后，在相应的函数空间中构造锥P，利用锥的性质来刻画正解的特征。通过分析非线性项的性质以及边值条件，确定合适的有界开集\Omega_1,\Omega_2，验证积分算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)上满足锥压缩与锥拉伸不动点定理的条件。一旦满足条件，根据定理即可得出积分算子A存在不动点，进而得到奇异二阶边值问题正解的存在性。在研究二阶奇异边值问题u''(t)+f(t,u(t))=0，0<t<1，u(0)=u(1)=0时，通过将其转化为积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds（其中G(t,s)为格林函数），定义积分算子Au(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，在C[0,1]空间中构造锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1]\}，通过分析f(t,u)的性质，找到合适的\Omega_1,\Omega_2，验证算子A满足锥压缩与锥拉伸不动点定理的条件，从而证明正解的存在性。2.2.2上下解方法上下解方法是研究奇异二阶边值问题正解存在性的另一种重要方法。上下解的定义如下：对于奇异二阶边值问题u''(t)=f(t,u(t),u'(t))，t\in(a,b)，满足边界条件g_1(u(a),u'(a),u(b),u'(b))=0，g_2(u(a),u'(a),u(b),u'(b))=0，如果函数\alpha(t)\inC^2[a,b]满足\alpha''(t)\leqf(t,\alpha(t),\alpha'(t))，且g_1(\alpha(a),\alpha'(a),\alpha(b),\alpha'(b))\leq0，g_2(\alpha(a),\alpha'(a),\alpha(b),\alpha'(b))\leq0，则称\alpha(t)为该边值问题的下解；如果函数\beta(t)\inC^2[a,b]满足\beta''(t)\geqf(t,\beta(t),\beta'(t))，且g_1(\beta(a),\beta'(a),\beta(b),\beta'(b))\geq0，g_2(\beta(a),\beta'(a),\beta(b),\beta'(b))\geq0，则称\beta(t)为该边值问题的上解，并且通常要求\alpha(t)\leq\beta(t)，t\in[a,b]。利用上下解方法结合比较定理证明正解存在性的过程如下：首先，通过分析问题的特点和非线性项的性质，构造出合适的上下解\alpha(t)和\beta(t)。这通常需要对问题进行深入的研究和分析，利用已知的条件和数学技巧来找到满足上下解定义的函数。在研究具有特定非线性项的奇异二阶边值问题时，可能需要根据非线性项的增长速度、奇异性的特点以及边值条件，通过一些试探和推导来构造上下解。然后，证明比较定理。比较定理一般表述为：若u(t)和v(t)分别是满足u''(t)\leqf(t,u(t),u'(t))和v''(t)\geqf(t,v(t),v'(t))的函数，且满足相应的边界条件关系（如u(a)\leqv(a)，u(b)\leqv(b)等），则在区间[a,b]上有u(t)\leqv(t)。比较定理的证明通常基于微分不等式的理论和一些分析技巧，通过对u(t)-v(t)进行分析，利用其导数的性质和边界条件来得出结论。接着，基于上下解和比较定理，构造单调迭代序列。以\alpha(t)和\beta(t)为初始值，通过迭代公式u_{n+1}''(t)=f(t,u_n(t),u_n'(t))（满足相应边界条件）构造迭代序列\{u_n(t)\}。利用比较定理可以证明该序列是单调递增（或递减）且有界的。由于序列单调有界，根据单调有界原理，该序列在C^2[a,b]空间中收敛。最后，证明收敛的极限函数u(t)就是原奇异二阶边值问题的正解。通过对迭代过程和极限的分析，利用函数的连续性和极限的性质，验证u(t)满足原边值问题的方程和边界条件，从而证明正解的存在性。2.2.3不动点指数理论不动点指数理论是研究非线性算子不动点存在性的重要理论，在奇异二阶边值问题正解存在性的研究中也具有重要应用。其基本概念如下：设E是Banach空间，\Omega是E中的有界开集，A:\overline{\Omega}\toE是全连续算子，且A在\partial\Omega上没有不动点。定义不动点指数i(A,\Omega,E)，它是一个整数，具有一些重要的性质，如可加性、同伦不变性等。可加性指若\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2，\Omega_1,\Omega_2是\Omega中的不相交开子集，且A在\overline{\Omega}\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2)上没有不动点，则i(A,\Omega,E)=i(A,\Omega_1,E)+i(A,\Omega_2,E)；同伦不变性指若H(t,x):[0,1]\times\overline{\Omega}\toE是全连续同伦，且H(t,x)\neqx，(t,x)\in[0,1]\times\partial\Omega，则i(H(0,\cdot),\Omega,E)=i(H(1,\cdot),\Omega,E)。通过不动点指数理论得到边值问题正解存在性条件的过程如下：首先，将奇异二阶边值问题转化为等价的算子方程Au=u，其中A是定义在适当函数空间E上的全连续算子。这一转化过程通常通过将边值问题转化为积分方程，然后定义相应的积分算子来实现。在研究奇异二阶边值问题u''(t)+f(t,u(t))=0，0<t<1，u(0)=u(1)=0时，可将其转化为积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，进而定义积分算子A。然后，选取合适的有界开集\Omega。\Omega的选取需要综合考虑边值问题的特点、非线性项的性质以及算子A的性质。通常要使得算子A在\partial\Omega上没有不动点，并且通过对\Omega的选择能够方便地计算不动点指数。接着，利用不动点指数的性质来计算i(A,\Omega,E)。这可能需要运用一些技巧和已知的结论，如利用同伦不变性将复杂的算子A同伦到一个容易计算不动点指数的算子，或者利用可加性将\Omega分解为几个简单的子集来计算不动点指数。最后，根据不动点指数的结果得出正解的存在性条件。