2024-2025学年高中数学第1章算法初步11算法的含义讲义苏教版必修3

1.1算法的含义

学习目标核心素养

1.通过实例体会算法的思想，了解算法的含

义.(难点)1.通过书写算法提升学生的逻辑

2.能按步骤用自然语言写出简洁问题的算法过推理素养.

程.(重点、难点)2.借助解决实际问题的算法练习，

3.了解算法的主要特点(有限性和确定性).(难培育学生的数学建模素养.

点、易混点)

自主预习。fig新Ml

新知嬲耳

1.算法的概念

一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为英法.

广义地说，为解决某•问题而实行的方法和步骤，我们都可以称之为算法，不要认为只

有“计算”才有算法.例如：广播操图解是广播操的算法，菜诺是做菜的算法，歌谱是一首

歌曲的算法，空调说明书是空调运用的算法.

我们过去学习的很多数学公式都是算法，力口、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法

则也是算法.

2.算法的特征

(1)有限性：一个凫法的步骤序列是有限的，必需在有限操;乍之后停止,不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应当是酶的并且能有效地执行且得到蝇的结果，而不应

当模棱两可.

(3)依次性与正确性：算法从初始步骤起先，分为若干明确的步骤，每•个步骤只能有-

个确定的后续步骤,前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一

步都精确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性：求解某一问题的算法不肯定是唯二的，对于同一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多详细的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要

经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

3.算法的设计要求

(1)幽定住和血里这是算法的两个重要特征，我们在写算法时，肯定要留怠满怠这旺L特

征.

(2)虽然解决一个问题的算法不是唯一的，但不同的算法有繁有简，因此在设计•个算法

时，应本着简捷便利的原则进行.

(3)要保证算法正确，且能够被计算机执行.

初试身手〒二

1.下面的语句正确的是（）

①算法的每•步操作必需是明确的，不能有歧义；

②一个算法可以无止境地运算下去；

③完成一件事情的算法有且只有一种；

④设计算法要本着简洁、便利的原则.

A.©@B.③④

C.CD@D.②④

C[算法的步骤必需明确，其中不能含有模糊不清、让人误会的叙述，所以①正确；一

个算法必需在执行有限步之后结束，且每一步都应在有限时间内完成，所以②错误：由于求

解某一类问题的算法不是唯一的，所以③错误；算法设计要尽量简洁，步骤应尽量少，所以

④正确.]

2.下列语句是算法的有______.（填序号）

①解方.程2*—6=0的过程是移项和系数化为1；

②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机：

③解方程2f+x-l=0：

④利用公式S=丸产计算半径为3的圆的面积就是计算nX32.

①②④[依据和法的含义知①②④都是和法，而③只是一个纯数学问题，没有确定的解

决问题的步骤，不属于算法.]

3.下面是求1+11+21+31+41的值的一个算法，请将其补充完整.

第一步计算1+11，得12；

其次步将第一步中的运算结果12与21相加，得到33：

第三步将其次步中的运算结果33与31相加，得到64；

第四步_______________________________,即为最终结果.

将第三步中的运算结果64与41相加，得到105[本题是一个连续相加的问题，可以按

逐一相加的方法解决.]

4.有人对命题“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：

第一步检验6=3+3.

其次步检验8=3+5.

第三步检验10=5+5.

•••

利用计算机始终进行下去！

请问：利用这种步骤________（填“能”或“不能”）证明猜想的正确性，这_________（填

“是”或“不是”）算法.

不能不足[确定性和有限性是任何算法都必需满意的事要特点，若不满意则不能称之

为算法.]

合作探究。提素养

..........-.蟆0.......................................................................................................................................

幺型1算法的概念和特征

【例1】下面语句是算法的有________个.EI3喻回W

①从南京到台湾旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；

②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数^巩

化为1;

③方程/一1=0有两个实根；

④求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再求3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终

结果为15.

3[因为算法是为解决某类问题而设计的一系列可操作可计算的步骤，通过这些步骤能

够有效地解决问题，因此①②④都是算法，③不是算法.]

现件方法

推断一个语句是不是和法，依据是算法的概念，它是解决一类问题的详细步骤，未给出

步骤的解决方法，不能够称之为算法，即依据所给出的步骤，能将问题解决，则这些步骤就

可以称为一个党法.

。跟踪训练

1.下列对算法的描述正确的个数是________.

①•个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的；

②算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是模糊的、模棱两可的；

③算法中的每一个步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果；

④一个问题只能设计出一种算法.

3[由和法的有限性知①正确：由算法的确定性知②正确；由算法的可输出性知③正确;

对于同一个问题可以有不同的算法，因此④不正确.故正确的个数为3.]

2.闻名数学家华罗庚提出的‘'烧水泡茶”的两个算法如下.

算法1：第一步烧水：

其次步水烧开后，洗刷茶具：

第三步沏条.

算法2：第一步烧水：

其次步在烧水过程中，洗刷茶具；

第三步水烧开后沏茶.

其中更高效的郛法是________,缘由是_________.

算法2它更节约时间［算法不同，解决问题的繁简程度不同，我们探讨算法，就是要

找出解决问题的最好算法.在算法1中三步所用的时间为烧水、洗茶具和沏茶时间的和，而

在算法2中所用的时间为烧水和沏茶时间的和•故算法2更高效.］

乂型2算法的设计

【例2】给出求1+3+5+7+9+11+13的值的一个算法.

