湖北省天门市天门中学等校2025-2026学年高三下学期2月阶段训练数学试卷（含解析）

2026年高三年级2月阶段训练数学试卷注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将答题卡上交.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知A=x y=xA.{0,1,2,2.若复数z满足z+2i=3，则A.1B.2C.5D.63.若点P2,1在圆x2+y2A.−10,+∞B.−10,4.已知命题:“记等差数列an的前n项和为Sn，若2ak+a7+aA.1B.2C.3D.45.已知函数fx及其导函数f′x定义域均为R,则“fx图象关于1,0中心对称”是“f′A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.记函数fx=sinωx+π4,其中ω>0,若fx在0,π恰有两个零点,且fA.π4,π2B.π7.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=B1C=2,AB=2,∠BAC=45∘，点B1A.33B.63C.18.已知函数fx的定义域是R，f′x是fx的导数.f1=−54，对∀x∈R，有fA.0,1B.1,+∞C.二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分,每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在某次联考中,全体物理方向高三学生数学成绩X∼N100,400,此次联考物理方向数学一本线为80分,清北线为140分.已知:若X∼NA.若随机变量Y=X−100400B.PC.从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为1D.从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为110.已知抛物线C:y2=4x的焦点F，直线AB与抛物线交于A,B两点.分别作抛物线在AA.若AB过焦点F，则AB最小值为4B.若AB过焦点F，则△ABPC.若AB中点M的横坐标为4,则AB最大值为12D.若点P在直线x=−4上，则11.若数列an满足:∃C∈R,∀n∈{2,3,4,⋯},an−an−1+A.首项为1,公比为12B.若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列,其公比的取值范围为0C.若数列an满足∀n∈N∗,D.若数列Sn是有限稳定数列,则数列an三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.已知平面向量a=x,−1,b=−213.已知直线y=−2x+c与函数fx14.已知A,B,D是双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0上不同的三点，点A,B关于坐标原点对称，且AB+AD=BD,过点A四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,D为PC的中点,且(1)求证:平面ADB⊥平面PBC(2)若三棱锥P−ABC的外接球球心为M，求平面MDA与平面MOA16.已知a,b,c分别是锐角△ABC三个内角A,B,C(1)求A，b的值；(2)求△ABC17.在篮球训练场上,教练甲指导三名学员A,B,C进行传球训练,训练开始时,篮球在教练甲手中.由甲开始传球,他每次等可能地将篮球传给学员A,B,C(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；(2)设Pn表示经过n次传球后篮球在A手中的概率，求P18.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1a(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P,Q(i)若PQ中点为B,点D是椭圆C上的动点,且满足:DB=3OB,证明(ii)若点M为△APQ的外心,且M在直线x=−12上,求点A到直线19.已知函数fx(1)求fx(2)若∀x∈0,π,(3)若0<x1<x2,x01.C依题意,A=x x+1≥0x故选:C2.C设z=x+yi,x,y∈所以复数z对应的点Z的轨迹为C0,−2为圆心,半径设O为坐标原点,可得OC=2,所以z=x2故选:C.3.B点P2,1在圆x2+y2+4x−2y+k−1=0外,即点到圆心的距离大于半径.将圆方程化为标准形式得x+2故选:B4.A设an=a1+n2整理得,4a1+2k又S9=9a5=9a若S9为定值,则1−k2故选:A5.A由函数fx图象关于1,0中心对称,得−即f′2−x=f′x,因此函数令函数fx=x−13+1,则f′x而函数fx的图象是由函数y=x3的图象向右平移又函数y=x3的图象关于点0,0中心对称,因此函数fx所以“fx图象关于1,0中心对称”,是“f′x故选:A6.D因为函数fx=sinωx+π4,其中ω>0,若所以π4所以2π≤所以74又因为fπ2=−22所以π2ω+π4解得ω=4k−1,结合74≤ω<114所以fx又因为当−π2+2kπ所以fx的单调增区间为函数fx在x∈0,π故选:D.7.B依题意,CD的最小值即为点C到平面ABB1A1因为B1C⊥平面ABC,AC⊂平面因为