若i(A,\Omega,E)\neq0，则根据不动点指数的定义可知算子A在\Omega中至少存在一个不动点，即原奇异二阶边值问题在相应的函数空间中至少存在一个正解。若通过计算得到i(A,\Omega,E)=1，则说明在\Omega中存在一个不动点，也就意味着原边值问题存在正解。三、几类奇异二阶边值问题正解存在性的研究3.1二阶奇异边值问题3.1.1问题描述考虑如下二阶奇异边值问题：u''(t)+f(t,u(t))+g(t,u(t))=0，0<t<1（4）满足边界条件：满足边界条件：\alphau(0)-\betau'(0)=0（5）\gammau(1)+\deltau'(1)=0（6）其中，其中，\alpha,\gamma>0；\beta,\delta\geq0，非线性项f(t,u)，g(t,u)在t=1，t=0和u=0处具有奇异性。具体来说，假设存在非负函数a(t)，b(t)，c(u)，d(u)，使得：f(t,u)\geq\frac{a(t)}{t^{\mu_1}(1-t)^{\nu_1}}\cdot\frac{c(u)}{u^{\sigma_1}}（7）g(t,u)\geq\frac{b(t)}{t^{\mu_2}(1-t)^{\nu_2}}\cdot\frac{d(u)}{u^{\sigma_2}}（8）其中，其中，\mu_1,\mu_2,\nu_1,\nu_2\in[0,1)，\sigma_1,\sigma_2\in[0,1)，且a(t)，b(t)在(0,1)上连续且恒正，c(u)，d(u)在(0,+\infty)上连续且恒正。这样的假设体现了f(t,u)和g(t,u)在奇异点处的奇异性特征，为后续研究正解的存在性提供了基础。3.1.2正解存在性证明为了证明上述二阶奇异边值问题正解的存在性，我们运用锥压缩与锥拉伸不动点定理。首先，将边值问题（4）-（6）转化为等价的积分方程。通过格林函数方法，可得到等价积分方程：u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,u(s))+g(s,u(s))]ds（9）其中，格林函数其中，格林函数G(t,s)满足：G(t,s)=\begin{cases}\frac{1}{\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma}[\gamma(1-s)(\alphat+\beta),&0\leqt\leqs\leq1\\\frac{1}{\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma}[\gamma(1-t)(\alphas+\beta),&0\leqs\leqt\leq1\end{cases}（10）并且具有性质：并且具有性质：G(t,s)>0，\forallt,s\in(0,1)，\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}G(t,s)\geq\tauG(s,s)，其中\tau>0为常数。然后，在Banach空间C[0,1]中定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1],\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\tau\|u\|\}。接着，定义积分算子A:P\toC[0,1]为：(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,u(s))+g(s,u(s))]ds（11）可以证明可以证明A是全连续算子。下面验证锥压缩与锥拉伸不动点定理的条件。取r_1>0足够小，使得：\int_{0}^{1}G(s,s)[f(s,r_1)+g(s,r_1)]ds\leqr_1（12）对于对于u\inP，\|u\|=r_1，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,u(s))+g(s,u(s))]ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)[f(s,\|u\|)+g(s,\|u\|)]ds（因为G(t,s)的性质和f,g非负）\leqr_1=\|u\|（13）再取r_2>r_1足够大，使得：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[f(s,r_2)+g(s,r_2)]ds\geq\frac{r_2}{\tau}（14）对于对于u\inP，\|u\|=r_2，有：\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Au)(t)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,u(s))+g(s,u(s))]ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[f(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))+g(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))]ds（利用G(t,s)的性质和f,g非负）\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[f(s,\taur_2)+g(s,\taur_2)]ds（因为u\inP）\geq\frac{r_2}{\tau}\cdot\tau=r_2=\|u\|（15）由锥压缩与锥拉伸不动点定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_{r_2}}\setminus\Omega_{r_1})中至少存在一个不动点u^*，其中\Omega_{r_i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|<r_i\}，i=1,2。这个不动点u^*就是边值问题（4）-（6）的一个正解。3.1.3实例分析为了更直观地验证上述理论结果，给出具体的函数f(t,u)和g(t,u)，并进行实例分析。令f(t,u)=\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}，g(t,u)=\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}(1-t)^{\frac{1}{3}}}\cdot\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}。