人教版初中数学七年级下册《不等式及其解集》教案

人教版初中数学七年级下册《不等式及其解集》教案

一、教学基本信息

课时安排：2课时（第1课时：不等式的概念与列不等式；第2课时：不等式的解与解集及其数轴表示）

授课对象：初中七年级下学期学生

教材分析：本节课内容选自人教版《数学》七年级下册第九章《不等式与不等式组》的第一节。方程（组）是刻画现实世界相等关系的有效模型，而不等式是刻画现实世界不等关系的数学模型，两者共同构成了刻画现实世界数量关系的重要基础。本节课作为不等式知识的起始课，承接学生已有的实数比较大小、方程概念等知识，开启对不等关系数学化研究的大门，是学生从“等量”思维向“不等量”思维跨越的关键节点，为后续学习不等式的性质、解法以及不等式组的应用奠定坚实的认知基础和思想方法基础。

设计理念：本设计秉承《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念，以发展学生核心素养为导向。强调从现实生活与已有数学经验中抽象出数学概念，经历“情境感知—抽象建模—符号表达—理解深化—应用拓展”的完整认知过程。注重类比方程学习路径，引导学生自主建构不等式知识体系，体会模型思想与符号意识。深度融合信息技术，借助动态演示突破“解集”的理解难点，渗透数形结合思想。通过设计层次分明、联系实际的探究活动与问题链，激发学生思维主动性，培养数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。

二、教学目标

1.知识与技能：

1.2.结合具体实例，理解不等式的意义，能正确识别不等式，并会用不等式表示简单的不等关系。

2.3.理解不等式的解与解集的意义，能判断一个数是否为一个不等式的解。

3.4.掌握在数轴上表示不等式解集的方法，体会数形结合思想的优越性。

5.过程与方法：

1.6.经历从实际问题中抽象出不等关系并用不等式表示的过程，发展学生的抽象概括能力和模型观念。

2.7.通过类比方程的解，探索不等式的解与解集，体验类比、归纳等数学思想方法。

3.8.在探索用数轴表示解集的过程中，发展几何直观和空间想象能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.感受不等式来源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值。

2.11.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.12.培养严谨、细致的数学学习态度和独立思考、合作交流的学习习惯。

三、教学重难点

教学重点：不等式及其解集的概念；用不等式表示简单的不等关系；在数轴上表示不等式的解集。

教学难点：不等式解集的理解与在数轴上的规范表示；从实际问题中准确抽象不等关系并列出不等式。

四、学情分析

七年级下学期的学生，已经系统学习了有理数、实数、整式加减、一元一次方程等知识，具备了比较实数大小、用字母表示数、列代数式以及初步的方程模型思想。在认知心理上，他们正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，抽象逻辑思维能力正在快速发展，但仍有赖于具体形象的支撑。学生在学习方程时形成的“寻求确定解”的思维定势，可能会对理解“不等式的解有无数个”以及“解集”这一集合概念造成认知冲突。此外，用数轴表示解集时，方向、端点（实心与空心）等细节容易出错。因此，教学需充分激活学生的已有经验，通过有效类比与对比，搭建认知桥梁，同时利用直观演示化解抽象概念，通过精细化指导规范表达。

