正多边形的概念及正多边形与圆的关系课件-沪科版九年级数学下册培优

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】第24章

圆24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系问题1

观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？各边相等，各角也相等.知识要点各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正多边形各边相等各角相等缺一不可24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系

教学过程一、情境感知，导入新课（5分钟）师：同学们，观察大屏幕上的图片——故宫的琉璃瓦边缘是正八边形，蜂巢的横截面是正六边形，家里的时钟表盘是正十二边形，还有我们熟悉的五角星，这些图形都有一个共同的特点：它们的边和角都呈现出均匀对称的美感。这些图形就是我们今天要学习的“正多边形”。它们与我们之前深入研究的圆之间，有着非常紧密的联系。今天，我们就一起来揭开正多边形的神秘面纱，探究它的概念以及与圆的关系。（板书课题）设计意图：通过生活中常见的正多边形实例，让学生直观感受其对称美与实用性，自然建立数学与生活的联系，激发探究正多边形本质属性的兴趣。二、探究正多边形的概念，明确特征（15分钟）1.自主观察，归纳概念师：请大家打开练习本，画出我们熟悉的正方形、正五边形、正六边形，再画出一个不规则的四边形和五边形。对比这些图形，思考什么样的多边形才能被称为“正多边形”？（学生动手画图，教师巡视指导）师：谁能分享一下你的发现？正方形和正六边形与不规则多边形相比，边和角有什么不同？生1：正方形的四条边都相等，四个角也都相等。生2：正六边形的六条边相等，六个角也相等，而不规则多边形的边和角都不一样。师：非常准确。数学上，我们给正多边形下了明确的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。（板书概念）大家要注意，“各边相等”和“各内角相等”是正多边形缺一不可的两个条件。比如菱形，虽然各边相等，但内角不一定相等，所以不是正多边形；矩形各内角相等，但边不一定相等，也不是正多边形。只有正方形，既满足各边相等，又满足各内角相等，是正四边形。2.概念辨析，加深理解师：大家判断一下，以下图形是不是正多边形？（1）等边三角形；（2）正八边形；（3）邻边相等的平行四边形；（4）各边相等的五边形。生1：等边三角形各边相等、各角相等，是正三角形。生2：正八边形满足两个条件，是正多边形。生3：邻边相等的平行四边形是菱形，内角不都相等，不是正多边形。生4：各边相等的五边形，内角不一定相等，所以不一定是正五边形。师：大家判断得很正确。强调一下，对于正多边形，边相等和角相等这两个条件必须同时满足，缺一不可。三、探究正多边形与圆的关系，核心关联（25分钟）1.正多边形的外接圆与内切圆师：我们知道，三角形有外接圆和内切圆，那么正多边形是否也有外接圆和内切圆呢？请大家以正五边形为例，动手尝试一下：用圆规和直尺，能否找到一个圆，使正五边形的五个顶点都在这个圆上？（学生动手操作，教师引导：作正五边形任意两边的垂直平分线，交点即为圆心）生：可以！正五边形的五个顶点都在同一个圆上。师：非常好。实际上，任何正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。（板书概念）同时，正多边形还有一个内切圆，内切圆的圆心也是正多边形的中心，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，也就是中心到正多边形一边的距离。师：大家看黑板上的图形（画出正六边形及其外接圆、内切圆），点O是正六边形的中心，OA是外接圆半径（正六边形的半径），OH垂直于AB，OH就是内切圆半径（边心距）。正多边形的中心、半径、边心距这些概念，是连接正多边形与圆的关键。2.圆的内接正多边形与外切正多边形师：反过来，如果我们给定一个圆，能否作出它的内接正多边形和外切正多边形呢？请大家思考：将一个圆五等分，依次连接各等分点，得到的多边形是什么形状？生：应该是正五边形。因为圆上各点到圆心的距离相等，所以连接等分点的弦都相等，也就是多边形的各边相等；同时，这些弦所对的圆周角也相等，所以多边形的各内角相等。师：完全正确。把一个圆n等分（n≥3），依次连接各等分点，就得到这个圆的内接正n边形；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形，就是这个圆的外切正n边形。（板书结论）这就建立了圆与正多边形之间的双向联系：正多边形一定有外接圆和内切圆，圆也可以生成对应的内接和外切正多边形。3.相关性质推导师：以正n边形为例，结合圆的性质，我们可以推导出它的一些重要性质。设正n边形的中心为O，半径为R，边心距为r，边长为a。大家思考：正n边形的中心角（相邻两个半径的夹角，如∠AOB）是多少度？生：整个圆周角是360°，正n边形的中心角把圆周平均分成n份，所以每个中心角的度数是360°/n。师：非常好。比如正六边形的中心角是360°/6=60°，而正六边形的半径与边长相等，这就是为什么正六边形可以用圆规直接画出的原因。另外，在由半径、边心距和边长一半组成的直角三角形（如Rt△OHB）中，我们可以利用勾股定理得到：r²+(a/2)²=R²。这个关系式是解决正多边形计算问题的核心公式，大家要牢记。四、例题讲解，巩固应用（15分钟）例1：基础计算——正六边形的边长与半径关系已知：正六边形ABCDEF的外接圆半径为4cm，求它的边长、边心距和中心角。师：正六边形的中心角是多少度？生：360°/6=60°。师：非常好。正六边形的半径OA=OB=4cm，中心角∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，因此边长AB=OA=4cm。接下来求边心距，边心距是中心O到AB的距离，也就是等边三角形AOB的高。在等边三角形中，高h=√3/2×边长=√3/2×4=2√3cm。所以正六边形的边长为4cm，边心距为2√3cm，中心角为60°。例2：综合应用——正五边形的边长计算已知：正五边形的半径为5cm，边心距为3.45cm，求它的边长（精确到0.1cm）。师：我们可以利用之前推导的勾股定理关系式来解题。大家回忆一下，这个关系式是什么？生：r²+(a/2)²=R²，其中r是边心距，a是边长，R是半径。师：非常准确。将已知数值代入公式：3.45²+(a/2)²=5²。计算一下，3.45²≈11.90，5²=25，所以(a/2)²=25-11.90=13.10，a/2≈√13.10≈3.62，因此a≈7.2cm。这个例题直接应用了正多边形与圆的核心关系式，大家要注意计算的准确性。五、课堂练习，强化技能（10分钟）1.填空题：正八边形的中心角为______度；若正三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径为______cm（答案：45，2√3，提示：正三角形中心角120°，外接圆半径R=边长/√3=6/√3=2√3）。2.解答题：已知正四边形（正方形）的外接圆半径为√2cm，求它的边长和面积。（提示：正方形中心角90°，由勾股定理a²+a²=(2R)²？不，直接用r²+(a/2)²=R²，正方形边心距r=a/2，代入得(a/2)²+(a/2)²=(√2)²，解得a=2cm，面积4cm²）（学生独立完成，教师巡视批改，针对中心角计算和勾股定理应用的易错点进行集中讲解）六、课堂小结，梳理知识（3分钟）师：今天我们学习了正多边形的概念及与圆的关系，大家回顾一下核心内容。生1：正多边形的定义是各边相等、各内角相等，两个条件缺一不可。生2：正多边形有外接圆和内切圆，中心是共同的圆心，半径和边心距分别是两圆的半径。生3：圆的n等分点可以生成内接和外切正n边形，核心关系式是r²+(a/2)²=R²。师：大家总结得很全面。正多边形与圆的关系是后续计算和作图的基础，要牢牢掌握中心、半径、边心距等概念，以及核心的几何关系式。七、布置作业，延伸学习（2分钟）1.课本习题24.6第1、3、4题，巩固正多边形的概念和计算。2.实践任务：用圆规和直尺画出一个半径为3cm的正六边形，并测量它的边长和边心距，与计算结果对比验证。师：今天的课就上到这里，下课！问题2

