初中数学九年级总复习圆的基本性质知识清单

初中数学九年级总复习圆的基本性质知识清单一、圆的定义与相关概念（一）圆的描述性定义与集合定义1、在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。其固定的端点叫做圆心，线段的长叫做半径。这是从运动观点出发的描述。2、从集合观点看，圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点为圆心，定长为半径。这一观点是解决动点轨迹问题以及判断点与圆位置关系的理论基础。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（二）圆的有关概念【基础】1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（通常用两个字母表示）。能够完全重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。5、弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。它是一个非常重要的概念，尤其在垂径定理及其相关计算中频繁出现。（三）点与圆的位置关系【重要】1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有点在圆外，d>r；点在圆上，d=r；点在圆内，d<r。2、判定点与圆位置关系的核心在于比较距离d与半径r的大小关系。这是圆中最基本的数量关系，也是后续学习直线与圆、圆与圆位置关系的基础。二、圆的对称性与旋转不变性（一）轴对称性1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。由此可以推导出圆有无数条对称轴。2、圆的轴对称性是垂径定理及其推论的图形基础。基于对称性，我们可以在圆中构造全等三角形和等腰三角形，从而进行线段或角度的等量转化。（二）中心对称性与旋转不变性1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心。绕圆心旋转任意角度，所得的图形都能与原图形重合，这一性质称为圆的旋转不变性。2、旋转不变性是圆心角、弧、弦之间相等关系定理的核心依据。即若将圆绕圆心旋转一个角度，则整个圆仍与自身重合，这决定了与圆相关的量与量之间的对应关系。三、垂径定理及其推论【高频考点】【★★★】（一）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。1、几何语言描述：若CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点M，则AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。2、定理的实质：一条直线若满足（1）过圆心，（2）垂直于弦，则可以推出（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。（二）垂径定理的推论【重要】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。1、几何语言描述：若CD为⊙O的直径，AM=BM（AB不是直径），则CD⊥AB，且弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。2、理解要点：推论中的“弦”必须强调“不是直径”，否则结论不一定成立（因为两条直径互相平分但未必垂直）。（三）垂径定理与勾股定理的结合【高频考点】【难点】1、基本模型：在圆中，半径r、弦长a、弦心距d、弓形高h之间的关系构成了一个直角三角形模型。2、核心关系式：在由半径、半弦、弦心距构成的直角三角形中，有r²=d²+(a/2)²。3、弓形高h与半径r、弦心距d的关系：当弦所对的弧是劣弧时，h=rd；当弦所对的弧是优弧时，h=r+d。（四）垂径定理的常见应用题型【★】1、求弦长或半径：已知半径和圆心角，求弦长；或已知弦长和拱高（弓形高），求半径。2、求弦心距：已知半径和弦长，利用勾股定理求弦心距。3、解决实际问题：如赵州桥问题、隧道问题、油桶问题等，通过构造直角三角形求解。4、多解情况讨论：当两条平行弦位于圆心同侧或异侧时，它们之间的距离需要分类讨论，避免漏解。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【重要】（一）定理内容【基础】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（二）推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。1、这是圆的旋转不变性最直接的体现，也是圆中证明线段相等、角相等、弧相等的常用工具。2、特别注意前提条件“在同圆或等圆中”不可或缺。（三）弧的度数表示【★】1、圆心角的度数与它所对弧的度数相等。即1°的圆心角对着1°的弧。2、这一性质将角的度量与弧的度量统一起来，在计算与圆有关的角时非常有用，尤其是涉及圆心角与圆周角的关系时。