第2章 相交线与平行线（教师版）（类型）-北师大版(2024)七下

思维导图第二章相交线与平行线思维导图【类型覆盖】类型一、平面内两直线的位置关系【解惑】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个【答案】C【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案．【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，

∴这6条直线最多有个交点，∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，∴这8条直线的交点个数最多为（个），故选：C．【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键．【融会贯通】1．下列说法正确的是（

）A．不相交的两条直线叫作平行线B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线最短D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【答案】B【分析】本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，垂线段最短，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．根据平行线、垂线的性质，垂线段最短和直线的概念逐一判断可求解．【详解】解：A、应强调在同一平面内，故错误；B、同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂真，故正确；C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故错误；D、过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误；故选：B．2．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有对．【答案】12002【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可．【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)．故答案为：12002．3．在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是．【答案】l1⊥l2019．【分析】首先根据题意判断l1与l2，l3，l4，l5，l6，l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系．【详解】l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008．理由：∵l1⊥l2，l2∥l3，∴l1⊥l3，∵l3⊥l4，∴l1∥l4，∵l4∥l5，∴l1∥l5，∵l5⊥l6，∴l1⊥l6，∵l6∥l7，∴l1⊥l7，∴可得规律为：l1⊥l2，l1⊥l3，l1∥l4，l1∥l5，l1⊥l6，l1⊥l7，l1∥l8，l1∥l9，…，则l1∥l4，l1∥l5，l1∥l8，l1∥l9，l1∥l12，l1∥l13，l1∥l16，l1∥l17…l1⊥l2，l1⊥l3，l1⊥l6，l1⊥l7，l1⊥l10，l1⊥l11，l1⊥l14，l1⊥l15，…∵2019÷4＝504…3∴l1⊥l2019．故答案为l1⊥l2019．【点睛】此题考查了平行线与垂线的关系．注意找到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，是解此题的关键．类型二、平行线间的距离【解惑】线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(

)厘米A．3 B．7 C．3或7 D．2或7【答案】C【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：（厘米）．【详解】应分两种情况：①如图：

a与c的距离为：（厘米）．②如图

a与c的距离为：（厘米）．综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米．故选：C【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离．解决本题的关键是熟练掌握会计算平行线间的距离．【融会贯通】1．在同一平面内，直线b、c是通过直线a平移而得到的，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．2cm或3cm【答案】C【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．【详解】如图，①直线c在a、b外时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5+2=7cm，②直线c在直线a、b之间时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5−2=3cm，综上所述，a与c的距离为3cm或7cm.故选C.【点睛】此题考查平行线之间的距离，解题关键在于画出图形.2．如图，，的面积等于4，则的面积是．【答案】4【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案．【详解】解：∵，的面积等于4，∴，故答案为：4．3．课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：；(2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：；(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键．（1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论；（2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论；（3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答．【详解】（1）证明：∵，，∴（等底等高），∴，∴（2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，

则，∴，∴．（3）解：连接，

∵，∴，∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比），∵，∴，∵，∴由（1）可知，∵由（2）可知，，即，∴，∴∴．类型三、最短问题【解惑】如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）【答案】见解析【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可．【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b），只要最短就行，即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥．【融会贯通】1．如图所示，点分别代表三个村庄，根据下列条件画图．(1)画射线，画线段，画直线；(2)若线段是连结村和村的一条公路，现村庄也要修一条公路与两村庄之间的公路连通，为了使修建的路程最短，村庄应该如何修路？请在同一图上画出示意图，并说明这样修路的理由．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析，理由见解析【分析】本题考查作图，涉及射线、线段、直线的定义作图，在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短等知识，熟练掌握射线、线段、直线的定义，垂线段最短是解决问题的关键．（1）由射线、线段、直线的定义直接作图即可得到答案；（2）在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短作出图形即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示：射线，线段，直线即为所求；（2）解：过点作于，如图所示：线段即为所修路，理由是：在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短．2．如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图．【答案】见解析【分析】本题考查作垂线，垂线段最短，过点A作于点P，即为所求．【详解】解：如图，过点A作于点P，即为所求．3．【问题背景】如图1，小华在荡秋千，秋千底座从点A到点B的过程中，绳子的长度保持不变．在线段、、中，长度最短的是______．

