全国二等奖-中国人口增长预测

中国人口增长预测叶玉辉（信息与计算科学）郑军将（信息安全）郑杨（信息安全）全国二等奖摘要这是一个人口的分析与预测问题。首先，本文对题目所给的和查阅的一些关于中国人口的数据进行了研究与分析。并分别从总人口持续增长、老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等不同的特点对中国人口现状进行分析。其次，本文对全国总人口以及人口的自然增长率和生育率进行了预测。在预测全国总人口数时，本文分别采用了灰色系统GM(1,1)模型和时间序列(AR和ARIMA)模型对它进行预测。用GM(1,1)模型，我们预测得到2002年人口为12.876亿人口，百分误差为0.2453%，同时也预测了2050年人口为18.7956亿，本文再对灰色系统GM(1,1)模型进行了改进，利用动态思路代替原来静态的思路，建立了灰色递补动态预测模型，得到了更好的预测结果。改进后对2002年总人口预测的百分误差降为0.2281%。考虑到生育率所能查阅数据不是很多，我们借用了上述的灰色系统GM(1,1)模型的改进模型，对生育率进行了预测最后发现用GM(1,1)模型预测的生育率趋于定值，市，镇，乡分别为28.2151，35.7648，43.0789。最后我们通过对预测值的误差检验，发现这些预测的效果都是不错的。在运用时间序列(AR)模型时我们发现该模型的预测结果很理想，他能将百分误差降到0.000362%，2050年的人口为17.7349亿，在预测人口的自然增长率时，我们运用时间序列(ARIMA)模型把2000年的数据预测到7.52与实际值7.58相差无几。但是他的运用必须要有很多数据才能很好的预测结果。但以上两种方法对长期i预测的误差率都比较高，因为没有揭示出人口变动的本质规律。基于此，我们提出系统的人口预测模型然后，综合考虑各个人口因素，我们建立了以年龄交替的系统的人口预测模型。在先不考虑人口的迁移与死亡率变化的情况下，我们建立了莱斯特种群模型。将其应用于对人口的短期预测，但是，它对长期的预测有局限性。从而本文对莱斯特种群模型进行了改进，得到宋健人口预测的离散模型。应用它很好的预测了2005年的数据，其结果可见正文图形。最后讨论了如何提高参数预测精度的方法。其中宋健模型中的死亡率参数，本文采用了以人均GNP为自变量的曲线回归方程进行预测并给出了程序。本文模型的优点，首先此模型运用的预测方法多样。针对问题的不同特点，选用合适的预测模型，使预测的效果更好。其次，思路清晰，具有层次感。模型先对中国人口现状进行分析，再对总人口和几个人口指标进行预测，最后建立了系统的人口预测模型，层层递进。关键词：灰色系统GM(1,1)模型，时间序列(AR)模型，(ARIMA)模型，莱斯特种群模型，曲线回归方程一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二、问题分析人口预测的方法很多，主要常见的有自回归法、指数函数法、幂函数法、多元回归模型法、灰色系统GM(1,1)法、时间序列法和神经网络法等等。这些方法各有千秋，也有各自的缺点。前三种方法都要求人口数据具有明显的规律性；多元回归模型涉及较多的影响因素，而如何对这些因素进行定量分析是个难点；后三种方法能够适应不同类型的人口数据，但是时间序列法和神经网络法需要大量的历史数据，这是一个局限。所以我们对全国总人口的预测主要采用灰色系统GM(1,1)法。另外，人口发展过程的数学模型有两种，一种是连续模型，即年龄r和时间t都是连续变化的；另一种是离散模型，它是一差分方程组。连续模型便于理论分析，而离散模型则适合于计算机模拟。在此模型中我们采用了莱斯利种群模型及其改进的宋健人口模型。下面是本模型的一个简易结构图：中国人口增长预测问中国人口增长预测问题人口现状分析总人口预测自然增长率预测莱斯利种群模型，宋健人口模型人口短期预测人口中长期预测模型修正图2-1模型结构图为了我们对数据处理的方便以及使各个量能与我们所找的数据能够更好的对应起来，我们对本问所给数据先进行了预处理。对三组数据（市，镇，乡）归并为两类，即城镇与乡，处理后的各个量所对应的值如附录一所示。