五、圆周角定理及其推论【高频考点】【★★★】（一）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。1、证明思路：根据圆心与圆周角的位置关系（圆心在角的一边上、在角的内部、在角的外部）进行分类讨论，体现了分类讨论的数学思想。2、核心要点：定理中指明了“同一条弧”这一前提条件，离开这一条件，圆周角与圆心角的关系不成立。（二）圆周角定理的重要推论【必考】1、同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。这是圆中构造直角三角形的重要依据，也是证明垂直或寻找直径的常用方法。3、圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。（三）圆周角定理的应用【★】1、求角度：利用圆周角与圆心角的倍半关系进行角度计算，常结合三角形内角和、外角性质等。2、证明角相等：通过证明它们所对的弧相等来实现。3、证明四点共圆：若平面上四点连成的四边形对角互补，或一个外角等于其内对角，则这四点共圆。这是解决较复杂几何问题的有效手段。4、与直径相关的辅助线构造：当题目中出现直径条件时，常连接直径所对的弦，构造直角三角形。六、圆内接四边形【重要】（一）定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。四边形的情形即为圆内接四边形。（二）性质定理【高频考点】1、圆内接四边形的对角互补。几何语言：在⊙O中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。几何语言：如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，则∠DCE=∠A。（三）判定定理1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。2、如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。（四）圆内接四边形的综合应用1、在几何证明题中，圆内接四边形性质常用于进行角的等量转化，将分散的角集中起来。2、在与相似三角形、全等三角形结合的综合题中，圆内接四边形往往起到桥梁作用。七、正多边形与圆【基础】（一）正多边形的定义及相关概念1、各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3、正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心。4、正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。5、正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径，即中心到正多边形一边的距离。6、正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。（二）正多边形的计算【★】1、中心角公式：正n边形的每个中心角为360°/n。2、内角公式：正n边形的每个内角为(n2)×180°/n。3、边长、半径、边心距的关系：设正n边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则a²=R²+r²2Rr·cos(360°/n)的变形，或直接通过解直角三角形得出：a=2R·sin(180°/n)，r=R·cos(180°/n)。（三）正多边形的画法1、用量角器等分圆：依据圆心角，可画出正多边形。2、用尺规等分圆：对于一些特殊的正多边形（如正方形、正六边形、正八边形等），可以用尺规作图的方法进行等分。八、轨迹问题与圆（一）圆的轨迹定义到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆。（二）常见轨迹问题1、到线段两端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。2、到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线。3、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线。4、与已知线段两端点所张角为定角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角为定角的两段弧（以线段为弦，且所含圆周角为定角的弧）。（三）轨迹在作图与解题中的应用1、利用轨迹法作图：当确定一个点的位置需要满足两个条件时，可以分别作出满足每个条件的点的轨迹，它们的交点即为所求。2、在动点问题中，识别动点的运动轨迹是圆或圆弧，可以帮助我们确定动点运动过程中的临界位置和最值情况。九、圆的基本性质中的数学思想与解题策略（一）转化思想1、将圆周角问题转化为圆心角问题，或将圆心角问题转化为弧的问题。2、将圆中的线段关系（如弦、半径、弦心距）转化为直角三角形中的边的关系，利用勾股定理求解。3、将圆中的位置关系转化为数量关系（如点与圆、直线与圆）。