图1【尝试说理】我们将会学习不等式的一个性质：如果，那么．根据这个性质和学过的基本事实，可以证实上述结论．连接、．根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______”，可得．再根据基本事实“______”，可得．所以，即．又因为，所以．同理可得．【方法迁移】图2是摩天轮的示意图，、是摩天轮的两根支架，、都是摩天轮的半径，且．，，垂足分别为、，经过圆心．小华发现，请根据学过的基本事实，证实这个发现．【答案】【问题背景】线段；【尝试说理】垂线段最短；两点之间线段最短；【方法迁移】见解析【分析】本题考查垂线段最短，线段的性质，关键是掌握垂线段最短，两点之间线段最短．问题背景：由图形即可得到答案；尝试说理：垂线段的性质，线段的性质即可得到答案；方法迁移：由两点之间线段最短得到，由垂线段最短得到：，而，即可推出．【详解】【问题背景】线段PQ．【尝试说理】垂线段最短；两点之间线段最短．【方法迁移】连接，如图，由基本事实“两点之间线段最短”，得到，根据基本事实“垂线段最短”，得到：，因此，因为，所以，因此．类型四、直尺、三角板画平行线【解惑】利用网格画图：①过点画AB的平行线CD；②过点画AB的垂线，垂足为；③线段CE的长度是点到直线的距离；④连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______________最短，理由：__________．【答案】①见解析；②见解析；③AB；④CE，垂线段最短【分析】①根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点作出即可；②根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB垂直的格点③根据点到直线的距离概念回答；④根据垂线段最短直接回答即可．【详解】解：①②如图所示：③线段CE的长度是点到直线AB的距离；故答案为：AB；④连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段CE最短，理由：垂线段最短．故答案为：CE，垂线段最短．【融会贯通】1．如图，按要求画图并回答问题：(1)过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；(2)过点D画线段，交AC的延长线于点E；(3)的同位角是_______，内错角是_______；(4)在线段AB，，中，最短的是________，理由为________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，(4)，垂线段最短【分析】（1）根据题意画出点A到直线BC的垂线段；（2）根据题意过点D画线段，交AC的延长线于点E；（3）根据同位角、内错角的定义即可求解；（4）根据点到直线的距离为垂线段的长度，垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（2）解：如图所示，，（3）解：的同位角是，内错角是，故答案为：，．（4）解：在线段AB，，中，最短的是，理由为垂线段最短，故答案为：，垂线段最短．【点睛】本题考查了画垂线，画平行线，同位角、内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，已知、、、是正方形网格纸上的四个格点．(1)根据要求在网格中画图并标注相关字母：①画线段；②画直线；③过点画的平行线；④过点画的垂线，垂足为．(2)点与直线上各点连接的所有线段中，最短线段是______依据是______．【答案】(1)见解析(2)；垂线段最短【分析】（1）根据线段的定义，直线的定义，平行线的作法，垂线的作法作图即可；（2）根据垂线段的性质判断即可；【详解】（1）解：如图①线段即为所求；②直线即为所求；③即为所求；④点即为所求；（2）解：根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短，理由是垂线段最短；∵，∴最短；【点睛】本题考查了线段、直线、平行线、垂线的作法，垂线段的性质；掌握利用直尺和三角板作图的步骤是解题关键．3．如图，点P是的边上的一点．(1)过点M画的平行线，交于点N；(2)过点P画的垂线，交于点C；(3)点C到直线的距离是线段的长度．(4)比较大小：（填“＞”、“＜”“＝”）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质．（1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可；（2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可；（3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可；（4）根据垂线段最短，解决问题．【详解】（1）解：的平行线如图所示；（2）解：的垂线如图所示；（3）解：点C到直线的距离是线段的长度．故答案为：；（4）解：根据垂线段最短可知，故答案为：．类型五、三角板旋转平行【解惑】将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数．【初步认识】（1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则°；图3中，，则°；【深度理解】（2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由；（3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是；A．由特殊到一般