n边形的内角和为多少？正

n边形的每个内角的度数如何计算？n边形的内角和为正

n边形的每个内角的度数为问题3

n边形的外角和为多少？已知正

n边形的内角为

α度，如何求

n的值？n边形的外角和为360°.正

n边形的内角为

α度，则它的外角为(180-

α)度.故例1

如图，点

G，H

分别是正六边形

ABCDEF

的边

BC，CD

上的点，且

BG

=

CH，AG

交

BH

于点

P．（1）求证：△ABG≌△BCH；典例精析证明：∵在正六边形

ABCDEF

中，AB

=

BC，∠ABC

=∠C

=

120°.∵BG=CH，∴△ABG≌△BCH.解：由（1）知

△ABG≌△BCH，∴∠BAG

=∠CBH．∴∠BPG

=∠ABG

=

120°．∴∠APH

=∠BPG

=

120°．（2）求∠APH

的度数．问题

如图，把

☉O进行5等分，依次连接各等分点得到五边形

ABCDE.

分别过点

A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点

P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形

PQRST.则五边形

ABCDE及五边形

PQRST是正多边形吗？·AOEDCBPQRST探究1

五边形

ABCDE是正五边形吗？简要说明理由.①②AB____BC____CD____DE____AE.＝＝＝＝＝＝＝＝④∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.＝＝＝＝③＝＝＝＝∵顶点

A，B，C，D，E都在

☉O上，∴五边形

ABCDE是

☉O的内接正五边形.·AOEDCB

把圆分成

n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正

n边形.归纳总结·AOEDCBPQRST探究2

五边形

PQRST是正五边形吗？简要说明理由.五边形

ABCDE是

☉O的内接正五边形.连接

OA，OB，OC.则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB．∵TP，PQ，QR分别是以点

A，B，C为切点的

☉O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ．∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB．又∵AB=BC，∴△PAB≌△QBC．∴∠P=∠Q，PQ=

2PA.同理，得∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=

2PA.∵五边形

PQRST的各边与

☉O相切，∴五边形

PQRST是

☉O的外切正五边形.·AOEDCBPQRST

把圆分成

n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正

n边形.归纳总结例2

利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.解：（1）内接正方形的作法：①

用直尺作圆的一条直径

AC；ACO②

作与

AC垂直的直径

BD；BD③

顺次连接所得的圆上四点.

则四边形

ABCD

即为所求作的正方形.再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.O（2）内接正六边形的作法：①

用直尺作圆的一条直径

AD；②

以点

A为圆心，OA为半径作圆，与

⊙O

交于点

B、F；④

顺次连接所得的圆上六点.则六边形

ABCDEF即为所求作的正六边形.ADBF③

以点

D为圆心，OD为半径作圆，

与

⊙O

交与点

C、E.CE如果再逐次等分各边所对的弧，就可以作出正十二边形、正二十四边形等.方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正

n边形).例3

如图，⊙O

的内接正方形

ABCD，E

为边

CD

上一点，且

DE

=

CE，延长

BE

交

⊙O

于

F，连接

FC，若正方形边长为

1，求弦

FC

的长．解：连接

BD，如图．在

Rt△CBD

中，∵∠DBE

=∠FCE，∠CFE

=∠BDE，∴△DEB∽△FEC.1．

给出下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各角相等的圆外切多边形是正多边形．其中正确的是(

)A．①④

B．②③

C．①②③④

D．都不正确【点拨】①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；∴正确的为①④.故选A.【答案】A返回2．求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．【解】已知：如图，多边形ABCDE…是⊙O的内接多边形，AB＝BC＝CD＝DE＝….求证：多边形ABCDE…是正多边形．返回