第1章 三角形的证明（学生版）（中等类型）-北师大版(2024)八下

思维导图第一章三角形的证明思维导图【类型覆盖】类型一、等角对等边证等腰三角形【解惑】如图，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．(1)求证：；(2)若，的周长是，求的周长．【融会贯通】1．如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：．2．如图，已知，D是直线AB上的点，．过点A作，并截取，连接．(1)判断的形状并证明；(2)若，求AB的长．3．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，，求的度数．类型二、三线合一证明【解惑】如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．求证：．【融会贯通】1．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长．2．已知：如图，，，是的中点．求证：．3．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于．(1)求证：；(2)若，求．类型三、等边三角形的判定【解惑】如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证：(1)；(2)是等边三角形．【融会贯通】1．如图，在中，，CD是AB边上的高．(1)若点是AB的中点，求证：是等边三角形；(2)若，，求的长．2．如图，在中，BD是中线，使，若，．(1)证明：是等边三角形．(2)猜想：与的大小关系，并证明．3．如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由．类型四、锐角互余的三角形是直角三角形【解惑】如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）．(1)若点在边上，且，求证：；(2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度．【融会贯通】1．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由．2．如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)若，求度数；(2)求证：；(3)试判断与的位置关系．3．如图，在中，D为上一点，，．(1)判断的形状；(2)判断是否与垂直．类型五、用HL证全等【解惑】如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：．【融会贯通】1．如图，在中，平分，于，于，且，．(1)求证：；(2)求证：．2．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．(1)求证：；(2)求的度数．3．如图，，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．类型六、线段垂直平分线的判定【解惑】如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；(2)已知，求的度数．【融会贯通】1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点．(1)求证：点在线段的垂直平分线上．(2)已知，求的度数．2．在平面直角坐标系中，点Aa,0，，，点B在线段上，连接，点在上，连接，．(1)求证：垂直平分；(2)若，求长．（用含a的式子表示）3．如图，，与相交于点，．(1)求证：垂直平分；(2)过点作交的延长线于，如果；①求证：是等边三角形；②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．类型七、角平分线的判定【解惑】如图，与均为等腰直角三角形，连接，CE，相交于点．(1)求证：；(2)求的大小．(3)连接，求证：平分．【融会贯通】1．如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)求证：平分．2．如图，在中，，，为AB延长线上一点，点在上，且．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)若，，求证：平分．3．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且．(1)求证：点D在的平分线上；(2)连接，若，，求的值．类型八、勾股定理的逆定理的实际应用【解惑】如图，有一块三角形菜园，其中，，．(1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由；(2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少．【融会贯通】1．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；(2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积．2．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，．(1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由；(2)求原来的路线的长．3．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．(1)求四边形的面积；(2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？类型九、尺规作图——等腰三角形、垂线【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）．(1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形；(2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形；(3)在图③中以为边画一个面积为4的．【融会贯通】1．如图，在中，，E为边的中点．(1)尺规作图：以为边在外部作等边，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断的形状并给予证明．2．学习了等腰三角形“三线合一”性质之后，爱动脑的小赵同学思考了一个问题：如果三角形一个角的平分线与其对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形吗？于是，他进行了下面的研究．请根据小赵同学的研究思路和研究过程，完成作图并填空．(1)请用直尺和圆规作边上的高．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)已知，边上的高平分，请判断是不是等腰三角形，并说明理由．解：是等腰三角形，理由如下：是的平分线，________．是边上的高，．又________．．________．是等腰三角形．（依据是________）3．如图，在等腰直角中，．(1)实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积．类型十、尺规作图——线段的垂直平分线、角平分线【解惑】如图，为锐角三角形，请用尺规作图法，作的中线．（保留作图痕迹，不写作法）【融会贯通】1．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接．∵垂直平分，∴________（________）（填推理依据）．∴．∵，∴，．∴________．∴．∴．∴点为线段的中点．2．如图，随着经济的发展，某地要在由两条公路和一条铁路围成的平地上修建一个货运仓储站．要使这个仓储站到各条公路铁路的距离相等，应在何处修建？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出简要说明）3．如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹）【一览众山小】1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（

）A．是的平分线 B．C．点D在的垂直平分线上 D．2．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，3．如图，在中，的平分线交于点D，于点E，F为上一点，若则的面积为（

）A． B．3 C． D．54．在△ABC中，，，则．5．在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，．当时，的长为．6．如图所示，，的垂直平分线交于D，则的度数是．7．如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线8．尺规作图，保留作图痕迹，不用写做法．已知，如图，点A在的一条边上，点B在的另一条边上，求作：

(1)的角平分线；(2)线段的垂直平分线，C为垂足，D为与的交点；(3)过A点作垂直于的直线，垂足为E．9．如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，．(1)______，______；(2)判断和的数量关系，并说明理由；(3)求证：；(4)如图，若点是射线上任意一点，点在射线上