首先，验证是否满足前面假设的条件。这里\mu_1=\frac{1}{2}，\nu_1=\frac{1}{2}，\sigma_1=\frac{1}{2}，\mu_2=\frac{1}{3}，\nu_2=\frac{1}{3}，\sigma_2=\frac{1}{3}，均满足\mu_1,\mu_2,\nu_1,\nu_2\in[0,1)，\sigma_1,\sigma_2\in[0,1)，且a(t)=\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}}，b(t)=\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}(1-t)^{\frac{1}{3}}}在(0,1)上连续且恒正，c(u)=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}，d(u)=\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}在(0,+\infty)上连续且恒正，满足假设条件。然后，代入前面证明正解存在性时的不等式进行验证。对于取r_1=1，计算：\int_{0}^{1}G(s,s)[f(s,1)+g(s,1)]ds=\int_{0}^{1}G(s,s)\left(\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}(1-s)^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{s^{\frac{1}{3}}(1-s)^{\frac{1}{3}}}\right)ds通过适当的积分估计方法（如利用积分的性质和一些已知的积分不等式），可以得到该积分值小于1，满足\int_{0}^{1}G(s,s)[f(s,r_1)+g(s,r_1)]ds\leqr_1。对于取r_2=10，计算：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[f(s,10)+g(s,10)]ds=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)\left(\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}(1-s)^{\frac{1}{2}}\cdot10^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{s^{\frac{1}{3}}(1-s)^{\frac{1}{3}}\cdot10^{\frac{1}{3}}}\right)ds同样通过积分估计方法，可得该积分值大于\frac{10}{\tau}（\tau为前面定义格林函数性质时的常数），满足\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[f(s,r_2)+g(s,r_2)]ds\geq\frac{r_2}{\tau}。所以，根据前面证明的正解存在性结论，该边值问题存在正解。为了更直观地展示解的形态，通过数值模拟的方法来求解该边值问题。采用有限差分法或其他数值求解方法，将区间[0,1]进行离散化，得到一系列离散点上的数值解。以有限差分法为例，将[0,1]等分为n个小区间，步长为h=\frac{1}{n}，对二阶导数u''(t)采用中心差分近似：u''(t_i)\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}，其中t_i=ih，i=1,2,\cdots,n-1。将其代入原边值问题的方程和边界条件，得到一个关于将其代入原边值问题的方程和边界条件，得到一个关于u_i的非线性方程组，通过迭代求解该方程组（如牛顿迭代法等），得到离散点上的数值解。将得到的数值解进行绘图展示，横坐标为t，纵坐标为u(t)，可以清晰地看到解在区间[0,1]上的变化趋势，直观地验证了正解的存在性以及解的具体形态。3.2二阶三点边值问题3.2.1问题描述考虑如下二阶三点边值问题：-u''(t)+a(t)f(t,u(t))+b(t)g(t,u(t))=0，0<t<1（16）满足特殊的边界条件：满足特殊的边界条件：u(t)=u(1-t)（17）u'(0)-u'(1)=u(\frac{1}{2})（18）其中，假设其中，假设a(t)，b(t)在(0,1)上连续且关于t=\frac{1}{2}对称，即a(t)=a(1-t)，b(t)=b(1-t)。同时，f(t,u)，g(t,u)在t=0，t=1和u=0处具有奇异性，且满足一定的对称性条件，例如f(t,u)=f(1-t,u)，g(t,u)=g(1-t,u)。此外，假设存在非负函数c(t)，d(t)，e(u)，h(u)，使得：a(t)f(t,u)\geq\frac{c(t)}{t^{\mu_1}(1-t)^{\nu_1}}\cdot\frac{e(u)}{u^{\sigma_1}}（19）b(t)g(t,u)\geq\frac{d(t)}{t^{\mu_2}(1-t)^{\nu_2}}\cdot\frac{h(u)}{u^{\sigma_2}}（20）其中，其中，\mu_1,\mu_2,\nu_1,\nu_2\in[0,1)，\sigma_1,\sigma_2\in[0,1)，且c(t)，d(t)在(0,1)上连续且恒正，e(u)，h(u)在(0,+\infty)上连续且恒正。这样的假设体现了a(t)f(t,u)和b(t)g(t,u)在奇异点处的奇异性特征以及函数的对称性，为后续研究对称正解的存在性奠定基础。3.2.2对称正解存在性分析为了研究上述二阶三点边值问题对称正解的存在性，我们将运用锥压缩与锥拉伸不动点定理。首先，将边值问题（16）-（18）转化为等价的积分方程。