2025-2026学年下学期湖南邵阳高三数学3月二模试卷（含答案）

2026年邵阳市高三第二次联考试题卷数学满分150分。考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x∣x2−x−A.−∞,3B.−2,22.已知复数z满足1+i⋅A.zB.复数z在复平面内对应的点位于第一象限C.复数z的共轭复数为−D.将复数z对应的向量绕原点按逆时针方向旋转π2，所得向量对应的复数为3.在平行四边形ABCD中,点E在线段AC上,且AE=23AC.若ED=λAD+A.−13B.−234.清明将至,为倡导文明祭祀,筑牢防火安全防线,4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动,要求每名志愿者只能选择一个社区,每个社区至少要有一名志愿者，则不同的派法共有A.24种B.36种C.64种D.72种5.已知函数fx=A.fx+C.函数fx在区间0,πD.函数fx的图象关于点7π186.已知M是△ABC内的一点,且AB⋅AC=43,∠BAC=30∘.若△MBC,△MCAA.437.已知函数fx=lneA.是偶函数,且在0,+∞单调递增B.是偶函数,且在0,+∞C.是奇函数,且在0,+∞单调递增D.是奇函数,且在0,+∞8.在正四棱锥P−ABCD中，E是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，A.12B.35C.4二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知F1,F2分别是椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点,过F1的直线A.△ABF2C.AB的最小值为12D.存在直线l,使得10.下列说法正确的是A.数据2,3,4,5,6,7,8,9的第25百分位数为3B.若随机变量X∼B6,C.某校在对高一(2)班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105,方差为24,随机抽取5名女生的数学成绩,其平均数为102,方差为21,则这15名学生的数学成绩的方差为25D.一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为1611.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,A.BB.若D是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为4C.cosA+cosB+cosD.若点O是△ABC的外心，且BO=λBA+μBC三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A1,0,B4,0,动点P满足PA=13.已知cosπ4−x=14.已知函数fx=aex+bx−ca>0,b四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知数列an是等差数列,且a1=1,2a3=a(1)求an的通项公式，并证明数列bn(2)若数列cn满足cn=an+bn，求cn16.(15分)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据:甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀;乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表(一)所示.单位:人学校数学成绩合计不优秀优秀甲校1050乙校1070合计表(一)(1)完成表(一)列联表，依据小概率值α=0.1的χ(2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下:甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为13,乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为12.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生,用样本估计总体,用频率估计概率,参考公式与数据:χ2=nad−α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.(15分)如图(一),在四棱锥P−ABCD中,PB=PD,AD//BC,AB⊥BC,AB=22,AD=1,BC(1)求证:CE⊥PB(2)设点Q是三棱锥P−BCD的外接球的球心，且四棱锥P−ABCD的体积是72，求直线QC图(一)18.(17分)已知双曲线E的渐近线方程为y=±33x,右焦点为F2,0,直线l与(1)若l与E的渐近线分别交于A,B两点，证明:点P为线段AB(2)已知直线l1:x=2,l2:x=32，若l与l1,l2分别交于点M,N19.(17分)已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数gx=fxx−aa∈R有两个零点x1和(3)设函数hx=kx3+2x,k∈R，若hx与fx的图象有两个交点Mm,s，2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案DBABCCAB8.B如图所示,在正四棱锥P−ABCD中,E是棱PA的中点,取PD的中点为F,连接EF,BE,CF,CE,CA,FA,所以EF//AD,因为AD//BC平面BCFE把四棱锥分为两个部分,设四棱锥P−ABCD的体积为V,高为则VF同理VE设点C到平面AEF的距离是t,则VC即VF所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为35二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ABDBCACD11.ACD因为cosCcosB+sinCsinB=2ab,所以cosCsin又B∈0,π,故B=π由正弦定理asinA=bsinB=csin又sinB=32因为D是边AC的中点,所以BD=又因为BA⋅BC=accos当且仅当a=c=6时取等号,所以BDcos=sin当sinA+π6=1时,cosA+cosB+cosC因为ac=6,c=因为BO=λBA+μBC,所以即2=4λ+3μ,92=3λ+三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.2114.e20262027由已知可得ex≥−b故ex≥mx+n恒成立,故m(1)若m=0，则(2)若m>0，令ggx的定义域为R当x<lnm时,有g′x<0;当所以gx在−∞,lnm单调递减,在ln所以当x=lnm时,gx的最小值为因为gx≥0恒成立,则gxmin≥0恒成立,得(i)当n≤0时,则有(ii)当n>0时,则有0<m2026令hx当0<x<e20262027时,h′x>则hx在0,e202620272026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第2页(共7页)所以当x=e20262027时,hx综合(1)(2)得:m2026n的最大值为所以b2026ca2027四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)(1)设等差数列an的公差为d，由a1=1,2a3=a4+3由bn+1=3bn+an得所以bn+n是一个以4为首项,3(2)由(1)可得bn+n=4×所以cn所以Tn=16.(15分)解:(1)列联表如下单位:人学校数学成绩合计不优秀优秀甲校401050乙校601070合计100201202分零假设为H0:根据列联表数据，计算得到χ2=根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0(2)设事件A=“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”,事件B1=“该学生来自甲校”,事件PB1=25,则PA所以该学生数学成绩有效转化的概率为1330.1517.(15分)解:(1)证明:在直角梯形ABCD中，AD//BCAB=22,AD因为BE=2DE,所以又cos∠ADB=cos∠EBC=13所以CE⊥BD又因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以CE⊥平面PBD因为PB⊂平面PBD,所以CE⊥(2)取BD的中点为O，连接PO.因为PB=PD，所以又因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,PO⊂平面PBD,所以所以VP得PO=3以点O为原点,分别以OB,OPx轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则P0,设Qx0,y0,z0又QB=所以94且y0解得:y0=1528,所以CQ=设m=x,y,z是平面PCD的一个法向量,则即−12x+42y−3z所以m=2设直线QC与平面PCD所成的角为θ,则sinθ所以直线QC与平面PCD所成角的正弦值是246123.1518.(17分)解:设双曲线E:由题意得:ba=33,c=2,a(1)证明:设Px0i)当切线l斜率不存在时,由对称性可知,P为AB的中点.ii)当切线l斜率存在时,设切线l联立方程组:x23−y2=1,y由Δ=0,即x0又x0​2−3所以3y0​2k2−2x所以直线l:y−y0=x03y联立方程组:x23−y2=0,y=x03则上式化简为x2−设Ax1,y1,Bx2,y2,则x(2)因为l与l1相交，则切线l由(1)知,切线l:y=x03y0x−所以M2,2x0NF=2−32故存在λ=233,使得MF19.(17分)解:(1)fx的定义域为0当0<x<e−12时,f′x所以fx在0,e−12当x=e−12时,fx取极小值,极小值为(2)gx=xlnx−a有两个零点，即方程xlnx设φx=xlnx当x∈0,1e时,φ′x<0所以φx在0,1e上单调递减,在所以φx在x=1e处取得最小值,5分不难知函数φx的最低点为B1e,1e，且A1,0，直线OB:y=−x，直线AB:y=1e−1x−1.则直线y=a−1e<a解方程可得x3=−当