在对数据进行分析处理时，我们还发现了一个问题，我们对所给的2003年各年龄段的妇女生育率表示怀疑，对其任选一组作图如下所示图2-2观察上图我们可以看到2003年的数据与其他数据相差近10个数量级，为了核对岁给数据是否真确，我们查阅了2006年的年鉴（年鉴数据见/tjsj/ndsj/2006/indexch.htm），发现是所给数据有误，故我们将其纠正。三、模型假设假设1、在预测全国总人口时，忽略人口跨国迁移差对全国总人口的影响；假设2、人口抽样调查的结果能够反映全国人口水平；假设3、人口城镇化水平年均增长1个百分点。四、符号说明灰色预测中初始元素的数列；的累加生成数列；数列的均值数列；在灰色预测中为发展系统；在灰色预测中为灰作用量；绝对误差；相对误差；r灰色预测中的关联度；数列的平均值；s1数列的均方差；残差数列的平均值；s2残差数列的均方差；表示t年代满i周岁但不到i+1周岁的人口总数；表示t年代i岁按龄死亡率；表示t到t+1这一年内迁入或迁出的年龄满i周岁但不足i+1周岁的人口数；是婴儿绝对出生率；为时间内出生的婴儿数，则；为妇女平均比生育率或平均生育率；是性别比例函数；是妇女生育模式；婴儿死亡率；称为从t到t+1年代的人口状态转移矩阵；称为生育矩阵；叫作人口迁移向量五、模型的建立与求解5．1我国人口现状分析5.1.1人口总量持续增长我国是一个人口大国，根据第五次全国人口普查公报，截至2000年11月1日全国总人口为129533万人。国家统计局测算数据表明，2005年1月6日，中国人口总数达到13亿（不包括香港、澳门特别行政区和台湾省），约占世界总人口的21％。虽然由于实行计划生育，我国13亿人口日的到来推迟了4年，而且已经进入了低生育率国家行列。但由于庞大的人口数量的增长惯性作用，我国的人口总量还在持续地增长。通过对历年全国人口总数的分析，很明显的看出总人口数的持续增长（见图5-1）。图5-1全国总人口变化庞大的人口数量对中国经济社会发展产生多方面影响，在给经济社会的发展提供了丰富的劳动力资源的同时，也给经济发展、社会进步、资源利用、环境保护等诸多方面带来沉重的压力。因此预测并控制人口数量是目前我国面临的一项艰巨的任务。5.1.2人口老龄化问题从人口年龄结构看，在2004年末全国总人口129988万人中，0-14岁人口为27947万人，占总人口的21.50％，15-64岁人口为92184万人，占70.92％；65岁及以上人口为9857万人，占7.58％（如图5-3）。图5-2上述数据表明：第一，当前中国人口社会抚养比较低，劳动年龄人口比重大，劳动力资源丰富，为经济快速发展提供了强大的动力。未来一二十年是中国经济社会发展的人口红利期。但庞大的劳动年龄人口也给就业带来了巨大的压力，目前，中国城镇每年新增劳动力近千万，农村剩余劳动力2亿多。并且，劳动年龄人口将保持增长态势。这对就业、产业结构调整和社会发展事业提出了更高要求。第二，2000年，65岁以上老年人口比重达7％以上，根据国际标准，中国已经进入老龄社会。中国老龄化呈现速度快、规模大等特点，对未来社会抚养比、储蓄率、消费结构及社会保障等产生重大影响。人口性别比例从人口性别结构看，2004年末男性人口66976万人，占51.5％，女性人口63012万人，占48.5％，总人口性别比为106左右。从20世纪80年代开始，出生人口性别比持续升高，第五次全国人口普查时为117，2003年为119，少数省份高达130。通过对2005年人口抽样调查结果的分析，可以很容易看出人口性别比持续上升的特点（见图5-3）。尤其是在0～20岁之间的性别比比较大，也就是在1985～2005年期间，我国人口性别比在持续地上升。这种现象尤其在乡村最为明显，镇次之，城市最后。例如：2005年0岁人口的男性女性比例差分别为城市0.06各分点，镇0.08个千分点，乡村0.11各千分点。（a）(b)(c)（图5-3各年龄男性女性比例曲线）人口性别比持续上升将带来很多严重的问题，比如说婚姻挤压问题，到时很多人将面临结婚难，所导致的社会秩序混乱将成为影响社会稳定的严重隐患。所以对人口性别比的预测与控制迫在眉睫。5.1.4人口的城镇化从城乡分布来看，2004年末全国城镇人口达到54283万人，占总人口的41.76％，乡村人口为75705万人，占58.24％。

