冀教版初中九年级数学下册：用三点坐标求二次函数解析式教案

冀教版初中九年级数学下册：用三点坐标求二次函数解析式教案

一、课标依据与核心素养分析

（一）课标依据

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“函数”主题下的重要组成部分。课标明确要求初中阶段学生能够“探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用函数表达与解决问题的方法”。具体到二次函数，学生需“会用待定系数法确定二次函数的表达式”。本节课“由不共线三点坐标确定二次函数”正是对“待定系数法”这一核心方法在二次函数情境下的深度应用与建模实践，是连接函数解析式、图象与性质的关键枢纽，也是实现从已知数据（坐标点）到数学模型（函数解析式）抽象过程的重要载体。

（二）核心素养培育指向

1.数学抽象与建模素养：引导学生从三个具体坐标点这一“特殊”情境中，抽象出“二次函数一般式含有三个独立参数”这一“一般”规律，经历“设列解验答”完整的数学建模过程，将现实或数学问题转化为求解方程组的数学模型。

2.逻辑推理素养：通过探究“三点共线”或“三点位置特征（如顶点、与x轴交点）”对求解过程与结果的影响，发展学生的逻辑推理能力。从“解的存在性与唯一性”角度理解“不共线三点”这一前提的数学本质。

3.数学运算素养：解三元一次方程组是本节课的核心运算。需要培养学生合理选择消元方法（代入法、加减法）、准确进行代数运算、并利用现代技术（如计算器、数学软件）进行验算的运算能力，追求运算的准确性、简捷性与策略性。

4.直观想象与数形结合素养：将抽象的坐标数据与二次函数图象直观关联。通过“先猜图象大致形状，再求解析式验证”，或“求出解析式后画图验证点是否在图象上”等活动，强化“数”（坐标、解析式）与“形”（抛物线）之间的相互转化与印证。

二、学情深度分析

九年级下学期的学生，在知识储备与认知能力上呈现如下特征：

已有知识储备：

1.已系统学习二次函数的概念、y=ax²

，y=ax²+k

，y=a(x-h)²

，y=a(x-h)²+k

及y=ax²+bx+c

等形式的图象与性质。

2.熟练掌握待定系数法求一次函数（直线）与反比例函数解析式，对“设-列-解-写”的流程有初步体验。

3.具备解二元一次方程组的扎实技能，对三元一次方程组有概念性了解，但系统求解实践不足。

4.理解“点在函数图象上，则其坐标满足函数解析式”这一根本原理。

潜在学习障碍与困难：

1.思维跃迁障碍：从确定两个参数的“一次函数”跃迁到确定三个参数的“二次函数”，方程组从“二元”升级为“三元”，未知数增多可能带来思维上的畏难情绪和运算上的混乱。

2.策略选择困难：面对三个点的坐标，机械地代入一般式y=ax²+bx+c

解三元一次方程组并非总是最简捷的方法。如何根据点的坐标特征（如含有顶点、与x轴交点）灵活选择顶点式y=a(x-h)²+k

或交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)

，对学生观察、分析与决策能力提出较高要求。

3.运算复杂性与错误率：三元一次方程组的求解过程步骤多、计算量大，容易在去括号、合并同类项、符号处理等环节出错，影响学习信心与效果。

4.对前提条件“不共线”的理解表面化：可能仅记住结论，而未能从代数解的唯一性或抛物线几何性质角度深刻理解其必要性。

学习心理与动机：九年级学生抽象逻辑思维日益成熟，具备挑战复杂问题的潜能。他们渴望掌握具有普遍性和实用性的方法。通过将方法应用于实际问题（如抛物线形拱桥、投篮轨迹等），能有效激发其内在学习动机。

