复数的乘法与除法课件-高一下学期数学人教B版

10.2.2复数的乘法与除法人教B版（2019）必修第四册）学习目标CONTENTS1.掌握复数的乘法和除法法则及运算律，体现逻辑推理能力（重点）3.掌握复数的乘法公式、复数的正整数幂的运算律以及in的周期性规律，体现逻辑推理能力（难点）2.理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算，体现逻辑推理能力（重点）课程引入两个实数的乘法和加法满足分配律，即a,b,c∈R时，有(a+b)c=ac+bc而且，实数的正整数次幂满足aman=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn其中m,n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？课程内容教学尝试与发现设z1=3，z2=1-2i，z3=-5i,你认为z1z2的值与z2z3的值分别等于多少？尝试给出任意两个复数z1=a+bi与z2=c+di相乘的表达式.课程内容教学复数乘法的定义一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2

=(ac-bd)+(ad+bc)i即计算两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2=-1即可.显然，两个复数的积仍然是复数.课程内容教学尝试与发现设z1=3，z2=1-2i，z3=-5i,你认为z1z2的值与z2z3的值分别等于多少？尝试给出任意两个复数z1=a+bi与z2=c+di相乘的表达式.z1z2=3(1-2i)=3-6iz2z3=(1-2i)(-5i)=-5i+10i2=-10-5i课程内容教学复数乘法的运算律复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有交换律：z1·z2=z2·z1；结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；乘法对加法的分配律：

z1(z2z3)=z1z2+z1z3；等式两边同乘一个复数，等式仍然成立，即当z1=z2时，必定有z1z=z2z.课程内容教学例1：已知a，b∈R，求证：(a+bi)(a-bi)=a2+b2.根据复数乘法的定义有(a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-b2i2

=a2+b2上面计算的结果可以总结为：

课程内容教学z的n次方(或n次幂)n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即当m，n均为正整数时，zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1z2)n=z1nz2n课程内容教学思考一下：根据上面的定义，试着计算(5i)2，i3，i4，i5，in.(5i)2=52×i2=-25i3=i2×i=-ii4=i2×i2=-1×(-1)=1i5=i4×i=1×i=ii6=i5×i=i×i=-1=i2i7=i6×i=-1×i=-i=i3所以

i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+4=1课程内容教学复数乘法的一些计算公式完全平方公式：(z1+z2)2=z12+2z1z2+z22平方差公式：z12-z22=(z1+z2)(z1-z2)(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2课程内容教学例2：计算(1+i)2与(1-i)2的值.(1+i)2=12+2i+i2=2i(1-i)2=12-2i+i2=-2i课程内容教学复数除法的定义如果复数z2≠0则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作(或

)其中，z1称为被除数，z2称为除数.课程内容教学复数除法的性质利用复数除法的定义，可以证明当ω为非零复数时，有课程内容教学尝试与发现设实数满足a,b满足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程组求a,b的值，并思考是否有其他方法可以求出.上面的式子可以改写为a+bi=为了求出a,b的值，我们将上述等式右边看成一个分式.这样一来，就只要想办法把1+2i变成一个实数即可，注意到(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2=5因此这种方法叫做分母实数化课程内容教学倒数的定义一般地，给定复数z≠0称

为z的倒数.z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.“分母实数化”的意义：利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商（除数不能为0）.课程内容教学例3：计算(1+2i)÷(3-4i)的值.(1+2i)÷(3-4i)=课程内容教学倒数的性质同实数类似，可以定义非零复数的0次幂与负整数次幂，即当z为非零复数且n是正整数时，规定z0=1，z-n=例如：(1+i)-2=课程内容教学尝试与发现我们知道，虚数单位i是方程x2=-1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0，那么方程x2=-a在复数范围内的解集是什么？因为i2=(-i)2=-1，所以x2=-1在复数内的解集为{i，-i}，类似的，当a>0时，方程x2=-a在复数范围内的解集为.课程内容教学例4：在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集.因为x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2所以原方程可以化为(x+1)2=-2，从而可知x+1=i或

x+1=i因此x+1=

i或x+1=i，所求解集为课程内容教学思考一下：根据上述方程，我们可以得到根与系数有什么关系？

课程内容教学实系数一元二次方程在复数范围内的解集当a，b，c∈R且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ＝b2－4ac=0时，方程有两个相等的实