B．方程

C．分类讨论

D．整体【拓展应用】

（4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数°（用含n的代数式表示）；【大胆创新】（5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为°．【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）A；（4）；（5）45或75或165【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；（3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想；（4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论．（5）分三种情况画出图形求解即可．【详解】解：（1）图2中，，图3中，；故答案为：；；（2）猜想：，理由如下：图中，，，和是和的角平分线，，；（3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想，故选：A．（4），，，，．故答案为：；（5）如图，当时，则；如图，当时，设交于点E，则，∴,∴；如图，当时，设交于点E，则，∴,∴，∴．综上可知，旋转的角度为或或．故答案为：45或75或165．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．【融会贯通】1．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．(1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；(2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角；(3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)9或27，12或30；(3)，见解析．【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，（1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可；（2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；（3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解；读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键．【详解】（1）解：，，又，，；（2）解：，，，当在直线AB上时，，此时旋转角为或，每秒顺时针旋转，时间为或，当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，∵每秒顺时针旋转，∴时间为或，故答案为：9或27；或；（3）解：，理由如下：∵在的内部，∴，，∴，∴．2．如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上．(1)如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数；(2)如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数；(3)将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）．【答案】(1)(2)(3)3或或12．【分析】本题考查了平行线的性质，角度的相关计算知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，(1)利用平行线的性质和角度和差关系求解即可；(2)过点F作，则，求得，即有，同理：，结合题意即可求得，利用旋转角为求解即可；(3)分3种情形分别画出图形，求出对应的旋转角度再除以10，可得结论．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）如图，过点F作，则，∵，∴，∴，同理：，又∵，∴，∴，∴，∴边旋转了．（3）如图：当时，∵，∴，如图：当时，则，∴，由（2）知则∴，当时，则，∵，∴，综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．3．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．(1)当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；(3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．【答案】(1)15，图见解析(2)当时，；当时，；当时，；(3)或或或或．【分析】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．（1）根据得出，根据即可求解；（2）设，，在旋转过程中，分当时，当时，当9时，三种情况根据平行线的性质即可求解；（3）①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）解：当时，，如图：，，，故答案为：；（2）解：设：，，①如图，当时，，，故，即；②当时，，即，③当时，，，，即，，即；（3）解：①当时，由（1）可知，∴，∴；②当时，，∴，∴；③当时，则，∴，∴，∴，∴；④当时，，∴，∴；⑤当时，则，∴，∴；综上，或或或或．类型六、平行线之间的折线模型【解惑】已知，直线，点为平面内一点，连接与．(1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____(2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；（3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解．【详解】（1）解：如图1，过作，∵，，，，，故答案为：80；（2）解：，理由如下：如图2，过作，∵，，，，，过作，∵，∴，，，，，与的角平分线相交于点，，；（3）如图3，过作，∵，∴，∴，，∴，过作，∵，∴，，，，，∵与的角平分线相交于点K，∴，，∴，∴，∴．【融会贯通】1．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题：如图①，如果，那么（