三、教学目标设计（基于深度学习的三维目标）

（一）知识与技能

1.理解：深刻理解“不共线三点确定一条抛物线”的数学原理，明确其与“两点确定一条直线”的类比与差异。

2.掌握：熟练掌握已知任意三点坐标时，利用待定系数法通过设一般式y=ax²+bx+c

，列方程组，求解a,b,c

，从而确定二次函数解析式的通法。

3.运用：能根据已知三点的坐标特征（如一点是顶点、两点是抛物线与x轴的交点），灵活选用顶点式或交点式建立方程，简化计算过程。

4.评价：能判断给定三点是否可能确定一个二次函数，并会对求出的解析式进行合理性检验（如代回验证、草图验证）。

（二）过程与方法

1.经历完整的数学建模过程：从具体三点坐标出发，建立关于待定系数的方程组模型，通过数学运算求解模型，最终回归并解释原问题。

2.体验“观察-猜想-选择-优化”的策略探究过程：在面对具体问题时，先观察点坐标特征，猜想可能适用的解析式形式，选择最简洁的求解路径，并对不同方法进行比较与优化。

3.发展复杂代数运算中的程序性思维与自我监控能力，学会规划运算步骤、检查关键环节、利用工具验算。

（三）情感态度与价值观

1.体会数学的确定性与普遍性：感受通过严谨的代数方法，可以从有限信息（三点）唯一确定一个函数模型的理性力量。

2.培养勇于面对复杂运算的耐心与细致，在克服困难、成功求解的过程中增强数学学习的自信。

3.感悟数学方法的“普适性”与“灵活性”的统一：通法（一般式）适用于所有情况，而巧法（顶点式、交点式）在特定条件下能提高效率，二者相辅相成。

4.建立数学与物理、工程、科技等领域的联系意识，认识二次函数模型在描述现实世界抛物线运动、优化问题中的广泛应用价值。

四、教学重难点及突破策略

教学重点

教学难点

突破策略设计

1.用待定系数法（设一般式）求过任意三点的二次函数解析式。

1.三元一次方程组的准确、高效求解。

分层递进，技术赋能：

1.复习回顾二元一次方程组的解法，类比迁移至三元。

2.教师板演规范步骤，强调“消元”思想的一致性。

3.设计由易到难的练习梯度，先给数字简单的点，再逐渐复杂。

4.鼓励并指导学生使用科学计算器或图形计算器辅助解方程组，将精力聚焦于方法建构而非繁杂计算。

2.“点在图象上→坐标代入解析式成立”这一核心关系的应用。

2.根据点的坐标特征，灵活选择二次函数的表达式形式（一般式、顶点式、交点式）以简化计算。

对比探究，归纳特征：

1.设计对比组：例1：三点均为普通点（用一般式）。例2：一点为顶点(2,1)，另两点为普通点。引导学生对比两种解法。

2.抛出核心问题：“当你知道其中一点是顶点时，为什么设顶点式更简单？少了什么步骤？”引发讨论。

3.同理探究“已知与x轴两交点”的情境，归纳选用交点式的条件与优势。

4.编制“方法选择决策树”思维导图，帮助学生形成策略意识。

3.“不共线三点”这一前提条件的必要性理解。

3.对“不共线”条件的深层理解（从代数解的唯一性和抛物线的几何性质两方面）。

反例深究，数形互释：

1.代数角度：给出共线的三点坐标（如(0,0),(1,1),(2,2)），让学生尝试代入y=ax²+bx+c

求解。引导发现方程组要么矛盾（无解），要么解出的a=0

，退化为一次函数。

2.几何角度：利用几何画板动态演示，展示过共线三点的抛物线不存在，而唯一存在的是直线。强调二次项系数a≠0

是“二次”函数的本质要求。

3.总结：“不共线”保证了代数方程组能解出a≠0

的唯一解，几何上则保证了三点能唯一确定一条抛物线。

五、教学准备与资源

1.教师准备：

1.2.精心设计的多媒体课件（PPT/Keynote），包含问题情境、探究步骤、例题动画、方法总结等。

2.3.几何画板或Desmos动态数学软件，用于直观演示三点与抛物线的关系，特别是展示“共线三点”无法构成抛物线的情形。

3.4.预设的课堂练习与分层作业题卡。

4.5.板书设计构思。

6.学生准备：

