2024届新教材二轮复习 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 学案

2024届新教材二轮复习一元线性回归模型及参数的最小二乘估计学案

•素养导引

1,了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.（数学抽象）

2.掌握最小二乘法，会求经验回归方程，能根

据经验回归方程进行预测.（数学建模.数学运算）

3.理解残差的概念,会利用残差进行回归分析.

教材认知

一、一元线性回归模型

一元线性回归模型的完整表达式为竺1其中y称为因变量或响

应变量/称为自变量或解释变量/力为模型的未知参数g称为截距参数，幺称为斜

率参数,e是丫与bx+a之间的随机误差.

【批注】

回归模型与函数模型的区别

函数模型的特点是对于自变量在定义域内的任何一个值，因变量都有唯一一个确

定的值与之对应.但在回归模型中,响应变量的取值不能完全由解释变量确定，还

要加上随机误差.

二、经验回归方程

⑴有关概念

止任称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式,其图形

称为经验回归直线求经验回归方程的方法叫做鼬二乘法，求得的前叫做b、a的

最小二乘估计.

⑵计算公式

n__n

E（Xi-x）（yi-y）gxtyi-nxy

£h一—0_n__________—_07i_________M2-一丫寸-A&V^・

*国9总哈代9

■思考

正相关、负相关与泊勺符号有何关系？

提示:y与x正相关的充要条件是5>o,y与R负相关的充要条件是左。.

［诊断］

L辨析记忆（正确的打“出错误的打“x”）

⑴经验回归直线方程中，由X的值得出的y值是准确值.（X）

提示:由经验回归方程得出的数据是预测值.

⑵经验回归直线方程一定过点（元歹）.（«）

⑶经验回归直线方程一定过样本中的某一个点.（x）

提示:经验回归直线可能不过样本中的任何一个点.

⑷选取一组数据中的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得到的经验回归

方程是同一个方程.（x）

提示曲不同数据得到的经验回归方程不一定相同.

2.（多选题）四名同学根据各自的样本数据研究变量—之间的相关关系，并求得经

验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定不正确的结论是（）

A.y与x负相关且，=2.347x6423

B.y与x负相关且P=-3.476x+5.648

C.y与x正相关且X5.437x+8.493

D.），与x正相关且?二-4.32644.578.

【解析】选AD.当两个变量正相关时，经验回归方程的系数於0,反之kO.

3.一位母亲记录了儿子3岁〜9岁的身高，由此建立的身高H单位:cm）与年龄X（单

位:岁）的回归模型为X7.19/73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下

列叙述正确的是（）

A身高一定是145.83cmB.身高在145.83cm以上

C身高在145.83cm以下D身高在145.83cm左右

【解析】选D.A-10时,P=7.19x10+73.93=145.83,但这是预测值，而不是精确值，所

以只能选D.

合作探究、.形成关键能力〃

学习任务一经验回归方程的求法及其应用（数学抽象）

【典例11某滑雪场在元旦假期开业,如表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人

数），（单位:百人）的数据：

天数代码x12345

滑雪人数），（百人）911142620

⑴根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程;

⑵经过测算，当一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请根据），

关于x的经验回归方程，预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.

【解析】（1）由题表中数据可得,

—1+2+3+44-5r

%二-------二3,

—9+11+14+26+20

,5，

5

所以Z孙-5石=9+22+42+104+100-5x3x16=37,

i=l

5

2xf-5%=1+4+9+16+25-5x9=10,

i=l

Zxiyi-5xy

所以於1~~7二*37

Ixf-Sx*2*10

i=l

3=歹-次=16-3.7x3=4.9,

故经验回归方程为X3.7x+4.9.

⑵因为一天中当滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利,

即3.7x+4.9>35时,可实现盈利,

解得工>矍。8.1,

O/

故根据经验回归方程预测，该滑雪场开业的第9天开始盈利.

【思维提升】

L经验回归方程的求法

（1）求元歹；

⑵根据》的公式，先分步求出各个因式的值，再计算出卞,

⑶求出£后写出经验回归方程.