（二）分类讨论思想【重要】1、点在圆上的位置不确定时：如已知弦所对的圆周角，求圆心角时，要考虑到圆周角的顶点在优弧和劣弧上的两种情况。2、两条弦的位置不确定时：如已知两条平行弦与圆心的位置关系（在圆心同侧或异侧）不确定时，它们之间的距离需分情况讨论。3、圆心与角的位置关系：在推导圆周角定理或解决相关问题时，需考虑圆心在角的内部、外部或一边上的情况。（三）方程思想1、在解决圆中计算问题时，常常设未知数，利用勾股定理、垂径定理、圆周角定理等建立方程（组），通过解方程求得未知量。2、如已知半径、弦长、弦心距、弓形高中任意两个量，可设未知数列出方程求解。（四）构造辅助线的策略【高频考点】1、作半径：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质。2、作弦心距：构造直角三角形，为使用垂径定理和勾股定理创造条件。3、连接圆上两点构造圆周角或圆心角：利用圆周角定理及其推论进行角的转化。4、遇直径，作直径所对的圆周角：构造直角三角形，获得垂直关系。5、遇切线，作过切点的半径：获得垂直关系（虽属后续章节，但复习时常综合涉及）。6、两圆相交时，作公共弦或连心线：利用连心线垂直平分公共弦的性质。（五）建模思想1、将实际问题抽象为圆的问题：如拱桥问题、车轮问题、测量问题等。2、建立几何模型：通过建立圆中直角三角形模型，将实际问题转化为数学计算。十、圆的基本性质高频考点与常见题型分析（一）选择题与填空题常见考点1、利用垂径定理结合勾股定理求弦长、半径或弦心距。【高频考点】2、利用圆心角、弧、弦之间的关系进行等量代换。【基础】3、利用圆周角定理及其推论求角的度数。【必考】4、判断点与圆的位置关系。【基础】5、圆内接四边形性质的应用。【重要】6、正多边形的中心角、边长、边心距的计算。【基础】7、轨迹的识别与判断。【中等难度】8、多解情况的甄别与选择。【难点】（二）解答题常见题型与解题步骤1、圆与三角形综合题题目特征：圆中结合等腰三角形、直角三角形或全等、相似三角形的判定与性质。解题步骤：第一步，标注已知条件，挖掘隐含条件（如半径相等构造等腰三角形）；第二步，寻找等量关系，通常利用圆周角定理进行角的转化；第三步，利用三角形全等或相似证明线段相等或成比例；第四步，若涉及计算，利用勾股定理或三角函数求解。2、圆的证明与计算题题目特征：以圆为背景，证明线段相等、角相等，或进行线段长度的计算。解题步骤：第一步，读题审图，明确已知条件和求证结论；第二步，联想相关定理，如垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质等；第三步，添加必要的辅助线（半径、弦心距、直径所对圆周角等）；第四步，逐步推理，规范书写证明过程；第五步，对于计算部分，找准直角三角形，建立方程求解。3、动态几何与最值问题【难点】题目特征：点在圆上运动，探究某一几何量的最值或取值范围。解题步骤：第一步，分析动点的运动轨迹（是否为圆或圆弧）；第二步，找出在运动过程中保持不变的量（如半径、定角等）；第三步，将目标量表示为某一变量的函数，或利用几何性质（如垂线段最短、三角形三边关系）确定最值；第四步，验证最值取得的条件，写出答案。4、作图与探究题题目特征：要求用尺规作出满足条件的图形，或探究图形存在的条件。解题步骤：第一步，分析条件，确定点的轨迹；第二步，利用轨迹相交法确定关键点的位置；第三步，规范作图，保留作图痕迹；第四步，对所作的图形进行证明或说明。十一、圆的基本性质复习中的易错点与辨析【易错点】（一）概念理解不清1、混淆弧与弦的关系：弦是线段，弧是曲线，两者不可等同。2、对等弧的理解片面：等弧必须是在同圆或等圆中才能出现，长度相等的弧不一定是等弧。3、忽视“在同圆或等圆中”这一前提：运用圆心角、弧、弦、弦心距关系定理时，容易忽略前提条件，导致错误推理。（二）定理运用不当1、垂径定理中“平分弦”的条件缺失：运用推论时，若直接由平分弦推出垂直于弦，必须强调该弦不是直径。2、圆周角定理中的“同一条弧”被忽略：随意将不同弧所对的圆周角与圆心角建立倍半关系。3、直径所对圆周角是90°，但90°的圆周角所对的弦是直径，这一互逆关系需清晰。（三）计算中的失误1、单位混淆：在计算中半径、弦长、弦心距的单位不一致导致错误。2、符号错误：在利用弓形高公式h=r±d时，不能准确判断取加号还是减号。3、开方结果取舍：在解二次方程求线段长度时，未考虑实际意义，未能舍去负值。（四）分类讨论遗漏1、已知圆中两条平行弦的距离时，未考虑圆心在两弦之间和两弦之外两种情况。2、已知弦所对圆周角求圆心角时，未考虑圆周角的顶点在优弧和劣弧上两种情况。3、点在圆上的位置不确定时，如“弦AB所对的圆周角等于50°”，应想到两个答案。十二、圆的基本性质与跨学科知识的融合（一）与物理学科的融合1、光学中的应用：凸透镜的会聚作用与球面镜的反射原理，涉及圆的切线与法线知识。2、力学中的应用：物体做圆周运动时向心力的方向指向圆心，与圆的半径方向一致。3、天体运动：行星绕太阳运行的轨道近似为圆，涉及圆心、半径等概念。（二）与地理学科的融合1、地球的自转与公转：赤道、经线、纬线等都可以抽象为圆或圆弧。2、时区的划分：与时区划分有关的经度线实质上是经过两极的大圆。3、地图投影：绘制地图时常涉及球面投影到平面的问题，与圆的几何性质密切相关。