2025-2026学年下学期河南五市高三数学3月第一次质量检测试卷（含答案）

2026年高中毕业年级第一次质量检测数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈NA.0,3B.−1,2.样本数据38,133,143,177,209,151,210,223,252,281,218,309的上四分位数是A.223B.237C.237.5D.2523.已知向量a,b满足a=1,b=1,1A.−12,−12B.4.已知随机变量ξ服从正态分布N3;2;ηA.Dξ=C.Pη=5.已知函数fx=cosxsinx−sinx的周期为A.T=πC.T=2π6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ0∘≤θ<90°)的对应数表,这是世界数学史上最早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=htanθ.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为α,β,若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍,且A.14倍B.34倍C.54倍D.7.在等差数列an中，a2002−a2023+a2025A.5’B.6C.2.025D.20268.已知椭圆E1:x24+y2b2=1A.4B.5C.3+2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.一般地,任何一个复数z=a+bia,b∈R都可以写成z=rcosθ+isinθ的三角形式,其中cosθ=arA.2π3B.5π6C.7π10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,分别过点A,B作A.直线AB的斜率为3B.BNC.△AMF的周长为12D.B,11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.A.AB.bC.△ABC周长的取值范围为D.若O是△ABC外接圆的圆心,则△OAC和△OBC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数y=logax−1−2的图象恒过定点A，且函数fx=lnx−ax13.采购员要购买某种电器元件一包(12个)化的采购方法是:从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是_____.14.如图为四棱锥P−ABCD的平面展开图，其中FBCD为平行四边形，△ABF是边长为1的等边三角形,A为DF的中点,GC=102,则四棱锥四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某小区物业为提高服务质量；随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表:性别服务评价合计满意不满意男业主8020100女业主6040100合计14060200(1)依据α=0.05(2)从小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，B表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出PA∣B，附:χ2α0.050.010.005X3.8416.6357.87916.(15分)已知数列an的前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列，数列bn(1)求数列an，bn(2)是否存在正整数m，k使得bm+bm+2+bm+17.(15分)已知在三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形,且PB⊥AC(1)求证:PA⊥BC(2)求平面AEF与平面ABC的夹角的正弦值.18.(17分)用圆规画一个圆C,然后在圆外标记点D,并把圆周上的点P1折叠到点D,连接CP1,标记出直线CP1与折痕所在直线l1的交点M1(如图),若不断在圆周上取新的点P2,P3,⋯,进行折叠并得到标记点M2,M3,⋯,设圆C的半径为4,点D到圆心C的距离为6,以CD所在的直线为x(1)求曲线Γ的轨迹方程.