圆锥曲线综合试题及答案

圆锥曲线综合试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到椭圆一个焦点的距离为$3$，则$P$到另一焦点的距离为（）A.$2$B.$3$C.$5$D.$7$2.双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的渐近线方程是（）A.$y=\pm\frac{2}{3}x$B.$y=\pm\frac{4}{9}x$C.$y=\pm\frac{3}{2}x$D.$y=\pm\frac{9}{4}x$3.抛物线$y=2x^{2}$的焦点坐标是（）A.$(\frac{1}{2},0)$B.$(0,\frac{1}{2})$C.$(\frac{1}{8},0)$D.$(0,\frac{1}{8})$4.椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦距为$2$，则$m$的值为（）A.$5$B.$3$C.$5$或$3$D.$8$5.已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的离心率为$2$，则其渐近线方程为（）A.$y=\pm\sqrt{3}x$B.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$C.$y=\pm\sqrt{2}x$D.$y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$6.抛物线$y^{2}=8x$上一点$P$到$y$轴的距离是$4$，则点$P$到该抛物线焦点的距离是（）A.$4$B.$6$C.$8$D.$12$7.设椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上，若$\trianglePF_1F_2$是直角三角形，则$\trianglePF_1F_2$的面积为（）A.$3$B.$3$或$\frac{3}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.$6$或$3$8.已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线方程为$y=\frac{4}{3}x$，则双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{4}$D.$\frac{3}{2}$9.若抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$上一点$M$到准线及对称轴的距离分别为$10$和$6$，则点$M$的横坐标为（）A.$9$B.$1$或$9$C.$10$D.$1$或$10$10.已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$作倾斜角为$30^{\circ}$的直线与椭圆有一个交点$P$，且$PF_2\perpx$轴，则此椭圆的离心率$e$为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于圆锥曲线的说法正确的有（）A.平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹是椭圆B.平面内到定点$F$和定直线$l$的距离之比为常数$e$（$0\lte\lt1$）的点的轨迹是椭圆C.平面内到一个定点$F$和一条定直线$l$的距离相等的点的轨迹是抛物线D.双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$2.已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$，则（）A.椭圆的长轴长为$10$B.椭圆的离心率$e=\frac{4}{5}$C.椭圆的焦点坐标为$(\pm4,0)$D.椭圆上的点到焦点距离的最大值为$9$3.对于抛物线$y^{2}=4x$，下列说法正确的有（）A.开口向右B.焦点坐标为$(1,0)$C.准线方程为$x=-1$D.对称轴为$x$轴4.已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$，则（）A.双曲线的实轴长为$4$B.双曲线的离心率$e=\frac{\sqrt{13}}{2}$C.双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{2}x$D.双曲线的焦点到渐近线的距离为$3$5.设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_2$的直线交椭圆于$A,B$两点，则（）A.$\triangleABF_1$的周长为$4a$B.若$|AB|$的最大值为$3a$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$C.若$\triangleABF_1$的面积最大值为$2ac$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.若$\triangleABF_1$是正三角形，则椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$6.已知抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$上一点$M(1,m)$到其焦点的距离为$5$，则（）A.$p=8$B.$m=\pm4$C.抛物线的准线方程为$x=-4$D.抛物线方程为$y^{2}=16x$7.已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$作直线$l$与双曲线的左支交于$A,B$两点，若$|AB|=5$，且双曲线的实轴长为$8$，则$\triangleABF_2$的周长可能为（）A.$26$B.$28$C.$30$D.$32$8.椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$的直线交椭圆于$A,B$两点，若$\triangleABF_2$的内切圆半径为$r$，$\triangleABF_2$的面积为$S$，则（）A.$S=\frac{1}{2}(|AB|+|AF_2|+|BF_2|)r$B.当$AB\perpx$轴时，$S$取得最大值C.若$S$的最大值为$2ac$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.若$S$的最大值为$2ac$，则椭圆的短半轴长为$c$9.对于抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$，过焦点$F$的直线交抛物线于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，则（）A.$y_1y_2=-p^{2}$B.$x_1x_2=\frac{p^{2}}{4}$C.$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$D.以$AB$为直径的圆与抛物线的准线相切10.已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的离心率为$e$，则（）A.若$e=2$，则渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$B.若$e=\sqrt{2}$，则双曲线为等轴双曲线C.若$e\in(1,2)$，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是$(-\sqrt{3},0)\cup(0,\sqrt{3})$D.若$e\in(1,\sqrt{2})$，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是$(-1,0)\cup(0,1)$三、判断题（每题2分，共20分）1.平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$|F_1F_2|$）的点的轨迹是双曲线。（）2.椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)$的离心率$e$越大，椭圆越扁。（）3.抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点到准线的距离是$p$。（）4.双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的渐近线与双曲线有且只有一个公共点。（）5.椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)$上任意一点到两焦点距离之和为$2a$。（）6.抛物线$x=2y^{2}$的开口向左。（）7.双曲线的离心率$e\gt1$。（）8.椭圆的离心率$e\in(0,1)$。（）9.平面内到定点$F$和定直线$l$的距离相等的点的轨迹一定是抛物线。（）10.若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$，则其离心率为$\frac{5}{4}$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的长轴长、短轴长、焦点坐标和离心率。2.求双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的渐近线方程和离心率。3.已知抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$过点$(2,4)$，求$p$的值和焦点坐标。4.已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$，求椭圆方程。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质的异同点。2.当直线与圆锥曲线相交时，如何求弦长？有哪些方法？3.如何根据双曲线的渐近线方程和离心率来确定双曲线的方程？4.抛物线的焦点弦有哪些重要性质？答案一、单项选择题1.D2.C3.D4.C5.A6.B7.C8.A9.B10.A二、多项选择题1.ABD2.ABC3.ABCD4.ABCD5.ABC6.ABCD7.ABC8.ACD9.ABCD10.ABD三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.×四、简答题1.长轴长$2a=8$，短轴长$2b=6$，$c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，焦点坐标$(\pm\sqrt{7},0)$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。2.渐近线方程$y=\pm\frac{4}{3}x$，$c=\sqrt{9+16}=5$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$。3.把点$(2,4)$代入$y^{2}=2px$得$16=4p$，$p=4$，焦点坐标$(2,0)$。4.由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$c^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=\frac{1}{4}a^{2}$，椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{4y^{2}}{a^{2}}=1$，把$(2,1)$代入得$a^{2}=8$，椭圆方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$。五、讨论题1.相同点：都可由平面截圆锥面得到。不同点：定义上，椭圆是两定点距离和为定值，双曲线是距离差绝对值为定值，抛物线是到定点与定直线距离相等。性质上，离心率范围不同，椭圆$e\in(0,1)$，双曲线$e\gt1$，抛物线$e=1$。2.可先联立直线与圆锥曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理。弦长公式$|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^{2}-4