（三）与美术学科的融合1、图案设计：许多精美图案都是由圆的不同部分组合而成。2、分割与圆：正五角星的画法与比例有关，而正五角星的顶点都在同一个圆上。3、透视原理：在透视图中，圆形物体在不同视角下呈现为椭圆，但仍保留了圆的一些基本性质。（四）与工程技术的融合1、机械设计：齿轮的轮廓设计、轴承的滚珠分布等都与圆的性质有关。2、建筑设计：拱形结构的设计充分利用了圆的承重特性。3、测量学：利用圆的性质进行距离测量和高程测量。十三、圆的基本性质知识体系的内在逻辑与复习建议（一）知识体系的逻辑主线1、从圆的定义出发，理解圆的两种定义方式，把握其本质特征。2、基于圆的对称性（轴对称和旋转不变性），导出两大核心定理：垂径定理和圆心角定理。3、由圆心角与圆周角的关系，导出圆周角定理及其推论，这是连接圆中角与弧、弦之间关系的重要桥梁。4、将圆与多边形联系起来，研究圆内接四边形和正多边形，拓展圆的应用范围。5、将圆的知识与轨迹思想结合，提升解决动态几何问题的能力。（二）复习策略建议1、夯实基础，强化记忆：熟练掌握圆中各个概念的定义、定理的文字语言、图形语言和符号语言。2、聚焦核心，突破重点：将垂径定理、圆周角定理作为复习的重中之重，通过变式训练加深理解。3、关注易错，扫清盲点：整理常见的易错点和多解问题，进行专项辨析和训练。4、构建模型，提升能力：总结圆中常见的几何模型（如双垂直模型、等腰三角形模型、四点共圆模型等），提高解题效率。5、融合思想，培养素养：在解题过程中有意识地运用转化、分类、方程等数学思想方法，提升数学核心素养。（三）近年中考趋势分析1、基础题：注重对圆的基本概念和性质的直接考查，难度不大，但覆盖面广。2、中档题：将圆的性质与三角形、四边形知识结合，考查综合运用知识的能力。3、压轴题：常以圆的动态问题或存在性问题呈现，突出对分类讨论、数形结合思想的考查。4、创新题：将圆的知识与实际情境结合，考查建模能力和应用意识。十四、圆的基本性质复习的拓展与深化（一）托勒密定理简介【拓展】圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。即：四边形ABCD内接于圆，则AC·BD=AB·CD+AD·BC。这是圆内接四边形的一个重要性质，可用于解决某些线段乘积的和差问题。（二）相交弦定理【拓展】圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：弦AB和CD相交于圆内一点P，则PA·PB=PC·PD。（三）切割线定理【拓展】从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。（四）阿基米德折弦定理【拓展】圆中一条折弦，较长的弦向较短的弦方向折叠后，折点与弧中点的连线垂直于折痕。（五）圆幂定理【拓展】上述相交弦定理、切割线定理以及切线长定理可以统一为圆幂定理：过平面内一定点，任作一直线与圆相交，则自该点至两交点的两条线段之积为常数，该常数称为点对圆的幂。（六）四点共圆的判定方法补充1、若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两端点共圆。2、若两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧顶角相等，则这两个三角形的顶点与底边两端点共圆。（七）与三角函数知识的融合1、利用圆中直径所对圆周角是直角，将锐角三角函数融入圆中计算。2、通过构造直角三角形，利用正弦定理、余弦定理解决圆中有关弦长、角度的问题。十五、圆的基本性质复习质量检测与评价要点（一）知识掌握水平评价1、能否准确复述圆的定义及相关概念。2、能否熟练表述垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及其推论。3、能否清晰区分易混淆的概念和定理。（二）技能运用能力评价1、能否在复杂图形中准确识别出圆的基本图形（如垂径定理基本图形、直径对直角图形等）。2、能否根据问题需要合理添加辅助线。3、能否规范书写推理过程，做到步步有据。（三）思维发展水平评价1、面对多解问题时，能否主动进行分类讨论。2、面对复杂问题时，能否运用转化思想将其分解为若干简单问题。3、面对新情境问题时，能否灵活运用所学知识进行探究。（四）核心素养达成评价1、直观想象：能否通过图形直观感知圆的性质，并借助图形思考问题。2、逻辑推理：能否有条理地表达圆中几何问题的思考过程。3、数学抽象：能否从实际问题中抽象出圆的知识模型。4、数学运算：能否准确进行与圆有关的计算。十六、圆的基本性质典型例题精析（概念篇）（一）例题1：点与圆位置关系的判定已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，点Q到圆心O的距离为5cm，点R到圆心O的距离为6cm。试判断点P、Q、R与⊙O的位置关系。【分析】直接根据点到圆心的距离与半径的大小关系进行判定。【解答】∵3<5，∴点P在⊙O内部；∵5=5，∴点Q在⊙O上；∵6>5，∴点R在⊙O外部。（二）例题2：利用圆的对称性求角度如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=40°，求∠B的度数。