黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二下期末数学试卷（含答案）

哈尔滨市2023级高二学年学业质量检测数学试卷本试卷共19题，共150分，共4页。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈N∣x≤5,B=A.{x|-1≤x≤3} B.{x|x≤5}C.{0,1,2,3} D.{1,2,3}2.已知命题p:∀x∈R,eA.∀x∈R,ex-x-1≤0C.∃x0∈R,3.已知角α终边上一点P(1,y),若cosα=A.3 B.22 C.±3 4.已知函数y=f(x)是奇函数且在区间[-5，-1)上单调递增，则函数y=f(x)在区间(1,5]上A.单调递增，有最小值 B.单调递增，有最大值C.单调递减，有最小值 D.单调递减，有最大值5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积是它的体积的.6倍，则该直角圆锥的母线长为A.3 B.3 C.32 6.将标有1，2，3，4的4个不同的小球分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少有1个球，则1号球分给甲的不同分配方式共有()种A.6 B.12 C.24 D.36高二数学第1页共4页7.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，若PXA.112 B.512 8.已知样本数据a₁，a₂，a₃，a₄都为正数，其方差为s2=14A.21 B.25 C.80 D.101二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数a,b满足a+b=1,则A.ab≤14 B.4a+110.下列说法正确的是A.一组数据(x₁,yᵢ)(i=1,2,3,4,5,6)的经验回归方程为y=4x+5,若i=16xB.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=3.937,依据α=0.05的独立性检验C.一个小球从原点出发，每次沿着数轴所在直线向左或向右移动1个单位，每次向左移动的概率为14，向右移动的概率为34.那么小球第1次移动后位于−1且第5次移动后位于1的概率为D.若随机变量X~B41311.有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件A₁表示“取到i号箱(i=1，2，3)”，事件B表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则A.PB∣A2C.PB=11三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足i(2-z)=1,则∣z∣=_.高二数学第2页共4页13.1-2xyx+y814.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)-1为奇函数,f(2x+1)为偶函数,f(1)=-2,则i=1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S(1)求{an}的通项公式;(2)若bn16.(15分)已知函数f(1)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为3，求该切线方程；(2)若a=-1时,f(x)≥mx恒成立,求m的取值范围.17.(15分)一座城的文明，是一个地方的骄傲.为构建好符合时代要求的文明城市，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛.共有1000人参与此次竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，根据这100份答卷的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](1)求频率分布直方图中a的值，并估计参加该次竞赛的1000人中，打分不低于70分的人数；(2)试估计这100份样本的平均分和第三四分位数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位)；(3)假设分数在[80，100]之间为优秀，在[60，80)之间为良好，现采用分层随机抽样的方法，从分数在[60，100]之间随机抽取9份答卷，再从这9份答卷中随机抽取2件，求至少有一份答卷成绩为优秀的概率.高二数学第3页共4页18.(17分)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若.f'x是f(x)的导函数,f"(x)是f'(x)的导函数,则曲线.y=fx(1)求曲线fx(2)求曲线.f(x)=eˣ曲率的最大值；(3)函数hx19.(17分)某学校举行了一场知识竞赛，有A、B两类题型，每道A类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为p₀、p₁，两道小题全对可得50分，否则得0分.B类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为q0方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题.(1)若p0(2)若p0(3)若p1高二数学第4页共4页参考答案题号12345678答案CDDBDBAA题号91011答案ABDBCACD12.5 13.12 14.20224.【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同，函数y=f(x)是奇函数且在区间[-5，-1)上单调递增，则函数y=f(x)在区间(1，5]上单调递增，由于区间为半开半闭区间，所以存在最大值.故选B.5.【详解】设圆锥底面半径为r，则高也为rSV=122r=6.【详解】由题可先将1号球分给甲，再将情况进行分类：第一类，甲只有一个球，则另外三个球分给乙和丙两位同学，有(C32A27.【详解】随机变量X的密度曲线关于x=2对称，P(X>0)+P(X>3)=P(X<4)+P(X>3)=P(X<4)+P(X≥4)+P(3<X<4)=1+P(3<X<4)=1312,所以8.【详解】设a₁,a₂,a₃,a₄平均数为a,因为s2=14i=14ai2-a2,得aPA1=PAPA14.【详解】f(x+2)-1为奇函数,所以f(x)关于点(2,1)对称,f(2x+1)为偶函数,所以f(x)关于直线x=1对称,故f(x)的周期为4,f(2)=f(4)=1,f(1)+f(3)=2,f(2025)=f(1)=-2所以∑f(i)=506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(2025)=506×4=2=2022,故答案为2022.15.(本小题满分13分)(1)由S5=25可得由a2故a(2)由(1)得S故bn=则Tn=16.(本小题满分15分)解：1f'xfx=x切线方程为y-4=3(x-1),即3x-y+1=0. 6分2x2设gx=x+1-设hx∵h(1)=0,x∈(0,1)时h(x)<0即g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减x∈(1,+∞)时h(x)>0即g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增∴gx17.(本小题满分15分)答:(1)由频率分布直方图可知,(0.004+a+0.018+0.022+0.022+0.028)×10=1,解得a=0.006,…2分该校学生满意度打分不低于70分的人数为:1000×(0.28+0.22+0.18)=680…………4分(2)平均数为：x=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2;…………6分所以0.04+0.06+0.22+0.28=0.6,0.04+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82,所以75%的分位数为80+(3)由频率分布直方图可知,打分在[60,80)和[80,100]内的频率分别为0.5和0.4,所以打分在[60,80)和[80,100]内的频率之比为5:4所以在打分[60，80)中抽取的人数为59在打分[80，100]中抽取的人数为49则PA=18.(本小题满分17分)【解】(1)因为fx=e所以K=∣(2)因为fx=e所以K=|令t=贝g't当0<t<2当t>2所以gtmax=g23h"x因为h(x)不存在曲率为0的点,所以h"(x)=0在(0,+∞)无实数解,令tt'令x=xex-1,x>0,而12=12e-1<0,1=e-1>0,则存在x0当x∈(0,x₀)时,t'(x)<0;当x∈x函数t(x)在(0,x₀)上单调递减,在(x0+∞因此txmin=tx0=x0则tx19.(本小题满分17分)(1)记选择方案二学生的得分为XPX=100∵p0p1≤此时满分概率为116(2)在方案一中，记A类题得分为Y₁，B类题得分为Y₂，选择方案一学生得分为ZPP由题可知Z可能的取值为0、25、50、75、100PZ=0PZ=75Z的分布列为Z0255075100P7711(3)方法一:记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件A'由2p0+q0E(Z)=E(A+2B)=E(A)+2E(B),E(X)==E(A)+E(A'