五、教学策略与方法

主要策略：情境导学，问题驱动；类比迁移，自主建构；直观演示，化解难点；分层练习，巩固内化。

教学方法：

*情境创设法：创设贴近学生生活的多重现实情境（如天平称重、温度控制、消费支付、速度限制等），激发兴趣，感知无处不在的不等关系。

*探究发现法：围绕核心概念（不等式、解、解集），设计环环相扣的问题链，引导学生在观察、比较、归纳、概括中主动获取知识。

*类比教学法：系统类比方程的相关概念（等式vs不等式，方程的解vs不等式的解，方程的解vs不等式的解集），利用旧知同化新知，形成知识网络。

*直观演示法：利用GeoGebra等动态数学软件，动态演示不等式的解在数轴上的分布，直观呈现“解集”的连续性与范围性，深化理解。

*讲练结合法：精讲概念与方法，辅以阶梯式、变式化的课堂练习，及时反馈，巩固落实。

六、教学准备

教师准备：多媒体课件（内含丰富生活情境图片、动画）、GeoGebra动态数学软件、实物天平或模型。

学生准备：复习实数比较大小、数轴相关知识；直尺、练习本。

七、教学过程设计

第一课时：不等式的概念与列不等式

（一）创设情境，感知不等（预计时间：8分钟）

**活动1：现实观察，初识“不等”**

课件展示一组图片与陈述：

1.天平左盘放一个质量为a克的物体，右盘放一个质量为b克的砝码，左盘下沉。

2.某日北京的最低气温是-6℃，最高气温是7℃。

3.小明身高h米，购票须知显示：身高超过1.2米需购全票。

4.一辆轿车在高速公路上匀速行驶，速度v千米/时，该路段限速120千米/时。

5.一个长方形的长为x米，宽为3米，其面积不小于15平方米。

教师引导学生针对每一情境，用语言描述其中存在的数量关系。

（学生可能回答：a比b重；温度在-6和7之间；h可能大于1.2；v不能超过120；长乘宽的结果大于或等于15。）

**活动2：数学表达，初建模型**

教师追问：我们如何将这些“不等”的语言描述，用简洁的数学符号表示出来呢？

引导学生回忆实数比较大小的符号：“>”（大于），“<”（小于），“≥”（大于或等于），“≤”（小于或等于），“≠”（不等于）。

请学生尝试用这些符号和数字、字母表示上述关系。

（学生尝试书写：1.a>b；2.-6≤t≤7(t表示气温)；3.h>1.2；4.v≤120；5.3x≥15。）

教师板书学生列出的式子，并强调“≤”、“≥”的含义（“或”字的意义，包含相等情况）。

（二）抽象概括，形成概念（预计时间：10分钟）

**问题1：**观察我们刚刚写出的这些式子：a>b，-6≤t≤7，h>1.2，v≤120，3x≥15。它们有什么共同特征？

引导学生与熟悉的等式（如2x=4）进行对比，发现共同点：都含有字母（未知数），都是表示数量关系的数学式子。不同点：等式用“=”连接，这些式子用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”连接。

**问题2：**你能给这类式子下一个定义吗？

组织学生小组讨论，尝试归纳。教师巡视指导。

师生共同归纳：**用不等号（“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”）表示不等关系的式子，叫做不等式。**

教师板书定义，并强调关键词：“不等号”、“不等关系”。指出不等式两边的代数式可以是整式、分式等，本章主要研究整式不等式。

**巩固辨识：**快速判断下列式子哪些是不等式？（口答）

①3>2；②x+1=5；③2x-1≤7；④4y≠0；⑤a²+1>0；⑥m-n；⑦2≤3。

（答案：①、③、④、⑤、⑦是不等式。辨析：②是等式；⑥是代数式，未表示关系。）

（三）深化理解，列不等式（预计时间：15分钟）

**例题精讲：**

例1：用不等式表示下列关系。

（1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与5的和小于7；

（4）x的2倍与1的差大于或等于3；（5）y的一半不大于-2；

（6）x与3的差是正数；（7）b的相反数是非负数。

教师引导学生逐题分析：首先明确谁与谁比较，不等关系是什么，选择合适的不等号，最后用代数式规范表达。

解：（1）a>0（2）a<0（3）a+5<7（4）2x-1≥3

（5）(1/2)y≤-2（6）x-3>0（7）-b≥0

关键点拨：第（7）题，“非负数”即“≥0”；注意“不大于”、“不小于”等词语的准确数学翻译。

**变式探究：**

变式1：改变例1（4）的条件为“x的2倍与1的差至多是3”，如何表示？(2x-1≤3)

变式2：改变例1（5）的条件为“y的一半是负数”，如何表示？((1/2)y<0)

引导学生体会“至多”、“至少”、“是正/负数”、“非正/负数”等多种语言表述与数学符号的对应关系。

**生活建模：**

例2：根据下列数量关系，列出不等式。

（1）在一次知识竞赛中，共有20道题。答对一题得10分，答错或不答一题扣5分。小明要想得分超过90分，他至少需要答对多少道题？（设答对x道）

（2）一个工程队原定在6天内完成300立方米的土方工程，第一天完成了60立方米，现在需要比原计划至少提前两天完成，则以后几天平均每天至少要完成多少立方米？（设以后几天平均每天完成y立方米）

教师引导学生分析：这是简单的实际应用建模。关键在于找出“超过”、“至少提前”所隐含的不等关系，并用代数式表示总得分、总工作量。

分析过程：（1）得分=10x-5(20-x)，关系：得分>90→10x-5(20-x)>90。

（2）已完成60，剩余(300-60)，原剩余天数(6-1)=5天，现要求提前2天完成，即剩余天数≤(5-2)=3天。关系：剩余工作量÷每天工作量≤剩余天数→(300-60)/y≤3。提醒学生注意y的取值范围（y>0）。

（四）课堂练习，巩固新知（预计时间：10分钟）

分层练习：

**A组（基础达标）：**

1.用不等式表示：

(1)a的3倍与2的和是正数。(3a+2>0)