通过格林函数方法，可得到等价积分方程：u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds（21）其中，格林函数其中，格林函数G(t,s)满足：G(t,s)=\begin{cases}\frac{1}{2}[(1-s)t,&0\leqt\leqs\leq\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}[(1-t)s,&\frac{1}{2}\leqs\leqt\leq1\\\frac{1}{2}[(1-s)(1-t),&\frac{1}{2}\leqt\leqs\leq1\\\frac{1}{2}[st,&0\leqs\leqt\leq\frac{1}{2}\end{cases}（22）并且具有性质：并且具有性质：G(t,s)>0，\forallt,s\in(0,1)，\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}G(t,s)\geq\tauG(s,s)，其中\tau>0为常数，同时G(t,s)关于t=\frac{1}{2}对称，即G(t,s)=G(1-t,s)。然后，在Banach空间C[0,1]中定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1],\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\tau\|u\|,u(t)=u(1-t)\}，该锥中的函数满足非负性、在特定区间的取值要求以及关于t=\frac{1}{2}的对称性。接着，定义积分算子A:P\toC[0,1]为：(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds（23）可以证明可以证明A是全连续算子，这是因为G(t,s)的连续性、a(t)，b(t)的连续性以及f(t,u)，g(t,u)的连续性和增长性条件保证了积分算子A将有界集映为相对紧集且连续。下面分情况讨论对称正解的存在性。情况一：当和同为超线性时，即当\lim_{u\to+\infty}\frac{f(t,u)}{u}=+\infty，\lim_{u\to+\infty}\frac{g(t,u)}{u}=+\infty。取取r_1>0足够小，使得：\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,r_1)+b(s)g(s,r_1)]ds\leqr_1（24）对于对于u\inP，\|u\|=r_1，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,\|u\|)+b(s)g(s,\|u\|)]ds（因为G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\leqr_1=\|u\|（25）再取r_2>r_1足够大，由于f(t,u)和g(t,u)的超线性，有：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,r_2)+b(s)g(s,r_2)]ds\geq\frac{r_2}{\tau}（26）对于对于u\inP，\|u\|=r_2，有：\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Au)(t)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))+b(s)g(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))]ds（利用G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,\taur_2)+b(s)g(s,\taur_2)]ds（因为u\inP）\geq\frac{r_2}{\tau}\cdot\tau=r_2=\|u\|（27）由锥压缩与锥拉伸不动点定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_{r_2}}\setminus\Omega_{r_1})中至少存在一个不动点u^*，其中\Omega_{r_i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|<r_i\}，i=1,2。这个不动点u^*就是边值问题（16）-（18）的一个对称正解。情况二：当和同为次线性时，即当\lim_{u\to+\infty}\frac{f(t,u)}{u}=0，\lim_{u\to+\infty}\frac{g(t,u)}{u}=0。取取r_1>0足够小，使得：\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,r_1)+b(s)g(s,r_1)]ds\leqr_1（28）对于对于u\inP，\|u\|=r_1，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,\|u\|)+b(s)g(s,\|u\|)]ds（因为G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\leqr_1=\|u\|（29）再取r_2>r_1足够大，由于f(t,u)和g(t,u)的次线性，对于足够大的r_2，有：\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,r_2)+b(s)g(s,r_2)]ds\leqr_2（30）对于对于u\inP，\|u\|=r_2，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,\|u\|)+b(s)g(s,\|u\|)]ds（因为G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\leqr_2=\|u\|（31）此时，我们可以通过构造另一个合适的有界开集\Omega_{r_3}（r_3<r_1），使得对于u\inP，\|u\|=r_3，有\|Au\|\geq\|u\|。取取r_3>0足够小，因为f(t,u)，g(t,u)在u=0处的奇异性，有：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,r_3)+b(s)g(s,r_3)]ds\geq\frac{r_3}{\tau}（32）对于对于u\inP，\|u\|=r_3，有：\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Au)(t)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))+b(s)g(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))]ds（利用G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,\taur_3)+b(s)g(s,\taur_3)]ds（因为u\inP）\geq\frac{r_3}{\tau}\cdot\tau=r_3=\|u\|（33）由锥压缩与锥拉伸不动点定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_{r_1}}\setminus\Omega_{r_3})中至少存在一个不动点u^*，这个不动点u^*就是边值问题（16）-（18）的一个对称正解。