AC=2，AB=2，由余弦定理,BC=故AC2+BC因为B1C⊥平面ABC,BC⊂平面则AB又AB=2，故△ABB1故VC而VC−ABB1A18.B因为fx<12x2lnx−54x2⇔fx−12x2lnx+54x2<0,令hx=fx−12x2lnx+54所以h′x=f′x+gx≤−e+e=0,所以函数hx在区间9.BCD对于A,因为X∼N100,400若随机变量Y=X−μσ,则Y故Y=X−10020时,对于B,PP由正态分布的对称性可得P120所以P80≤X≤140=P80≤X≤120+P120可得PX≥所以从参考学生中依次抽取两名学生,则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为:P=C21对于D,由P80≤X≤120所以PX又PX≥140=1所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为1−n1+m故选:BCD.10.ABD抛物线C:y2=4x的焦点F对于A,直线AB方程为x=ty+1,由x=ty+1yAB=1+t2⋅y1+y对于B,设抛物线C在点A处切线方程为y−y1=k得k4y2−y+y1−该切线方程为y−y1=2y1x−x1,即y2y=2x+APAP⋅BP=−y1y216对于C,由AB中点M的横坐标为4,得x1+AB当且仅当点A,F,B共线时取等号,对于D,由点P在直线x=−4上,得y1y24=−4,即y1y2=−故选:ABD11.AD对A,设an则相邻两项差的绝对值an设Tn则Tn=12n−对B,若该等比数列公比为1,则相邻两项差为0,是有限稳定数列,因此公比的取值范围应为(0,1],故对C,取an=−1n但相邻两项差绝对值和Tn=k=2n因此该数列不是有限稳定数列,C错;对D,若数列Sn是有限稳定数列,k=2nak而k=所以k=2nak−ak故选:AD12.1或2根据题意a+b=x−2,−x所以xx−2+−1−x=当x=0时,a=0,−当x=1时,a=1,−故答案为:1或2.13.5设函数fx=12x2−3ln函数fx=12x由fx=12x2−3ln所以x02+2x0−3=0又f1=12×1又切点在直线y=−2x+c上,所以12故答案为:5214.2设Ax0,y0因为AN=4AM,所以又AB+AD=BD,即AB+即kAB⋅kAD=−由双曲线第三定义得kAD即−3y0x0解得e故答案为:215.(1)因为AB是圆O的直径,所以∠ACB=90∘，所以因为PA垂直于圆O所在平面,BC在圆O所在平面内,所以PA⊥又AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC又AD⊂平面PAC,所以BC又因为PA=AC,D为PC的中点,所以又BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC又AD⊂平面ADB,所以平面ADB⊥平面(2)由(1)知BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BC所以△PBC与△PAB是有公共斜边PB所以PB是三棱锥P−ABC的外接球的直径,所以球心M为PB以C为坐标原点,CA,CB所在直线为x,y轴,过C作PA的平行线为则A2,0,0所以DA=设平面MDA的法向量为m=则m⋅DA=x1−z1=所以平面MDA的一个法向量为m=设平面PAB的法向量为n=n所以平面PAB的一个法向量为n=因为平面MOA即为平面PAB,所以平面MOA的一个法向量为n=设平面MDA与平面MOA所成的夹角为θ,则cosθ所以平面MDA与平面MOA夹角的余弦值为6416.(1)A(2)3(1)在锐角△ABC中，由正弦定理得asin∴a又3a∴∵c所以3sin则2sin在锐角△ABC中,∵∴A−π6=∵ab(2)由(1)得A由正弦定理:asinAc因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<π所以tanB∈33,+∞所以S△ABC=12bcsinA=17.(1)设教练甲接球次数为X,X球在学员手中,传给教练甲的概率为14,传给其他学员的概率为3PPP∴分布列为:X012P276433641数学期望EX(2)设Qn表示经过n∴Q且Qn即Qn则数列Qn−15是首项为−15∴Qn−15又传给学员A,B∴P18.(1)依题意，椭圆C:x2a2+由椭圆C的离心率为22,得a所以椭圆C的方程为x2(2)(i)设点Px1,y1，Qx2,y2，当直线由x=ty+mxΔ=PQ原点O到直线PQ的距离h=由PQ中点为B,DB=3OB,得点O是△由点D在椭圆C上,得x1+x22则x1x2+2整理得t2+2y1y2+tmy1+y2+m2+2=0,即2m2−2−2t2m2t2+2=0,则t2+2=2m2,因此△PQD的面积S△PQD=3S△POQ(ii)当直线l的斜率为0时,线段PQ的中垂线为y轴,不符合题意,点A−2,0,由(i)得线段AP的中点x1−22,y12,AQ的中点x2−22,y22,m≠−2,线段AP的中垂线方程为y−y12=−x1+2y1x−x1−22,即y=−x1+2y1x−y12,同理线段AQ的中垂线方程为y=−x2+2y2x−y22,x=12⋅y1y2y1−y2y1x2+2−y2x1+2=12⋅y1y2y1−y2y1ty2+19.1)已知fx=xlnxx>0,对其求导可得f′当x变化时,f′xx01e1f-0+f↘极小值↗所以fx故fx的最小值为−(2)设gx=则g′令hx=g′x(i)当a≥0时,因为x∈0,π