）

【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可；（2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解；（3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解．【详解】解：（1），，，，故选：C；（2）．理由：过点作，点在点的左侧，．，，，；（3）．理由：，分别平分和，，．由（1）可得，，即．由（2）可得，．2．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．(3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．（1）过点作，根据平行线的性质得，再由垂直的定义得答案；（2）过作，过作，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得，便可求得结果；（3）过作，过作，设，，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，得出，，由，便可求得结果．【详解】（1）解：如图1，过点作，，，，，，，；（2）解：如图2，过作，过作，，，，，，，平分，平分，，，，，；（3）解：．理由如下：如图3，过作，过作，设，，平分，，，，，，，，，，，，，，则，平分，，，，又，则，，，且，，，，，．3．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由；（2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论；（3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论．【答案】（1），见解析；（2）；（3）【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．（1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系；（2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系；（3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系．【详解】解：（1），理由如下：如图，过点作，，，，，，；（2）同理（1）得：，理由如下：分别过点，，，作，，，，，，（3）同理（1）得：．理由如下：分别过点，，，，，作，，，，，，，，，，，，，．类型七、点与平行线的位置关系【解惑】如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，．(1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由．(2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？【答案】(1)，理由见解析(2)或【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．（1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论；（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论．【详解】（1）解：．理由如下：如图，过点作，因为，所以，所以，．又因为，所以；（2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下：如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作，所以．因为，所以，所以，所以；②当点在线段的延长线上时，．理由如下：如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作，所以．因为，所以，所以，所以．【融会贯通】1．如图，，猜想与、的关系，并说明理由．(1)填空：解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以(①___________)．因为，，所以(如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以(③___________)，所以④___________，即；(2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由；(3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由．【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④(2)，见解析(3)图中，图中【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）根据平行线的性质补充完整即可；（2）过点P作，根据平行线的性质求解即可；（3）过点P作，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以(①两直线平行，同旁内角互补)．因为，，所以(如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)，所以(③两直线平行，同旁内角互补)，所以④，即．故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④（2）解：猜想．理由：过点P作，如图所示，所以．因为，，所以，所以，所以，即；（3）解：图中，图中．如图，过作，，则，因为，，所以，所以，∴；如图，过作，，则，因为，，所以，所以，∴．2．探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系：(1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由．(2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由）图②________________________________________________．图③________________________________________________．(3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数．【答案】(1)(2)；(3)【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线构造平行线是解题的关键．（1）如图，过点E作，由平行线的性质得出，，可得；（2）图②中，过点E作，由平行线的性质得出，，可得；图③中，过点E作，由平行线的性质得出，，可得；（3）由（2）中图②的结论可得，在图④中，，结合角平分线的定义，四边形内角和为360度，即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：如图，过点E作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即．（2）解：图②中，过点E作，

∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即．图③中，过点E作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即．故答案为：；．（3）解：由（2）中图②的结论可得，在图④中，，∴，又∵平分，平分，∴，∴四边形中，．3．综合与实践（1）如图1，，点P在，之间，，求的度数．（2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示）【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．（1）过点P作，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可；（2）过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可；（3）过点E作，根据平行线公理得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据解析（2），得出，最后得出结果即可．【详解】解：（1）如图1，过点P作，，．∵，，，．（2）．理由：如图2，过点P作，∵，，，，，，，．（3）如图3，过点E作，∵，，，的平分线和的平分线交于点E．，由（2）得，，，．类型八、平行线中的数量关系【解惑】如图，直线，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧．(1)如图1，若，，则的度数为__________；(2)如图2，射线为的角平分线．①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明；②当时，的度数为__________．【答案】(1)(2)①，证明见解析；②或【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．（1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可；（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：①．证明如下：如图，设在上有一点在点的右侧，设，，∴，∵为的角平分线，∴，∵，∴，，∴，∴；②如图，当点在点右侧时，由①得：，又∵，∴，又∵，∴；如图，当点在点左侧，点在点右侧时，∵为的角平分线，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧，∵为的角平分线，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，综上所述，的度数为或，故答案为：或．【融会贯通】1．已知直线，为平面内一点，连接、．(1)如图1，已知，，求的度数；(2)如图2，判断、、之间的数量关系为___________；(3)如图3，，平分，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）过点作构造内错角和同旁内角，利用平行线的性质即可解答；（3）根据第（2）的结论即可求解．【详解】（1）解：过点作，如图：则，，，，，，（2）解：过点作，则，如图：，，，，，即．故答案为：．（3）解：过作，过作，如图：，设，则，，，由（2）可知，即，解得．2．已知如图，，点分别在上，平分．(1)若，，分别求的度数；(2)探求与的数量关系（)．【答案】(1)的度数分别为；(2)．【分析】（）由，根据两直线平行，内错角相等得到，，则，又平分，可计算出，然后计算即可；（）由（）得，再根据角平分线的定义得到，而，然后经过角的代换即可得到与的数量关系；本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵，

∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴的度数分别为；（2）解：由（）得，

∴，∴，．3．如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，且分别交射线于点C、D．(1)求的度数．(2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)当点P运动到使时，求的度数．【答案】(1)(2)不变化，(3)【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质；由平行线得到角之间的数量关系是解题的关键．（1）由两直线平行，同旁内角互补可求，根据角平分线的定义，即可求解；（2）由两直线平行，内错角相等得，，再结合角平分线定义，得证结论；（3）由平行得，，所以，结合角平分线，得．【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，分别平分，，∴，，∴；（2）解：与之间的数量关系不变，；理由：∵，∴，．又∵平分，∴，∴；（3）解：∵，∴．∵，∴，即，∴．∵，分别平分，，∴．类型九、平行线中的角平分线【解惑】已知，直线，点P为平面上一点，连接与．(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在外．①直接写出、、的数量关系为______．②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)①；②【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用：（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；（3）①过P作，根据，可得，，进而得到；②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．【详解】（1）解：如图1，过P作，，，，，；（2）解：，理由如下：如图2，过作，，，，，，过P作，同理可得，，与的角平分线相交于点K，，；（3）解：①如图3，过P作，，，，，，故答案为：；②如图3，过K作，，，，，，由①知，，与的角平分线相交于点K，，．【融会贯通】1．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．(1)若按如图1摆放，当平分时，则________；(2)若，按如图2摆放，求的度数；(3)若图2中，固定，将沿线段方向平行移动，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点（如图3），求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角板中角的和差运算，掌握平行线的判定和性质，图形结合分析方法是解题的关键．（1）根据三角板的特点，角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，可求出，再根据三角板的特点即可求解；（2）如图，过点作，根据平行线，三角板的性质可得，再由即可求解；（3）如图，分别过点作，，和的角平分线GH、FH相交于点H，可得，，，，最后根据，即可求解．【详解】（1）解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）解：如图，过点作，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴；（3）解：如图，分别过点作，，∴，，∵，，，∴，∴，，∵和的角平分线、相交于点H，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．2．【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为CD下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系．①小红的做法是：如图2，过点作．②小明的做法是：如图3，设交CD于点，过点作．请你选择一名同学的做法，写出证明过程．【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．如图，直线，点在AB，CD之间，点在CD下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；图4【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）①过点作，根据平行线的性质得出；②设交CD于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得；（2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解．【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作．∵∴∴∵；②小明的做法是：如图3，设交CD于点，过点作．∴，∵∴∴（2）如图所示，过点作∵和的角平分线相交于点．∴∵∴∴由（1）可得∴3．如图1，，定点E，F分别在直线上(1)在平行线之间有一个动点P，满足探究：之间满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线之间的一个动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．①如图2，当点P在的左侧时，请求出之间的数量关系．②如图3，当点P在的右侧时，直接写出满足的数量关系为________________________；(2)如图4，点P在的右侧时，的角平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图5，在（2）的条件下，若与的角平分线交于点与的角平分线交于点，以此类推，试写出与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【答案】(1)①，理由见解析；②(2)，理由见解析(3)【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解题的关键．（1）过点P作，则，利用平行线的性质即可求解；（2）根据角平分线的定义，结合（1）①中结论，即可求解；（3）类比（2）中结论，可得答案．【详解】（1）解：①当点P在的左侧时，过点P作，则，，，；②当点P在的右侧时，过点P作，则，，，；故答案为：．（2）解：，理由如下：分别平分和，∴设，由①得，，；（3）解：由（2）知，，类比可得，，……以此类推，可得．类型十、平行线中的光线平行问题【解惑】【问题情境】

（1）如图1，∥是上一点，B是上一点，点C在直线之间．①若，，则的度数为____________．【问题探究】②试探究的数量关系，并说明理由．【问题应用】（2）如图2，是三面镜子，将一束光线沿方向射入镜子，通过镜子的反射，最后从镜子上的点C处射出，此时入射光线与反射光线平行．若，试用含的式子表示出的度数．【答案】（1）①

②

（2）【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质．（1）①过点作则，则可求出和的度数，然后利用计算即可；②过点作则，然后得到，，进而得到结论；（2）过点作过点作，则有，即可得到，，，然后代入即可解题．【详解】解：（1）①过点作∵，∴，∴，，∴；