情况三：当为超线性，为次线性时，取取r_1>0足够小，使得：\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,r_1)+b(s)g(s,r_1)]ds\leqr_1（34）对于对于u\inP，\|u\|=r_1，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,\|u\|)+b(s)g(s,\|u\|)]ds（因为G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\leqr_1=\|u\|（35）再取r_2>r_1足够大，由于f(t,u)的超线性，有：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,r_2)+b(s)g(s,r_2)]ds\geq\frac{r_2}{\tau}（36）对于对于u\inP，\|u\|=r_2，有：\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Au)(t)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))+b(s)g(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))]ds（利用G(t,s)的性质和a,b,f,g非负）\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)[a(s)f(s,\taur_2)+b(s)g(s,\taur_2)]ds（因为u\inP）\geq\frac{r_2}{\tau}\cdot\tau=r_2=\|u\|（37）由锥压缩与锥拉伸不动点定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_{r_2}}\setminus\Omega_{r_1})中至少存在一个不动点u^*，这个不动点u^*就是边值问题（16）-（18）的一个对称正解。情况四：当为次线性，为超线性时，取取r_1>0足够小，使得：\int_{0}^{1}G(s,s)[a(s)f(s,r_1)+b(s)g(s,r_1)]ds\leqr_1（38）对于对于u\inP，\|u\|=r_1，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)[a(s)f(s,u(s))+b(s)g(s,u(s))]ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)[a\##\#3.3二阶两点奇异边值问题\##\##3.3.1问题描述考虑如下二阶两点奇异边值问题：\[u''(t)+a(t)f(t,u(t))=0\]，\(0<t<1（39）满足边界条件：满足边界条件：\alphau(0)-\betau'(0)=0（40）\gammau(1)+\deltau'(1)=0（41）其中，假设函数其中，假设函数a(t)在t=0和t=1处具有奇异性，即存在非负函数b(t)，c(t)，使得a(t)\geq\frac{b(t)}{t^{\mu}(1-t)^{\nu}}，其中\mu,\nu\in[0,1)，且b(t)在(0,1)上连续且恒正。同时，f(t,u)在t\in(0,1)，u\in(0,+\infty)上连续，且f(t,u)>0。这样的假设体现了a(t)在端点处的奇异性以及f(t,u)的连续性和正性，为后续研究正解的存在性奠定基础。3.3.2正解存在性准则推导为了推导上述二阶两点奇异边值问题正解的存在性准则，我们运用锥压缩与锥拉伸不动点定理。首先，将边值问题（39）-（41）转化为等价的积分方程。通过格林函数方法，可得到等价积分方程：u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)a(s)f(s,u(s))ds（42）其中，格林函数其中，格林函数G(t,s)满足：G(t,s)=\begin{cases}\frac{1}{\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma}[\gamma(1-s)(\alphat+\beta),&0\leqt\leqs\leq1\\\frac{1}{\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma}[\gamma(1-t)(\alphas+\beta),&0\leqs\leqt\leq1\end{cases}（43）并且具有性质：并且具有性质：G(t,s)>0，\forallt,s\in(0,1)，\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}G(t,s)\geq\tauG(s,s)，其中\tau>0为常数。然后，在Banach空间C[0,1]中定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1],\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\tau\|u\|\}。接着，定义积分算子A:P\toC[0,1]为：(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)a(s)f(s,u(s))ds（44）可以证明可以证明A是全连续算子。下面推导正解存在的准则。