1.7.复习待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组。

2.8.准备课堂练习本、坐标纸、作图工具。

3.9.鼓励携带具有解方程功能的科学计算器。

10.教学环境：多媒体教室，具备投影和互动白板功能。

六、教学过程实施（核心环节详案）

第一课时：通法探究与奠基

环节一：创设情境，温故引新（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

1.2.【投影展示】一张抛物线形拱桥的图片，并标注桥拱上三个关键测量点的坐标（例如：左支点(-20,0)，顶点(0,15)，右支点(20,0)）。

2.3.问题链驱动：

1.3.4.“工程师如何根据这几个关键点的数据，得到描述整个桥拱形状的数学模型？”

2.4.5.“这个模型可能是什么函数？”（引导学生回答：二次函数）

3.5.6.“我们已知一次函数y=kx+b

需要两个点来确定k

和b

。类比猜想，确定一个二次函数y=ax²+bx+c

，需要几个点的坐标？为什么？”

6.7.【学生活动】独立思考后小组交流，形成共识：因为二次函数一般式中有a

,b

,c

三个未知系数，所以需要三个点的坐标来建立三个方程。

8.温故知新：

1.9.快速回顾：“如何求过点(1,2)和(3,4)的一次函数解析式？”请一名学生口述步骤（设、代、解、写）。

2.10.教师提炼：强调待定系数法的本质是“利用‘点在图象上，则坐标满足解析式’建立关于未知系数的方程（组）”。

3.11.揭示课题：今天我们将这套成熟的方法，迁移到更复杂的二次函数上，学习《由点的坐标确定二次函数解析式》。

环节二：合作探究，建构通法（预计时间：22分钟）

1.问题初探（基础案例）：

1.2.【例1】已知二次函数图象经过点A(-1,10)，B(1,4)，C(2,7)，求这个二次函数的解析式。

2.3.【学生活动1：尝试与困惑】给予学生3-5分钟独立尝试。教师巡视，收集典型做法和普遍困难（如设错解析式、代入出错、不知如何解三元方程组）。

3.4.【教师引导】聚焦核心困难：“我们遇到了一个三元一次方程组，如何求解？”

5.策略指导（解方程组教学）：

1.6.请一位有思路的学生板演其列出的方程组：

a-b+c=10

a+b+c=4

4a+2b+c=7

2.7.师生共析，教授消元法：

1.3.8.观察：方程①和②中，a

和c

的系数相同，b

的系数相反。

2.4.9.消元：①+②，可直接消去b

，得到2a+2c=14

，即a+c=7

④。

3.5.10.代入：由②得c=4-a-b

，但这个表达式仍含b

，不是最简。不如用①-②，得-2b=6

，解得b=-3

。这是更巧妙的“加减消元”。

4.6.11.简化：将b=-3

代入①、②、③中任意两个（如①和③），得到关于a

和c

的二元一次方程组，再行求解。

7.12.【教师规范板演】完整展示求解过程，强调步骤的清晰性与书写的规范性。

13.归纳通法：

1.14.待解出a=2

,b=-3

,c=5

后，写出解析式y=2x²-3x+5

。

2.15.师生共同总结“五步法”：

1.3.16.设：设二次函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0)

。

2.4.17.代：将三点的坐标分别代入解析式，得到三元一次方程组。

3.5.18.解：解这个方程组，求出a

,b

,c

的值。

4.6.19.验：将求出的a

,b

,c

代回解析式，并选取一个已知点坐标代入检验（或口头核对三点）。（此步可在熟练后省略，但初期必须强调）

5.7.20.答：写出所求的二次函数解析式。

8.21.【板书】将“五步法”作为核心流程板书在醒目位置。

环节三：变式演练，巩固内化（预计时间：10分钟）

1.基础巩固练习：

1.2.【练1】求过点(0,1),(1,3),(-1,1)的二次函数解析式。

1.2.3.设计意图：包含(0,1)