近年来，由于积极推进人口城镇化和产业结构升级，实施城市带动农村、工业反哺农业的发展战略，人口城镇化率以每年超过1个百分点的速度增长。2004年，中国流动人口已经超过1.4亿。从1989～2005年的城乡人口比重的变化，我们可以看出我国人口城市化的速度很快（见图5-4）。图5-4城乡人口比重曲线这种快速的城市化从某种意义上讲是好的。它使大量农村劳动力进城务工，为城市发展提供了充裕的劳动力，同时也改善了农村的经济状况。但是，现今流动人口管理与服务体系却严重滞后。庞大的流动迁移人口对城市基础设施和公共服务构成巨大压力。另外，流动人口就业、子女受教育、医疗卫生、社会保障以及计划生育等方面的权利得不到有效保障，严重制约着人口的有序流动和合理分布，统筹城乡、区域协调发展面临困难。面对我国人口中存在的这么多问题，我国必须采取措施，不断完善人口政策与方案。在稳定低生育水平的同时，提高人口素质、改善人口结构、引导人口合理分布，促进人口与经济社会资源环境的协调发展和可持续发展。而在制定政策方案时，我们必须对未来人口的发展有一定的认知与了解。所以下面我们将根据上述的特点对我国人口增长进行分析与预测。5.2总人口和指标预测模型5.2.1对全国总人口的预测在此我们考虑到已知数据量太少，所以我们首先建立了灰色系统模型对全国总人口数进行预测。接着我们通过查找到更多的数据建立了人口自适应回归预测模型，对全国总人口进行预测。然后对两个模型的预测效果进行检验并做比较。模型一：灰色系统模型一、模型具体描述如下：设为个元素的数列，的累加(AGO)生成数列为，其中。定义的灰导数为令为数列的均值（mean）数列，即则，定义的灰色方程模型为：即（1）其中称为灰导数，称为发展系统，成为白化背景值，称为灰作用量。对于的灰微分方程（1），如果将的时刻（）视为连续的变量，则数列就可以看成时间的函数，记为。于是得到的灰微分方程对应的白微分方程为（2）称之为的白化型。将时刻代入（1）式中有令，，，称为数据向量，为参数向量，为数据矩阵，则可以表示为矩阵方程对于参数的确定方法：如果存在，由最小二乘法，求使得达到最小值的。，其中：，，，。于是求解方程（2）得，（）（3）而且=，（）（4）式（4）即为预测的计算式。二、模型检验1、残差检验：首先计算绝对误差：，相对误差：，2、关联度检验：计算序列绝对误差：，令：,计算关联度：其中。查找P=0.5时的检验准则r=0.6,则比较关联度r是否大于0.6来进行关联度检验。3、后验差检验（1）、求平均值：（2）、求均方差：（3）、计算残差的均值：（4）、计算残差的均方差:（5）、后验误差比：（6）、小误差概率：根据后验比C和小误差概率p对模型进行精度检验。其精度检验等级标准见表5-1。表5-1精度等级表精度等级PC精度等级PC好（1）＞0.95＜0.35勉强（3）＞0.70＜0.65合格（2）＞0.80＜0.50不合格（4）≤0.70≥0.65当所建立的模型残差较大，精度等级达不到要求时，就要进行残差GM（1，1）模型建模分析，以修正预测模型，提高预测精度。三、模型一的改进：等维灰数递补动态预测一般情况下，GM(1,1)模型通过对数列长度的不同取舍,可得到系列预测结果,而组成一个预测灰区间,即灰平面(如图5-5),供决策选用。但有时利用GM(1,1)模型预测所得灰区间过大，而失去了意义，或很难得到较为满意的结果。这是由于GM(1,1)模型预测灰平面成一喇叭型展开，即预测时刻越远预测的灰区间越大。所以，用已知序列建GM(1,1)模型进行预测时，不用这个模型一直预测下去，而是只预测一个值，并将这个灰数补充在已知数列之后，为不增加序列长度，去掉第一个已知数据，保持数据列的等维，再建立GM(1,1)模型，这样新陈代谢，逐个预测依次递补，不断补充新的信息，使灰度逐步减低，直到完成预测目的或达到一定的精度要求为止。这种方法称为“等维灰数递补动态预测”。它可以达到两个目的：①及时补充和利用新的信息,提高了灰区间的白化度。显然，用改进后的新模型再去预测下一值比继续用原模型进行预测要合理，且更接近实际。②每预测一步模型参数做一次修正,模型得到改进。因而预测值都产生在动态之中。当然随着递补次数的增加灰度也在增大，信息量减少，因此，递补预测也不应是无止境的。图5-5灰平面示意图 通过对上述的分析我们对数据分别运用了传统的GM(1,1)模型以及等维灰数递补动态预测模型。