湖南师大附中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案

湖南师大附中2020—2021学年度高二第二学期期中考试数学时量：30分钟满分：50分得分：_________________一、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（i是虚数单位），表示z的共辄复数，则A.1 B. C. D.2.某次招聘考试共有50个人参加，假设每个人获得通过的概率都为0.4，且各人通过与否相互独立.设这50人中获得通过的人数为，则A.12 B.20 C.108 D.2058二、填空题：本题共2个小题，每小题4分，共8分.3.党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有7名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这7名大学生按照3人、2人、2人分成了三个小组，分别去三个不同的学校参加工作，则不同的安排方案共有________________种.4.用表示m，n中的最小值，设函数，若函数为增函数，则实数的取值范围是______________.三、解答题：第5题10分，第6、7题各12分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5.在三棱台中，，，，，且平面.设P、Q、R分别为棱AC、FC、BC的中点.（1）证明：平面平面PQR；（2）求二面角的正弦值.6.已知点在椭圆上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为.（1）求C的方程；（2）设О为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求的取值范围.7.已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）当时，求函数的最值；（2）若当时，函数的图象与的图象有交点，求的最大值；（3）若的最小值为0，求的最大值.湖南师大附中2020—2021学年度高二第二学期期中考试数学参考答案一、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B【解析】对于，故选B2.C【解析】据题意，，则，，故选C.二、填空题：本题共2个小题，每小题4分，共8分.3.630【解析】根据先分组再分配的原则可得，7人按照3人，2人，2人分成三个小组并安排到3个不同的学校工作，有种方法.4.【解析】设函数.下面考察函数的符号：对函数求导得.当时，恒成立；当时，，从而.∴在上恒成立，故在上单调递减.又，，∴..且曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的，使.∴，；，；时，.∴，从而∴由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立.①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，，则，，当变化时，，变化情况列表如下：3-0+极小值∴，故“在上恒成立”只需，即.②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数.故实数的取值范围是.三、解答题：第5题10分，第6、7题各12分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5.【解析】（1）证明：如图，连接DP，则四边形DPCF是矩形.又.则，从而.由平面，且平面，得.由，且为三角形ABC的中位线，得.又，则平面ADFC.注意到平面ADFC，则.又，则平面PQR.从而平面平面PQR.（2）以P为原点，PA为工轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.故，，.设是平面BDE的法向量，则所以取，得.设是平面BDC的法向量，则所以取，得.设二面角的平面角为，则，又，所以.从而二面角的平面角的正弦值为.6.【解析】（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点A、B的坐标分别为，，则AB的中点在线段OM上，且，所以.又，，两式相减得，易知，，所以，即.设直线AB的方程为，代入并整理得.由，解得，所以.由根与系数的关系得，，则，又，所以的取值范围是.7.【解析】（1）当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值为，无最大值.（2）由题意得方程有正实数解，两边同取对数得：，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以的最大值为.（3）方法一：由题得恒成立，且能取等号，即且可取等号，令，两边同取对数得，所以恒成立，且等号成立，由（1）可知且当时等号成立，即时，且可取等号，由（2）结论可知，.方法二：由