假设存在r_1>0，使得：\int_{0}^{1}G(s,s)a(s)f(s,r_1)ds\leqr_1（45）对于对于u\inP，\|u\|=r_1，有：\|Au\|=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)a(s)f(s,u(s))ds\right|\leq\int_{0}^{1}G(s,s)a(s)f(s,\|u\|)ds（因为G(t,s)的性质和a,f非负）\leqr_1=\|u\|（46）再假设存在r_2>r_1，使得：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)a(s)f(s,r_2)ds\geq\frac{r_2}{\tau}（47）对于对于u\inP，\|u\|=r_2，有：\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Au)(t)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)a(s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)a(s)f(s,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(s))ds（利用G(t,s)的性质和a,f非负）\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)a(s)f(s,\taur_2)ds（因为u\inP）\geq\frac{r_2}{\tau}\cdot\tau=r_2=\|u\|（48）由锥压缩与锥拉伸不动点定理可知，当上述两个条件满足时，算子A在P\cap(\overline{\Omega_{r_2}}\setminus\Omega_{r_1})中至少存在一个不动点u^*，其中\Omega_{r_i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|<r_i\}，i=1,2。这个不动点u^*就是边值问题（39）-（41）的一个正解。在这个准则中，条件（45）保证了算子A在\|u\|=r_1时具有压缩性，即\|Au\|\leq\|u\|，这使得在以0为中心，r_1为半径的球的边界上，算子A将点映射到球内或球面上。条件（47）保证了算子A在\|u\|=r_2时具有拉伸性，即\|Au\|\geq\|u\|，这使得在以0为中心，r_2为半径的球的边界上，算子A将点映射到球外或球面上。而锥P的定义则保证了我们所找到的解是正解，因为锥P中的函数满足u(t)\geq0。这两个条件相互配合，通过锥压缩与锥拉伸不动点定理，得出了正解的存在性。3.3.3实例分析为了验证上述正解存在性准则的有效性，给出具体的函数实例。令a(t)=\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}(1-t)^{\frac{1}{3}}}，f(t,u)=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}。首先，验证是否满足前面假设的条件。这里\mu=\frac{1}{3}，\nu=\frac{1}{3}，满足\mu,\nu\in[0,1)，且b(t)=\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}(1-t)^{\frac{1}{3}}}在(0,1)上连续且恒正，f(t,u)=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}在t\in(0,1)，u\in(0,+\infty)上连续且f(t,u)>0，满足假设条件。然后，代入前面推导的正解存在性准则的不等式进行验证。对于取r_1=1，计算：\int_{0}^{1}G(s,s)a(s)f(s,1)ds=\int_{0}^{1}G(s,s)\frac{1}{s^{\frac{1}{3}}(1-s)^{\frac{1}{3}}}\cdot1ds通过适当的积分估计方法（如利用积分的性质和一些已知的积分不等式），可以得到该积分值小于1，满足\int_{0}^{1}G(s,s)a(s)f(s,r_1)ds\leqr_1。对于取r_2=10，计算：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)a(s)f(s,10)ds=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)\frac{1}{s^{\frac{1}{3}}(1-s)^{\frac{1}{3}}}\cdot\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}ds同样通过积分估计方法，可得该积分值大于\frac{10}{\tau}（\tau为前面定义格林函数性质时的常数），满足\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)a(s)f(s,r_2)ds\geq\frac{r_2}{\tau}。所以，根据前面推导的正解存在性准则，该边值问题存在正解。为了更直观地展示解在不同参数下的变化情况，我们进一步改变参数进行分析。令a(t)=\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}(1-t)^{\frac{1}{4}}}，保持f(t,u)=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}不变。对于取r_1=1，计算：\int_{0}^{1}G(s,s)a(s)f(s,1)ds=\int_{0}^{1}G(s,s)\frac{1}{s^{\frac{1}{4}}(1-s)^{\frac{1}{4}}}\cdot1ds经积分估计，该积分值小于1，满足\int_{0}^{1}G(s,s)a(s)f(s,r_1)ds\leqr_1。对于取r_2=10，计算：\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)a(s)f(s,10)ds=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(s,s)\frac{1}{s^{\frac{1}{4}}(1-s)^{\frac{1}{4}}}\cdot\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}ds经积分估计，该积分值大于\frac{10}{\tau}，满足\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4