从而对求出的各组数据进行对比。四、实例求解在求解模型时，我们通过Matlab编程来实现（程序见附录二程序一）。该程序不仅很好的实现了模型的预测效果，而且对各项误差进行了系统的分析，还对预测效果进行了优劣等级的评价。预测精度1级为好，2级为合格，3级为勉强合格，4级为不合格。1、现在我们利用上述传统灰色预测模型对全国总人口进行预测。（1）、首先我们找出2001年到2005年的全国总人口数据如表5-2：（具体数据见附录三）表5-2总人口数（万人）年份20012002200320042005总人口数127627128453129227129988130756（2）、对上述模型求得预测结果如表5-3。表5-3全国总人口的预测值（万人）年份2001200220032004200520062010201520302050四维传统灰度127757128768129786130813131848132891137146142656160553187956（3）、预测效果的检验我们通过对预测值的误差分析对预测效果进行检验。表5-4预测效果的误差检验年份20012002200320042005实际值127627128453129227129988130756四维传统灰度127757128768129786130813131848百分误差%0.10220.24530.43310.63490.83522、用改进的模型对全国总人口进行预测。（1）我们用上面相同的数据得到如下结果：表5-5全国总人口的预测值（万人）年份2001200220032004200520062010201520302050四维递补预测127758128746129764130775131803132833137039142473160027186643（2）预测效果的检验我们通过对预测值的误差分析对预测效果进行检验。表5-6预测效果的误差检验年份20012002200320042005实际值127627128453129227129988130756四维递补预测127757128746129764130775131803百分误差0.10230.22810.41570.60550.80103、模型一与模型一改进预测效果的比较上面两种模型对同一组数据进行了预测和误差分析。因此我们可以对两种模型进行比较（如表5-7）。表5-7两种模型预测误差比较年份20012002200320042005传统灰色误差0.102270.245320.433120.634940.83523递补灰色误差0.102270.228100.415720.605500.80104通过上述比较可知模型一的改进预测效果要比原模型一的预测效果好。所以在下面预测用到模型一时，我们都采用模型一的改进，即等维灰数递补动态预测。模型二：人口自适应回归模型一、时间序列自回归AR(n)模型全国人口总数变动存在以下的两个特点：连续性和间隔传递效应（1）连续是指曲线较平滑，无明显波动，斜率连续。这和国家稳定，社会安定，综合国力逐渐增强有关。间单的说就是某一点与它邻近的有密切关系，通过实证分析和参考文献可以确定此猜测。（2）间隔传递效应是指当时期发生人口数突然曾加，例如中国历史上的三次人口生育高峰，其负面影响将传递到此类人到达生育年龄时，即时期，将面临又一次的人口生育高峰。综上所述，全国人口在时期的数量受到邻近的和前二，三十年的人口数量有很强的关联性，其特点跟时间序列自回归AR(n)模型所要描述的对象特征很符合。自回归AR(n)模型可以用如下公式描述：表示一个反馈系统的特征，输出的量是和前一时刻的输出存在关系，也就是系统存在记忆性。自回归AR(n)模型在时间序列里是很重要的基础模型，它描述了一类平稳型时间序列的基本特性。在这里根据实际数据量，本文可以采用模型来解题。但是还要考虑到实际情况，即将个年的人口按时间序列画在时间轴上，发现数据点具有一定的走势，这与平稳型时间序列的大前提相违背。参考有关时间序列的理论知识，发现一种普遍的做法为对离散数据进行差分，差分后的数据点将会符合平稳性的要求。理论上一阶差分已经可以消除大部分趋势，实际情况，通过接下来的实验数据，可以证明此假说。