思路点拨：木题是一个连续相加的问题，加数的个数不多，可以按逐一相加的方法解决.留

意到加数依次排列可构成一个等差数列，故也可运用公式1+3+5+…+(2〃-1)=〃2解决，

当加数较多时，如计算1+3+5+…+99,逐个相加的方法明显是不行取的，除了运用公式1

+3+5+…+(2〃-1)=〃?解决该问题之外，还有没有别的方法？为此，我们还可以引入变量

和循环的方法解决.

［解］算法1：

第一步计算1+3,得到4：

其次步将第一步中的运算结果4与5相加，得到9；

第三步将其次步中的运算结果9与7相加，得到16：

第四步将第三步中的运算结果16与9相加，得到25；

第五步将第四步中的运算结果25与11相加，得到36：

第六步将第五步中的运算结果36与13相加，得到49.

算法2：

第一步取〃=7；

其次步计算济

第三步输出运算结果.

算法3：

第一步使夕=1:

其次步使/=3；

第二步使,十，的和仍放在变量，中，可表示为，="+/；

第四步使/的值加2,即j=f+2；

第五步若/W13,返回第三步，重新执行第三步及之后的第四、第五步，否则，算法结

束，最终得到的夕的值就是1+3+5+7+9+11+13的值.

［母题探究］

1.写出求］十3十5十7十9十】1十13十15十17十19的一个算法.

［解］

第一步1ft77=10;

其次步计算济

第三步输出运算结果.

2.写出求2+4+6+8+-+200的一个算法.

思路点拨：运用公式

2+4+6+8+…+2〃=〃(/?+1).

［解］

第一步取〃=10()；

其次步计算〃(〃+1)：

第三步输出运和结果.

现行方法

1.算法的设计目的

设计算法的目的事实上是寻求•类问题的算法，它可以通过计算机来完成.设计算法的

关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”精确地描述出来,

从而达到计算机执行的目的.

2.算法的设计要求

(1)写出的笄法必需能解决一类问题：

(2)要使算法尽量简洁、步骤尽量少：

(3)要保证算法正确，口计凫机能够执行.

3.设计算法的步骤

(1)分析问题，找寻可以解决问题的一般的数学方法；

(2)将问题的各种状况加以分类；

(3)将每一类状况划分为若干步骤：

(4)用简练的语言、数学符号和各种参数将各个步骤表达出来；

(5)依据步骤的依次将步骤列出来.

提示：(1)算法从初始步骤起先，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，从而组成一个

步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解.

(2)一个详细问题的算法不唯一.

(3)不同的算法有简繁、优劣之分，但每一种算法都会使问题有一个最终的结果，对于一

个详细的问题，我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算法，即最优算法.

9型3算法在实际生活中的应用

［例3］一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假艰元，你能用天平(不用袪码)

将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法.

思路点拨：可以两枚两枚地称，直到称出假银元为止，也可以先分组再称.

［解］法一：

第一步任取2枚银元分别放在天平的两边，假如天平左右不平衡，则轻的一枚就是假

银元，假如天平平衡，则进行其次步：

其次步取下右边的银元，放在•边，然后把剩余的7枚艰元依次放在右边进行称量，

直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元.

法二：

第一步把银元分成3组，每组3枚：

其次步先将两姐分别放在天平的两边，假如天平不平衡，那么假银元就在轻的那一姐

里，假如天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里：

第三步取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，假如天平左右不

平衡，则轻的那•枚就是假银元，假如天平两边平衡，则未称的那•枚就是假银元.

现行方法

算法在生活中的应用主要包括一些非数值型的问题.在设计算法时，应当先建立过程模

型，也就是找到解决问题的方案，再把它细化为一步接一步的步骤，从而设计出算法.

@黑蹋训密

3.有蓝、黑两个墨水瓶，现把蓝墨水错装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中,

要求将两个墨水瓶中的墨水互换，请设计一个算法.

L解J由十两个墨水瓶中的墨水小能干脆交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶来

解决问题.

算法如下：

第一步取一个空的墨水抗，设其为白色：

其次步将黑墨水瓶中的蓝果水倒入白瓶中;

第三步将监翠水瓶中的黑墨水倒入黑墨水地中；

第四步将白瓶中的蓝墨水倒入蓝墨水瓶中：

第五步交换结束.

4.两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩,

他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河？请写出你设计的渡河的算法.

［解］因为每次只能渡一个大人或两个小孩，而船还要来回渡其他人，所以只能让两个

小孩先渡河，然后回来一个，始终到四人全过河.

第一步两个小孩同船渡过河夫：

其次步一个小孩划船回来：

第三步一个大人独自划船渡过河去；

第四步对岸的小孩划船回来：

第五步两个小孩再同船渡过河去；

第六步一个小孩划船回来：

第七步余下的另一个大人独自划船渡过河去；

第八步对岸的小孩划船回来：

第九步两个小孩再同船渡过河去.

课堂小结

1.本节课的重点是理解免法的概念，体会克法的思想，难点是驾驭简洁问题克法的表述.

2.本节课要重点驾驭的规律方法

(1)驾驭算法的特征：

(2)驾驭设计算法的•般步骤：

(3)会设计实际问题的算法.

3.在解决某类数学问题时，逐一列举、验证计算量较大，不易操作，若依据题意把其分

成几个组，先探讨组与组之间的关系，再探讨小组内的关系，可.以削减操作步骤，使问题易

于解决，这就是分组探讨思想.

当堂达标。固亶基

1.下列关于克法的说法，正确的个数为()

①求解某一类问题的算法是唯一的：②算法必需在有限步操作之后停止：③算法的每一

步操作必需是明