(2)m的相反数不小于1。(-m≥1)

(3)x与y的平方和是非正数。(x²+y²≤0)

2.判断下列式子哪些是不等式？哪些是等式？哪些是代数式？

①3a-4=8；②x²-1；③7>4；④2x<3y；⑤2y+1≠0。

**B组（能力提升）：**

3.某水果店购进一批苹果，进价为每千克5元。如果希望销售利润率不低于20%，则售价每千克至少应定为多少元？（设售价为x元/千克，列出不等式）((x-5)/5≥0.2或x≥5*(1+0.2))

4.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买价格如下表：

原料维生素C（单位/千克）价格（元/千克）

甲6008

乙1004

现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式。（不考虑其他因素）

（分析：乙种原料为(10-x)千克。维生素C总量：600x+100(10-x)，关系：≥4200→600x+100(10-x)≥4200）

教师巡视，个别辅导，收集共性问题。完成后进行简要讲评。

（五）课堂小结与作业布置（预计时间：2分钟）

**小结：**引导学生回顾本节课主要内容。

1.什么是不等式？关键是什么？（用不等号连接）

2.如何从现实问题中列出不等式？（找不等关系，设未知数，用代数式表示相关量，用不等号连接）

**作业布置：**

1.（必做）教材习题9.1第1、2、3题。

2.（选做/实践）寻找生活中3个存在不等关系的实例，并用不等式表示出来。

3.（预习）思考：对于一个含有未知数的不等式，比如x>1，什么样的数能使其成立？这样的数有多少个？

第二课时：不等式的解与解集及其数轴表示

（一）温故引新，提出问题（预计时间：5分钟）

**复习回顾：**

1.什么叫不等式？请举一例。

2.方程2x=4的解是什么？（x=2）什么叫方程的解？（能使方程左右两边相等的未知数的值）

**提出问题：**

类比方程，对于不等式x>1，什么是它的“解”呢？什么样的值能使不等式x>1成立？

（二）探究新知，理解解与解集（预计时间：15分钟）

**活动1：代入验证，感知“解”**

教师：请同学们尝试将一些数值代入不等式x>1的左边，看看哪些值能使不等式成立。

学生独立尝试：取x=0，0>1？不成立。

取x=1，1>1？不成立。

取x=2，2>1？成立。

取x=3，3>1？成立。

取x=1.5，1.5>1？成立。

取x=-2，-2>1？不成立。

**归纳：**我们发现，像2，3，1.5，100……这些大于1的数，都能使不等式x>1成立。

**定义：**与方程类似，**能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。**

判断：x=2是不等式x>1的解吗？x=0.5呢？（是；不是）

**活动2：对比发现，理解“解集”**

**问题1：**不等式x>1的解有多少个？（无数个）

**问题2：**不等式2x<6的解呢？请大家尝试找出几个。（x=1,2,2.5,-1...所有小于3的数）也是无数个。

**问题3：**不等式x²+1<0有解吗？（在实数范围内，没有。）

**类比与抽象：**

教师引导学生对比方程与不等式：

方程（如2x=4）的解通常是一个或几个确定的数。

不等式（如x>1）的解通常是**无数个**数，这些数组成一个**范围**。

**定义：****一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。**求不等式解集的过程叫做解不等式。

（解集是解的集合，是一个范围。解是解集中的一个个具体的值。）

**举例：**不等式x>1的解集是“所有大于1的数”；不等式2x<6的解集是“所有小于3的数”。

（三）数形结合，表示解集（预计时间：18分钟）

**问题驱动：**如何清晰、直观地表示“所有大于1的数”这个解集呢？文字描述比较繁琐。

**引出工具：**数轴。数轴上的点与实数一一对应，可以直观表示数的范围。

**探究活动：如何在数轴上表示x>1的解集？**

步骤1：教师在黑板上画一条数轴，标出原点、正方向和单位长度。

步骤2：标出关键点1。

步骤3：提问：如何表示所有大于1的数？

学生可能想法：把1右边的点都描出来？（不可能描完）用箭头？

教师借助GeoGebra动态演示：在数轴上，点1右侧部分（不包括点1本身）的所有的点，对应的数都大于1。

**规范表示：**

1.**定界点：**找到解集的边界值1。

2.**定方向：**大于1，方向向右。

3.**定虚实：**因为x>1**不包括**1（1不能使不等式成立），所以边界点1用**空心圆圈**表示。

最终表示：在数轴上，把表示1的点画成空心圆圈，并向**右**画一条**射线**。

（板书或课件展示规范图形）