所以在此处，本文给出一阶差分模型：二、检验与评价对于时间序列较为常见的检验：数据样本---偏度，峰度检验，Jarque-Bera正态检验等平稳性分析---单位根检验，自相关，偏自相关检验等模型检验---F检验，D.w检验，回归系数，显著性检验等模型评价----样本决定系数和修正的,C准则,SC准则,残差值等由于检验与评价的方法很多,一般在相关的书藉中都有大量的分析和介绍,所以本文只简单介绍几个重要方法。(1)是一个介于0到1之间的数，越接近1说明模型效果越好。一般的，如果>0.8,便认为模型优度高(2)C准则是赤池准则(AkkeInformationCriterion)的简称.该项准则运用如下式子L是对数似然值,n是观察值个数,k是被估计的参数个数.准则要求C越小越好.(3)SC准则又叫(SchwarzCriterion)的简称.运用如下式子:式子跟C准则相近,也是SC值越小越好三、实例求解利用上述模型，我们重新找到更多的数据，通过从1994年开始的历年全国总人口数（数据来源于：/tjsj/tjsj_cy_detl.asp?id=1590）再对总人口进行预测。根据1949到2000中国人口(万)的统计数据建立时间序列,如图5-6。图5-6对样本进行单位根检验，自相关，偏自相关检验.其中x的自相关，偏自相关图型如下:图5-7因为自相关分析中有拖尾现象,证明数据具有趋势,一阶差分后的自相关，偏自相关图型如下:图5-8 已经明显将趋势项消除,可以使用AR(n)模型了.根据滞留项也可以验证模型的正确性.将方程带入,利用逐步回归法可以解决方程.为了提高效率,本文采用Eviews软件进行求解.得到的差分方程系数如下:表5-8变量系数值Std.Errort-StatisticProb.AR(1)1.5394530.354654.3407630.0049AR(2)-0.617470.4382-1.4091110.2085AR(20)0.2016250.1372081.469490.1921AR(21)-0.297390.121286-2.4519660.0497AR(22)0.1885580.1200421.5707640.1673AR(23)0.0282440.0554750.509140.6288AR(24)-0.100960.039097-2.5821860.0416AR(25)0.0230420.0368590.6251340.5549AR(26)-0.010790.038534-0.2799480.7889AR(27)-0.05720.038856-1.4721180.1914AR(28)0.1301680.0579442.2464370.0658AR(29)-0.121770.061438-1.9820450.0948AR(30)0.0903470.0579151.5599960.1698AR(31)-0.012070.034976-0.3450.7419模型图形如下:图5-9方程模型检验与评价表5-9检验R-squared0.980706Meandependentvar1401.9AdjustedR-squared0.938901S.D.dependentvar228.2222S.E.ofregression56.41253Akkeinfocriterion11.09929Sumsquaredresid19094.24Schwarzcriterion11.7963Loglikelihood-96.9929Durbin-Watsonstat1.767002单位根检验InvertedARRoots0.99.92-.30i.92+.30i.91+.19i.91-.19i.82+.52i.82-.52i.64+.66i.64-.66i.48+.76i.48-.76i.29+.73i.29-.73i.24+.88i.24-.88i0.16-.02-.93i-.02+.93i-.28-.85i-.28+.85i-.30-.81i-.30+.81i-.57-.76i-.57+.76i-.75+.58i-.75-.58i-.82-.37i-.82+.37i-.89+.23i-.89-.23i-0.95决定系数和修正的很接近1,说明模型与真实值匹配很好.单位根检验,全部落在单位圆内.,证明一阶差分已经基本消除趋势,无需再做二阶差分.