第1章 整式的乘除（学生版）（类型）-北师大版(2024)七下

思维导图第一章整式的乘除思维导图【类型覆盖】类型一、单项式与多项式的应用【解惑】如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（

）A．2 B． C． D．3【融会贯通】1．在矩形中，将边长分别为a和b的两张正方形纸片按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为．当时，的值为（

）A． B． C． D．2．如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为（），连接、、，则的面积为（用或表示）．3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1．(1)计算，商式是________，余式是________；(2)计算，结果为________；(3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值．类型二、多项式与多项式的应用【解惑】如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（

）A．正方形的边长 B．正方形的边长C．正方形的边长 D．正方形的边长【融会贯通】1．有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为(

)A．6 B．7 C．8 D．92．如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为．3．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．(1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；(2)已知，，利用（1）的结论求的值．类型三、平方差公式中的应用【解惑】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（

）A． B．C． D．2．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是．3．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是______________．A．B．C．(2)应用所得的公式计算：；(3)应用所得的公式计算：．类型四、完全平方公式的应用【解惑】将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形，中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（

）

A． B． C． D．2．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为．3．（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形．(1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积；(2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________；(3)已知，求的值；(4)若，求的值．类型五、整式乘除中的应用【解惑】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（

）A． B． C． D．2．如图，一个长方形运动场被分割成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的小正方形．列式表示整个长方形运动场的面积．3．如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽；(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽．类型六、幂的乘除中的等量关系【解惑】如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝，（4，1）＝，（2，0.25）＝；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．【融会贯通】1．如果，那么我们规定．例如；因为，所以．(1)根据上述规定填空：______，______；(2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由．2．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求b的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：34=81，那么．(1)填空：_____；(2)若，，求的值；(3)探索，与之间的关系，并说明理由．3．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶∵设，则，∴，即，∴∴试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．类型七、整式的乘除中的规律问题【解惑】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：【知识应用】(1)补充完整的展开式，______；(2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；(3)今天是星期五，过了天后是星期几？【融会贯通】1．（1）填空并观察下列各式的规律：________；；；；……可得到________．（2）猜想：________（其中为正整数，且）；（3）利用（2）猜想的结论计算：．2．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出的展开式__________并利用整式的乘法验证你的结果．(2)的展开式共有__________项，系数和为__________．(3)展开式共有__________项，系数和为__________．3．观察下列各式：;；；…(1)根据以上规律，则；(2)你能否由此归纳出一般性规律：=．(3)根据（2）求出：的结果．类型八、整式的乘除中的新定义问题【解惑】观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”．(1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”；(2)小丁说：“若是‘共生有理数对’，则一定是‘共生有理数对'．”小丁的说法正确吗？请说明理由；(3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，为．（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）【融会贯通】1．阅读下列材料，完成相应的任务．平衡多项式定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为．任务：(1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；(2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由；(3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值．2．配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．解决问题：（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______；（2）已知，则______；探究问题：（3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值．3．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，10是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”．解决问题：（1）请你再写一个小于10的“和美数”______；并判断40是否为“和美数”______；（2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；探究问题：（1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______；（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值．拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______．类型九、延伸拓展——复数问题【解惑】定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：；．根据以上信息，完成下列问题：(1)计算：；(2)计算：．【融会贯通】1．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1②若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．(1)填空：（3i﹣2）（3+i）＝；（1+2i）3（1﹣2i）3＝；(2)若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；(3)已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2020）的值．2．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如：①②③根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：______，______，______；(2)化简：；(3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的乘积．3．定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位，且把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加，减、乘法运算类似．例如：；；．根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：①______，______，______．②______．(2)计算：．类型十、延伸拓展——对数问题【解惑】阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．(1)计算以下各对数的值：，，．(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？(3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论．【融会贯通】1．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即．根据上面的规定，请解决下列问题：(1)计算：____________，_____________；(2)小明在计算的时候，采用了以下方法：设，

通过以上计算，我们猜想____________．2．材料：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．根据以上材料，解决下列问题：(1)计算：_________，__________；(2)已知：，则且；(3)猜测：________且，，，并加以证明这个结论；．3．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设，，则，∴，由对数的定义得又∵∴解决以下问题：(1)将指数转化为对数式：______．(2)仿照上面的材料，试证明：．(3)拓展运用：计算．【一览众山小】1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．2．已知，则代数式的值可能是（

）A． B． C． D．3．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．已知，则＝