**类比探究：**

请学生在练习本上尝试表示下列不等式的解集，并思考规律：

（1）x<3（2）x≥-2（3）x≤0

学生画图，教师巡视。请学生代表板演。

师生共同总结数轴表示解集的“三步法”和“符号口诀”：

**三步法：**①找界点（解集的边界数值）；②定虚实（界点含于解集用**实心点**，不含于解集用**空心圈**）；③画方向（大于向右画，小于向左画）。

**符号口诀：**“大于向右画，小于向左画；有等（号）实心点，无等（号）空心圈。”

**深度辨析：**

1.不等式x≥-2与x>-2在数轴表示上有何区别？（前者-2处是实心点，后者是空心圈。）

2.不等式-1<x≤2如何在数轴上表示？（这是一个不等式组表示的公共解集，表示在-1和2之间，-1空心，2实心。教师可适当拓展，为后续不等式组铺垫。）

3.观察数轴上x>1和x≤0的解集表示，体会“无穷”的概念。

**例题精讲：**

例3：直接说出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来。

（1）x+3>6（2）2x≤8（3）x-2<0

解：（1）解集：x>3。数轴表示：（略，教师规范作图）

（2）解集：x≤4。数轴表示：（略）

（3）解集：x<2。数轴表示：（略）

**强调：**解不等式（目前是简单形式）的目标就是求出解集，并用最简形式（如x>a）表达。数轴表示是验证和解集的直观体现。

（四）综合应用，深化理解（预计时间：12分钟）

**练习巩固：**

1.下列数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？

-3，0，2.5，3，4.1，5，7。

（解：代入验证，3，4.1，5，7是解；-3，0，2.5不是。）

2.不等式x<4的正整数解是______。（1,2,3）这体现了从无限解集中寻找特殊子集。

3.在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x>-1(2)x≤2.5(3)x<0且x≥-3（尝试）

**生活链接：**

例4：某次数学测验共有20道选择题。评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题扣1分。小明要想得分在80分以上（不含80分），他至少要答对多少道题？

（1）设答对x道，则答错或不答（20-x）道。列出不等式。

（2）找出这个不等式的一些解，并结合实际意义进行解释。

（3）求出这个不等式的最小正整数解，并回答实际问题。

解：（1）5x-1*(20-x)>80→5x-20+x>80→6x>100→x>100/6≈16.67

（2）解集是x>16.67。解可以是17，17.5，18……但答题道数必须是正整数。

（3）最小正整数解是17。答：小明至少要答对17道题。

**关键点拨：**从解集到实际答案的转换，注意解的“实际意义”限制（正整数），体会数学模型的解答需要回归实际进行检验与取舍。

（五）总结升华，布置作业（预计时间：5分钟）

**系统总结：**

引导学生构建本课（及本章起始）知识结构图：

现实不等关系→数学表示（不等式）→不等式的解（值）→不等式的解集（范围）→解集的表示（语言、符号、数轴）。

强调核心思想：模型思想、类比思想、数形结合思想。

**作业布置：**

1.（必做）教材习题9.1第4、5、6题。第6题要求画数轴。

2.（探究/分层）已知不等式x<a的解集中最大的整数是3，你能确定a的取值范围吗？试在数轴上表示这个范围。（提示：3在解集中，4不在解集中，故3<a≤4？需要辨析：x<a且x最大整数为3，意味着x可以取3，但不能取4，所以3<a≤4？再思考x=3时，3<a成立吗？若a=4，x<4，最大整数是3，符合。若a=3.5，x<3.5，最大整数也是3。所以a的范围是？引导学生思考：x=3必须成立，所以3<a；x=4必须不成立，所以a≤4。故3<a≤4。此题为学有余力者准备，渗透对解集范围的深度理解。）

3.预习下一节“不等式的性质”，尝试思考不等式是否具有类似等式的性质。

八、板书设计（纲要）

第一课时板书

课题：9.1.1不等式及其解集（一）

一、不等式的定义

用不等号（>，<，≥，≤，≠）表示不等关系的式子。

二、列不等式

1.抓关键词语（大于、小于、不超过……）

2.设未知数

3.用代数式表示关系量

4.用适当不等号连接

例题区（例1、例2书写过程）

练习区（学生板演）

第二课时板书

课题：9.1.1不等式及其解集（二）

一、不等式的解

能使不等式成立的未知数的值。

二、不等式的解集

一个不等式所有解的集合。

求解集的过程叫解不等式。

三、解集在数轴上的表示

步骤：1.找界点；2.定虚实（有等实心，无等空心）；3.画方向（大右小左）。

图示：

x>a：———○————→

x≥a：———●———