但是C和SC值有点大,说明模型的简洁性还不够.我们通过列表，计算预测相对误差来检验预测的效果，检验效果说明了我们的模型预测效果是不错的。表5-10预测效果的误差检验年份真实值预测值误差%年份真实值预测值误差%1981年100072100061.60.0001041994年1198501194550.0032961982年101654101618.70.0003471995年121121120673.70.0036931983年103008102928.10.0007761996年122389121838.70.0044961984年104357104210.80.0014011997年123626122926.20.0056611985年105851105625.50.0021311998年124761124001.90.0060841986年1075071072020.0028371999年125786125059.20.0057781987年1093001089180.0034952000年126743126089.30.0051581988年111026110586.20.0039612001年127627127221.60.0031771989年112704112236.10.0041512002年128453128406.50.0003621990年1143331138690.0040592003年129227129596.20.002861991年115823115379.80.0038262004年129988130826.60.006451992年1171711167790.0033452005年130756132110.10.010361993年118517118149.50.003101模型外推预测在基于前面模型的检验和评价的基础上,证明模型与真实值匹配的很好.所以可以拿来外推做预测.预测图形入下:图5-10(虚线表示在一定标准下的置信区间,实线表示真实值)利用预测所得的数据跟预留的2001—2005的数据比对,比较如下:表5-11年数真实值预测值2001127627127784.82002128453128877.62003129227129984.720041299881311502005130756132388.7(7)模型分析根据上述数据,可以得到2050年的预测值为177349.589087942万人.数据似乎偏大,这跟模型的精度有关,因为此方法只考虑数据本身的规律特性,即具有历史性,而无法将政策,人口本身的容限考虑进去,有一定的缺陷.但相比与其他方法,如人口灰色模型,曲线拟合已经有很大的进步.最后，我们对模型一，模型二的预测效果进行比较（如5-12表），并评价两各模型的优缺点。表5-12两个模型预测效果的比较年份20012002200320042005递补灰色误差0.10230.22810.41570.60550.8010自适应回归误差0.00320.00040.00290.00650.0104从模型预测的效果来看，模型二明显优于模型一。但是模型一也有它的优点，它能够适应不同类型的人口数据。而且它对数据两要求不是很高，也就是说它能做一些数据量相对较少的预测。5.2.2人口自然增长率的预测在预测人口自然增长率时，我们建立了时间序列（ARIMA）模型。一、ARIMA(p,n,q)模型建立自然增长率跟全国总人口具有类似的性质，也具有连续性与自相关性，所以可以用自回归模型AR(p),考虑到实际情况，还具有移动平均特性，可以用MA（q）模型，综合下考虑使用ARMA(p,q)，在加上由专家分析的，今后中国将向低死亡率，低出生率，低自然增长率靠近，所以具有趋势，不平稳，借鉴前面的做法，采用一阶差分方法消除影响。最终本文使用ARIMA(p,n,q)。