2.经验回归方程的应用

（1）进行预测把经验回归方程看成一次函数，求函数值.

⑵判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是参数力.

【即学即练】某工厂统计2023年销售网点数（单位:个）与售卖出的产品件数（单位:

万件）的数据如表：

销售网点数x1719202123

售卖出的产品件数y2122252730

假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数为线性相关关系.

（1）求2023年售卖出的产品件数），（单位:万件）关于销售网点数M单位:个）的经验

回归方程；

⑵根据⑴中求出的经验回归方程估计2023年该工厂建立40个销售网点时售卖

出的产品件数.

【解析】（1）由题，可得±=619+2广21+23=20,

—21+22+25+27+30-_

y=------------------二25,

5

X孙二17x214-19x22+20x25+21x27+23x30=2532,

i=l

£xf=172+192+202+212+232=2020.

i=l

则力=2532-5x20xj5二三=L62=25-20x1.6-7.

2020-5X20220

故经验回归方程为5M.6x-7.

⑵将x=40代入经验回归方程,

则"64-7=57.

故2023年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.

学习任务二经验回归直线的性质（数学运算）

【典例2]（1）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

M单位:万元）对年销售量y（单位:千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费双单位:

万元）和年销售量），（单位:千件）的数据，其数据如表所示,且y关于x的经脸回归方

程为X加41,当此公司该种产品的年宣传费为16万元时，预测该产品的年销售量

为（）

x4681012

y525357090

A.131千件B.134千件

C.136千件D.138千件

【解析】选A.由题意可得：

—4+6+8+10+120

x=----------=8,

—5+25+35+70+90«

y=-----------二45,

则样本中心点为（8,45）,可得45=8^-41,

解得於总故

44

令卡16,则X竺xl6-41=131,

4

故当此公司该种产品的年宣传费为16万元时，预测该产品的年销售量为131千

件.

⑵已知两个变量x和y之间存在线性相关关系、某兴趣小组收集了一组及），的样

本数据如表所示:

x12345

y0.50.611.41.5

根据表中数据利用最小二乘法得到的经验回归方程是()

A.A0.2lx+0.53BJ=0.25x+0.21

00.28x4-0.16D.>0.31x+0.11

【解析】选C.因为石*(1+2+3+4+5)=3,

y=-x(0.5+0.6+1+1.4+1.5)=1,

5

所以经验回归直线必过点(3,1),

而A,B,D项中的经验回归直线不过点(3,1),C项中的经验回归直线过点(3,1).

【思维提升】

关于经验回归直线的性质

经验回归直线过样本中心点(元/利用这一性质，可以用来求经验回归方程，或者

解决与参数相关的问题.

【即学即练】

已知xj的对■应值如表所示：

x02468

y112/n+13阳+311

若y与x线性相关，且求得的经验回归方程为XL3X+0.6，则〃口()

A.OB.lC.2D.3

0+2+4+6+8.

【解析】选C.H=------------=4

5

—l+(m+l)+(2m+l)+(37n+3)+ll6m+17

"-----5-----二^

所以这组数据的样本中心点是（4,如斗

又点（五歹）在经验回归直线上,

所以安上1.3x4+06解得m=2.

学习任务三利用残差线性回归分析（数学运算）

【典例3]（1）现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的

经验回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4个残差图，根据残差图、拟合效

果最好的模型是（）

A.模型一B.模型二

C.模型三D.模型四

【解析】选D.当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中时，说明选用的模型比

较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比4个残差图,

可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

⑵某种产品的广告费支出/与销售额），（单位:万元）之间有如表关系：

x24568

y3（）40605（）7（）

y与x的经验回归方程为36.5/17.5,当广告费支出5万元时的残差为（）

A.-10B.-20C.20D.1O

【解析】选D.当广告费支出5万元时，观测值为60,预测值为X6.5x5+17.5=50,则

残差为60-50=10.

【思维提升】

通过图形刻画回归效果

若残差分布在以横轴为对称轴、宽度较小的带状区域内，则说明经验回归方程较

好地刻画了因变量与自变量的关系.

提醒:残差二观测值-预测值观测值是被减数预测值是