，即c=1

，可立即减少一个未知数，降低计算难度，增强学生信心。

3.4.【练2】求过点(-2,-5),(0,-3),(1,4)的二次函数解析式。

1.4.5.设计意图：数字稍复杂，检验学生解方程组的准确性。提醒可用计算器辅助。

6.小组互评：学生完成后，小组内交换批改，讨论易错点。教师巡视，针对性指导。

环节四：课堂小结与预告（预计时间：5分钟）

1.小结：通过提问引导学生回顾：①今天我们学习了用什么方法确定二次函数？②关键步骤是哪几步？③解三元一次方程组的核心思想是什么？（消元）

2.预告/思考：“刚才我们都是设y=ax²+bx+c

来解的。如果题目告诉你其中一点是抛物线的顶点，方法上有没有可能更简便？请大家预习课本，并思考例1中的三个点，有没有什么特殊的位置关系？（为下节课的顶点式、交点式做铺垫）”

第二课时：策略优化与深化

环节一：复习导入，提出问题（预计时间：5分钟）

1.快速回顾上节课的“五步法”和例1。

2.提出问题：“上节课的例1，点A(-1,10),B(1,4),C(2,7)都是‘普通点’。如果已知信息中，点本身带有‘特殊身份’，比如顶点，我们的解法能否优化？”

环节二：探究优化，掌握特法（预计时间：25分钟）

1.顶点式探究：

1.2.【例2】已知抛物线顶点为(2,1)，且过点(3,-2)，求其解析式。

2.3.【学生活动】尝试解决。部分学生可能直接设一般式，代入(2,1)

和(3,-2)

，但发现只有两个方程，无法解三个未知数，陷入困惑。

3.4.启发点拨：“‘顶点’这个条件，我们只在研究性质时用过。它的坐标(h,k)

与解析式有什么直接关系？”引导学生回忆顶点式：y=a(x-h)²+k

。

4.5.新思路展示：设解析式为y=a(x-2)²+1

。此时只有a

一个未知数！代入点(3,-2)：-2=a(3-2)²+1

，解得a=-3

。故解析式为y=-3(x-2)²+1

。

5.6.对比与感悟：引导学生对比“设一般式”与“设顶点式”的步骤、计算量，深刻体会“根据条件选择恰当表达式形式”的优越性。

6.7.追问深化：“如果给的是顶点和另外两个点，用顶点式还方便吗？”（方便，仍然只有一个未知数a

）。

8.交点式探究：

1.9.【回到导入情境】展示拱桥图，点(-20,0),(20,0)。提问：“这两个点的纵坐标都是0，在图象上意味着什么？”（抛物线与x轴的交点）。

2.10.【例3】已知抛物线与x轴交于点(-2,0)和(3,0)，且过点(1,4)，求其解析式。

3.11.类比启发：“类似于顶点式，与x轴的交点(x₁,0)

,(x₂,0)

是否也对应一种特殊形式？”引出交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)

(a≠0)。

4.12.学生板演：请学生用交点式y=a(x+2)(x-3)

求解。代入(1,4)，得4=a*(1+2)*(1-3)

，解得a=-2/3

。解析式为y=-2/3(x+2)(x-3)

。

5.13.讨论：交点式是否一定要“与x轴相交”？如果两点纵坐标相同但不为0呢？（本质是抛物线与直线y=m的交点，但此时形式更复杂，通常化为一般式处理）。

14.方法决策树构建（小组活动）：

1.15.发放任务单，引导学生小组讨论，总结在什么条件下选择哪种表达式形式最简洁。

2.16.师生共同完善板书：

已知三点坐标，如何选择表达式？

→观察点特征：

1.若已知顶点(h,k)：优先设【顶点式】y=a(x-h)²+k

2.若已知与x轴两交点(x₁,0),(x₂,0)：优先设【交点式】y=a(x-x₁)(x-x₂)