【分析】由弧相等可得弦相等，进而得到三角形是等腰三角形。【解答】∵弧AB=弧AC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C。又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∴2∠B=140°，∴∠B=70°。（三）例题3：圆心角、弧、弦关系的运用在⊙O中，已知弧AB的度数为80°，点C是弧AB的中点，求∠AOC的度数。【分析】弧的度数等于它所对圆心角的度数。【解答】∵弧AB的度数为80°，∴∠AOB=80°。∵点C是弧AB的中点，∴弧AC=弧BC=40°，∴∠AOC=40°。十七、圆的基本性质典型例题精析（垂径定理篇）（一）例题4：垂径定理基本计算在直径为10cm的⊙O中，弦AB=8cm，求圆心O到弦AB的距离。【分析】过圆心O作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。【解答】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。∵OC⊥AB，∴AC=BC=½AB=4cm。∵直径10cm，∴半径OA=5cm。在Rt△OAC中，由勾股定理得OC²=OA²AC²=5²4²=9，∴OC=3cm。即圆心O到弦AB的距离为3cm。（二）例题5：垂径定理的灵活运用如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，求AB的长度。【分析】根据OM:OC比例及半径求出OM长度，再在Rt△OAM中利用勾股定理求半弦长。【解答】∵直径CD=10cm，∴半径OC=5cm。∵OM:OC=3:5，∴OM=3cm。连接OA，在Rt△OAM中，OA=5cm，OM=3cm，∴AM²=OA²OM²=259=16，∴AM=4cm。∵AB⊥CD，∴AB=2AM=8cm。（三）例题6：分类讨论在垂径定理中的应用已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB与CD之间的距离。【分析】两平行弦可能在圆心的同侧或异侧，需分情况讨论。【解答】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC。由垂径定理，AE=½AB=6cm，CF=½CD=8cm。在Rt△AOE中，OE²=OA²AE²=10²6²=64，∴OE=8cm。在Rt△COF中，OF²=OC²CF²=10²8²=36，∴OF=6cm。当弦AB、CD在圆心O同侧时，AB与CD之间的距离EF=OEOF=86=2cm。当弦AB、CD在圆心O异侧时，AB与CD之间的距离EF=OE+OF=8+6=14cm。综上，AB与CD之间的距离为2cm或14cm。十八、圆的基本性质典型例题精析（圆周角定理篇）（一）例题7：圆周角定理的直接应用如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=100°，求∠ACB的度数。【分析】圆周角等于它所对弧所对圆心角的一半。【解答】∵∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠ACB=½∠AOB=50°。（二）例题8：直径所对圆周角的应用如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠A=40°，求∠B的度数。【分析】直径所对的圆周角是直角。【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠A=40°，∴∠B=90°40°=50°。（三）例题9：圆周角定理与等腰三角形综合如图，⊙O中，弦AB=AC，∠BAC=50°，求∠ABC的度数。【分析】由弦相等得弧相等，进而得圆周角相等。【解答】连接OA、OB、OC。∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴∠AOB=∠AOC。又OA=OB=OC，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠OAB=∠OAC=½∠BAC=25°。在等腰△AOB中，∠OBA=∠OAB=25°，∴∠AOB=130°。∴∠ACB=½∠AOB=65°。又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°。十九、圆的基本性质典型例题精析（圆内接四边形篇）（一）例题10：圆内接四边形性质的应用如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，求∠BCD的度数。【分析】先利用圆心角求圆周角∠A，再利用圆内接四边形对角互补求∠BCD。【解答】∵∠BOD=140°，∴∠A=½∠BOD=70°。∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°70°=110°。（二）例题11：圆内接四边形与外角如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长