(2)设P为曲线Γ上第一象限内的一点，记△PCD的重心为G，内心为I①若CD=λICλ≠0②连接PD交曲线Γ于另一点Q，设△CDQ的内心为R，求四边形CIDR的面积S19.(17分)已知函数fx=xa−axx>0(1)试求gx(2)当a>1时，讨论函数f(3)若fax<aax−2026年高中毕业年级第一次质量检测数学参考答案一、选择题1-8.DCADCBAD二、选择题9.BC10.BCD11.ABD三、填空题12.3四、解答题15.(1)假设H0:小区男、女业主对该物业服务的评价无差异.(2因为χ2=所以依据α=0.05的独立性检验,假设H0(2)由题意，得PA∣PB∣16.(1)由n,an，Sn成等差数列，得所以Sn①-②，得an+1=2a所以an+又因为当n=1时,S1+1所以数列an+1是首项为2,公比为2所以an+1=2⋅所以bn=综上,an=(2)由(1)，得bn=从而b1)2m+2k方法一:由于m,k为正整数,所以当k=1时,m=172;当k=2时,m=92;当k=3时,m=2;当综上只有当m=2即存在m=2,k方法二:前同法一知k+12m+2k−1=36.由于m,k为正整数,则k+1<2m+2k−1,且2m+17.(1)取线段AB的中点为M,连接PM,因为PA=PB,所以又因为△ABC为正三角形,所以CM又PM∩CM=M,所以AB⊥又PC⊂平面PMC,所以AB⊥方法一:设PA=a则AC=因为PB⊥AC,所以PB⊥AC所以b⋅c−a=同理,由AB⊥PC,可得b由①-②,得a⋅所以a⋅c又c−所以PA⊥BC,即PA方法二:作PH⊥平面ABC于H,易得PH⊥AC,又PB⊥AC,PB∩PH=P,所以同理,得AB⊥CH,即H为△ABC的垂心.所以所以BC⊥平面PAH,则PA⊥(2)方法一:作PH⊥平面ABC于H,连接HC作Hx垂直HC,建立如图所示空间直角坐标系.则A1P所以有AF=−取平面AEF的法向量m=x,y,即−x+233y+153z取平面ABC的法向量n=不妨设平面ABC与平面AEF的夹角为θ,则cosθ=所以sinθ即平面ABC与AEF所成角的正弦值为23.(15方法二:取BC中点G,连接PG交EF于N,则N为EF中点.连接AG,AN,易知过A做BC的平行线AQ,则AG⊥因为AQ为平面ABC与平面AEF的交线，所以∠GAN为平面ABC与平面AEF所成二面角的平面角.(9由平面几何知识，易得△ACF∽△PAC，则又△AEF为等腰三角形，所以在Rt△AFNAN=又在Rt△AGC中,AG=在Rt△PGC中,PG所以GN=1所以在△AGNcos∠GAN=所以sin∠GAN=23,即平面ABC与AEF所成角的正弦值为18.(1)把圆周上的点P1折叠到点D，折痕所在直线l1是DP1的垂直平分线，所以若不断在圆周上取新的点P2,P3,⋯,进行折叠并得到标记点M2,M3,⋯,总有1M1C−M1D∣=CP1=r由CD=6,得2c=6,所以即曲线Γ的标准方程为x24(2)方法一:①设点Px0,y0x0>0,y0>由CD=λIGλ≠0知,IG//CD,即内心I所以由S△PCD得PC+而PC=即2PD+10=18所以x0−32所以点P的坐标为4,15②设内切圆圆I与x轴的切点为H，其横坐标为x1.根据双曲线定义和内切圆性质:CH联立,解得CH=所以圆心I的横坐标为:x1同理,得△CDQ的内切圆与x轴的切点横坐标也为(13分)连接DI和DR,则DI和DR均为角平分线.设直线PD倾斜角为θ,通过几何关系,得IR=IH由P,Q均在右支上可知,tanθ>52,或即2sinθ所以S=即S的取值范围6,18(2)方法二:①连接PI并延长交x轴于T，由CD=λIGλ≠0知，由角平分线性质知,PCCT=PDTD=2,则解得PC=8,PD=4.故CT设内切圆圆I与x轴的切点为H,其横坐标为x1根据双曲线定义和内切圆性质:CH−CH+联立，解得CH=5，所以圆心I的横坐标为:xI(9分)所以x1−x0=代入曲线C,得y0=所以点P的坐标为4,15②由①知，H的横坐标为2.同理，△CDQ的内切圆与x轴的切点横坐标也为连接DI和DR,则DI和DR均为角平分线,设直线PD倾斜角为θ,通过几何关系,得IR=IH由P,Q均在右支上可知,tanθ>52,或tanθ<−52所以S=12CD⋅IH+RH=119.(1)定义域是0,+∞∵f∴当0<x<e时,f′x>0,fx在0,e上单调递增;当x>e时,f′x<(2)函数fx=ax−xa=0x>0,a令gx=lnxxx>0,则原题转化为当0<x<e时，g′x>0，gx单调递增；当x>则gx在x=e处取得极大值，也是最大值ge=1e，当0<x≤1时,gx≤当a=e时,gx=1e,解得x=e当1<a<e时,0<lnaa<1