3.若无上述特征：用【一般式】y=ax²+bx+c(通法)

3.17.强调：“优先”不是“必须”，通法永远可行，但巧法能提高效率。鼓励先观察，再决策。

环节三：综合应用，辨析前提（预计时间：12分钟）

1.综合练习：

1.2.【练3】已知二次函数图象过原点(0,0)，顶点为(1,-1)，求解析式。

1.2.3.引导：有顶点，设顶点式。但过原点(0,0)这个条件如何使用？（代入求解a）

3.4.【练4】抛物线过点(-1,0),(3,0),(1,4)，用两种方法求解，并比较。

1.4.5.设计意图：巩固交点式，同时体验一般式作为通法也有效，但计算量不同。

6.前提辨析——“不共线”的深度理解：

1.7.【挑战与思考】“是不是任意三个点都能确定一个二次函数？请尝试求过点(0,0),(1,1),(2,2)的‘二次函数’解析式。”

2.8.学生尝试：代入一般式，得到方程组：

c=0

a+b+c=1

4a+2b+c=2

解得a=0,b=1,c=0

。解析式为y=x

。

3.9.引发认知冲突：“这是二次函数吗？”（不是，是一次函数）。“为什么？”

4.10.深度剖析：

1.5.11.代数视角：解出的二次项系数a=0

，违背了二次函数a≠0

的前提。这意味着满足这三点的“二次”函数不存在，只存在一个一次函数。

2.6.12.几何视角：（用几何画板演示）这三个点在同一条直线上。过共线三点的曲线有无数条，但“抛物线”不存在。唯一能同时穿过三点的“函数图象”就是这条直线本身。

7.13.得出结论：“不共线三点”是确定一条抛物线的必要条件。它保证了代数求解中a≠0

。

环节四：课堂总结与延伸（预计时间：3分钟）

1.总结：今天我们不仅巩固了待定系数法的通法，还学会了根据点的“特殊身份”选择顶点式或交点式来优化解题。同时，我们深刻理解了“不共线”这一前提的重要性。

2.延伸思考：“如果给定的是四个点的坐标，要求一个二次函数，可能会怎样？”（可能无解，即不存在过四点的抛物线；也可能其中一点是冗余信息）。这为学有余力的学生提供了探究空间。

七、分层作业设计

A组（基础巩固，全体必做）：

1.课本对应章节的基础练习题。

2.已知三点坐标，求二次函数解析式（直接设一般式），点坐标数字设计简单。

3.判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1)任意三点都可以确定一个二次函数。（）

(2)已知抛物线的顶点，用顶点式求解析式最方便。（）

(3)已知抛物线与x轴的两个交点，则解析式可设为y=a(x-x₁)(x-x₂)

，其中a是任意实数。（）

B组（能力提升，多数学生选做）：

1.混合题型：点的条件可能包含顶点、与x轴交点、与y轴交点等，需要先观察选择合适表达式。

2.简单应用题：如已知抛物线形拱桥三点的坐标，求抛物线解析式，并求某一位置的高度。

3.若二次函数y=ax²+bx+c

的图象经过(1,0),(2,0),(3,4)三点，求这个函数解析式。（考察交点式的灵活运用）

C组（拓展探究，学有余力挑战）：

1.（逆向思维）若二次函数y=2x²+bx+c

的图象经过点(1,1)，且顶点在直线y=x-1

上，求这个二次函数的解析式。

2.（开放探究）在平面直角坐标系中，有四个点A(0,1),B(1,3),C(2,6),D(3,k)。问：k取何值时，存在一个二次函数，其图象恰好经过A、B、C、D这四点中的三个点？请写出所有可能情况，并求出对应的二次函数解析式。

八、板书设计（规划）

左侧主板：核心流程与方法

课题：由点的坐标求二次函数解析式

一、核心原理：点在图象上→坐标满足解析式

二、通法：待定系数法（五步）

设：y=ax²+bx+c(a≠0)

代：代入三点坐标→三元一次方程