②①过点作∵，∴，∴，，∴；（2）过点作过点作，又∵入射光线与反射光线平行，∴，∴，，，∴

【融会贯通】1．综合与实践台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直．(1)求的度数：(2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数；(3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键．（1）由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可由求解；（2）根据平行线的性质可求解；（3）过点、作，，根据平行线的性质可求解．【详解】（1）解：∵平分，，∵，∴，∴．（2）解：由题可知，∴∴由题可知，．（3）解：如图所示，分别过点、作，，，，，，，，由（1）可知，，．2．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，.（1）若，则______；（2）的余角是______；（3）与的数量关系是______，依据是__________________；（4）图中互余的角有______对，互补的角有______对；【类比探究】（5）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋；【学科融合】（6）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似.光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕、两点转动的镜面，点是激光发射装置．由点发出的激光照射在点和点处，、是两束反射光线．、处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______°；通过调节的角度，当______°时，反射光线和平行．【答案】（1）30；（2），；（3）相等，等角的补角相等；（4）4，4；（5）40；（6）；【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解反射角等于入射角，准确识图，熟练掌握平行线的性质及角度的计算是解决问题的关键．问题初探：（1）（2）（3）（4）根据余角和补角的概念，结合图形解答即可；类比探究：（5）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度数；（6）过点作，过点作，依题意得，，，，，则，再由，得，再根据可得，进而得，据此可得的度数；设，则，进而得，则，然后根据得，则，由此解出即可得的度数．【详解】解：问题初探：由题意得，，，，（1）若，则；故答案为：30；（2）的余角是：，；故答案为：，；（3）与的数量关系是相等，依据是等角的补角相等；故答案为：相等，等角的补角相等；（4）图中互余的角有______对，互补的角有______对.和、和、和、和互为余角，和、和、和、和互为补角．∴图中互余的角有4对，互补的角有4对；故答案为：4，4；类比探究：（5）如图，过点作，由题意可得：，，，，，，．答：等于40度时，才能保证黑球能直接入袋．故答案为：40；（6）过点作，过点作，如图所示：根据反射角等于入射角得：，，依题意得：，，，，，，，，，，，，，，，；设，则，，，，，，当时，，，．即．故答案为：；．3．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且．(1)求a、b的值．(2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行．(3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C．①（用含有t的式子表示）；②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)①；②为定值，【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键．（1）利用非负数的性质，列方程组解出即可；（2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可；（3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式；②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值．【详解】（1）解：依题意得：，解得：；（2）当两灯灯光第一次平行时，则：，解得：；（3）①如图，过点C作，，，，∴，经过秒，，，故答案为：；②为定值，，，，，，，，．【一览众山小】1．已知与互为余角，，则的补角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了补角和余角的知识，互为余角的两角之和为，互为补角的两角之和为．根据，求出，再根据互为补角的两角之和为，即可得出答案．【详解】解：∵与互为余角，，∴，∴的补角为：．故选：B．2．把一个含角的直角三角尺和一把直尺如图放置．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了平行线的性质，过点E作，根据平行线的性质得到，，由得到，即可求出的度数．【详解】解：如图，过点E作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B3．如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即与互余，故②正确；∵，∴，∵平分交于点E，∴，，∵，∴与不一定相等，即不一定成立，故③错误；∵，，，∴，即平分，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：C．4．如果一个角的补角是这个角的2倍，那么这个角的大小为度．【答案】【分析】本题主要考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义进行求解是解决本题的关键．设这个角为，则这个角的补角为，根据补角的定义进行求解即可得出答案．【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，，解得：．故答案为：．5．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．则在下列选项中，正确的是．【答案】①②④【分析】本题考查了角平分线的有关计算，互余的定义，互补的定义，角的和差；①由角平分线的定义得，，由角的和差得，由互余及互补的定义即可判断；②同理可得，即可判断；③由角的和差得，，即可判断；④由角的和差得，即可判断；理解角平分线的定义，互余的定义，互补的定义，能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键．【详解】解：①平分，平分，，，，，，与互余；故此项正确；②平分，平分，，，为直角，，；故此项正确；③，，，，，，，与互补；，与不互补，故此项错误；④平分，平分，，，，，，故此项正确；故答案为：①②④．6．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证°．【答案】110【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数．【详解】解：如图所示：过