2025-2026学年下学期辽宁大连高三数学3月第二次教学质量调研试卷（含答案）

2025-2026学年下学期高三第二次教学质量调研数学试卷满分150分时间120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前:先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。3.非选择题,用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域,写在非答题区域无效。4.画图清晰，并用2B铅笔加深。第I卷(共58分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求1.集合A={x∣A.{2,3}B.{2.”a>a”是“a>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知复数z满足z+z=2，且z−A.2B.3C.2D.54.若关于x的方程x2−ax+4=0有两相异实根x1,x2A.−∞,−4∪4,+∞B.05.已知m+n=log44mA.1B.1−log436.抛物线y=−18x2的准线与y轴交于点A,过A作直线交抛物线于点M、N,点B在抛物线对称轴上,且BMA.3,+∞B.4,+∞C.57.已知点Ax,y在直线y=2x+1上，点Bx1,y1在直线y=A.1B.2C.3D.与x0、y08.已知函数fx=xex,gx=ex1A.1B.1e2二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列命题成立的是()A.已知ξ∼N0,1,若B.若一组样本数据xi,yii=1,2,3C.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,求得线性回归方程为z=0.3x+D.对分类变量X与Y的独立性检验的统计量χ2来说,χ2值越大,判断“X与Y10.已知数列an满足an+an+1=4n,n∈N∗A.an+2−C.S2n=4n2D.若a1=2，当n为奇数时，满足11.随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为500 m，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB,OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与AB⏜相切于点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH(垂足均不与A.∠FOD的范围是B.新增步道CD的长度可以为2000mC.新增步道FG、FH长度之和不可能为D.当点F为AB⏜的中点时,草坪的面积为第II卷(共92分)三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上12.已知在x+2xn的展开式中,第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等,则x13.现从甲、乙、丙等6人中,先随机抽取1人唱歌,再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有_____种.14.已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，三棱锥P−ABD为正四面体，则三棱锥P−ABD四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题13分)如图，在等腰RtΔABC中，CA=CB=1，∠ACB=90∘，D为边AB上的一动点，连接CD，作BE⊥CD,垂足为E(1)若∠ACD=30∘，求(2)求S△ACD16.(本小题15分)欲从A,B两个频道中随机选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试,每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为23,B约定1:任选一个频道进行播放,若播放成功,便成为优选频道;约定2:从A频道开始播放,先成功播放的频道为优选频道,当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败,结束测试.(1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率；(2)按照约定2，(i)两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率；(ii)测试结束时,求B频道播放次数X的分布列与数学期望.17.(本小题15分)如图所示,在四棱锥P−ABCD中,平面PAC⊥平面BC=(1)若点M是棱AP上一点，且BM∥平面PCD，求AMAP(2)若∠ACP=60∘,PC=2，平面PCD∩平面PAB=18.(本小题17分)椭圆x2a2+y(1)若一条直径的斜率为13(2)若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明:四边形ACBD19.(本小题17分)定义:若存在x1,x2x1≠x2,使得曲线y=fx在点x1,fx1和点x2,fx(1)若函数fx在区间0,+∞上单调递增，求实数a(2)证明:当x>0时，曲线y=f(3)若曲线y=fx有且只有两条“自公切线”，求实数2025-2026学年下学期高三第二次教学质量调研数学试卷参考答案一.单选题:1-8题:BCDCBDBA二.多选题:9-11题:ABACDBCD三.填空题:12.6013.24 14四.解答题:15.【解】(1)在VADC中，由正弦定理DAsin(2)不妨设∠ACD=α，则∠CBE=α，∠ADC=在△ACD中,由正弦定理得CDsin则S△ACD由于2α∈∴S△16.【解】(1)设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件M，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件N，“任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件C，.1分所以PM=在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为PM∣(2)(i)播放1次A频道成为优选频道的概率为23播放3次A频道成为优选频道的概率为13所以A频道成为优选频道的概率为23+(ii)X的所有可能取值为0,1,2,3,.9分PPX=2=13X0123P2551.13分所以数学期望为EX=17.【解】(1)因为AB=AD所以AC2=AB2+BC2=AD2取AD的中点N,连接BN,MN,所以BN⊥AD.又AD⊥又因为BN⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以BNP平面又因为BM□平面PCD,BM∩BN=B,BM所以平面BMN□平面PCD..5因为平面PAD∩平面PCD=PD,平面PAD∩所以MN□PD,所以M是棱AP的中点,即AM(2)如图，延长DC，AB交于点E，连接PE，则直线PE为直线l，.8分过点P作PO⊥AC,交AC于点O,连接因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面PO⊂平面PAC,所以PO⊥平面ABCD又∠ACP=60∘,PC=2,所以PO=3,AO=3,CO=1.又△APC≅△ABC,所以BO⊥AC,且建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz则A3PE设平面PAD的一个法向量为n=则n令x=1,得所以n=1设直线PE与平面PAD所成的角为θ,则sinθ即直线l与平面PAD所成的角的正弦值为427..1518.【解】(1)设斜率为13的与直径平行的弦的端点坐标分别为x1弦中点为x,y,则相减得:x1由于x=x1+x22,y=y1+y(2)椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1,四边形ACBD显然为平行四边形,设与AB平行的弦的端点坐标分别为x1则k1=y1−y故k1k由y=k1xx24+y2=1同理C,D的坐标分别为21+4k22,2k21+4k22,−21所以,d=2S=dAB=19.【解】(1)当x>0时,fx=ex−ax2,f′x=e设函数gx=exx当x∈0,1时,当x∈1,+∞时,所以gx≥g1=e,所以2a(2)当x>0时，f假设y=fx在点x1,fx1和点则l的斜率k=即k=e同时k=故ex1−ex2不妨设x1<x2则F′t=2etet+12−12=−et−122et+12≤0(3)因为f−x=fx又由(2)可得，当x>0时，曲线y=fx所以当x<0时,曲线y=fx假设y=fx在点x1,fx1和点则x1和x2只可能一正一负,不妨设则l的斜率k即k=−同时k=所以−e所以−e−x1+ex2=0或x①当x1+x2=0时，因为k所以ex2−2ax2=0当2a≤1时，G′x>0，Gx在所以函数Gx没有零点,此时没有满足题意的x2,即y=fx当2a>1时,x∈0,ln2ax∈ln2a,+∞时,所以Gx因为G0=1>0,且x当1<2a<e,即12<a<e2时,Gxmin>0,Gx没有零点,即y=fx没有“自公切线”;当2a=e时,即a=e2时,Gxmin=0.14分②当x2−x1=2时，x2=x