二、实例分析数据来自《中国统计年鉴》，根据1980—2000年连续的自然增长率数据建立时间序列，如图5-11：（左为自然增长率时间序列，右图为初始数据分析）图5-11平稳性分析（左为x的相关性图，右为的分析）图5-12上述图形证明一阶差分是必要的处理，根据滞留项显示取p=q=6较为合理，所以模型为ARIMA(6，1，6)方程分析表5-13变量参数值AR(1)-0.02264AR(1)-0.02264AR(3)0.15229AR(4)0.400809AR(5)-0.27AR(6)0.284775MA(1)3.39416MA(2)4.439909MA(3)6.483932MA(4)5.373763MA(5)4.735078MA(6)-0.86129AR=0.993511，Akkeinfocriterion=-1.54002，Schwarzcriterion=-0.99226上述指标通过模型检验，绘制图形如下：图5-13（4）预测走势2001—2050图5-14这里仍然用2001—2005年现有的数据进行比较：表5-14年数实际值预测20007.587.57276420016.956.61966820026.455.91595420036.015.4938720045.875.08340520055.894.513285（5）模型分析此模型较好估计出了未来走势，2005年的值为1.90518961211106，较为合理。生育率的预测关于生育率的预测，我们将借用5.2.1中建立的灰色预测模型。下面我们就用灰色预测模型对生育率进行预测。我们用1995年到2005年的育龄妇女生育率数据做生育率的预测(数据如下)。表5-15育龄妇女生育率年代市育龄妇女生育率镇育龄妇女生育率乡育龄妇女生育率1995年37.2743.6554.511996年56.6145.9057.831997年37.7740.6955.791998年36.2281.7353.631999年35.1042.0050.902000年33.0739.5648.602001年31.0337.1146.302002年26.6834.8745.172003年26.7035.9044.302004年29.1335.9143.562005年26.3032.6139.92说明：2000年数据缺失，我们先对原始数据利用excel得到下图，直观上我们可以认为该年的数据即是1999年与2001年各育龄妇女生育率的平均。所以我们在数据处理是直接将算出的平均值填充的2000年的数据中。考虑到2000年的数据本身就是我们直观加上去的，为了避免更大的认为误差，在对各育龄妇女生育率的预测时我们选用了2000年到2004年的数据，得到了如下表格中的数据。图5-15利用灰色预测模型对其进行预测，得到如下结果：表5-16育龄妇女生育率的预测值年份200520062007200820092010201520302050生育率（市）27.495728.227728.326628.040628.281228.200228.217628.215128.2151生育率（镇）35.557935.868635.742135.740735.790535.750135.764435.764835.7648生育率（乡）43.474743.252443.162443.150343.100543.096243.079443.078943.0789预测的检验我们通过对预测值的误差分析对预测效果进行检验（如表5-17）。表5-17生育率预测误差检验2005年真实值预测值百分误差生育率（市）26.3027.49564.5463生育率（镇）32.6135.55799.0399生育率（乡）39.9243.47468.9044从上表可以看出，此预测还存在一定的误差，但是预测值在一定程度上还是可信的。5.3系统的人口预测模型在建立模型时，我们首先将莱斯利种群模型运用到对人口的预测。然后根据人口模型的特点对模型进行改进，得到宋健人口模型。一、莱斯利种群模型描述如下：莱斯利(Leslie)模型是研究动物群数量增长的重要模型，这一模型研究了种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律。在某动物种群中，仅考察雌性动物的年龄和数量。设雌性动物的最大生存年龄为L（单位：年或其他时间单位）。把[0,L]等分为几个年龄组，每一年龄组的长度为L/n：设第i个年龄组的生育率为，存活率为。应注意表示第i年龄组的每一雌性动物平均生育的雌性幼体个数；第i年龄组中可存活到i+1年龄组的雌性数与该年龄组总数之比。在不发生意外事件的条件下，，均为常数，且，。同时，设至少有一个，即至少有一年龄组的雌性动物具有生育能力。利用统计资料可以得基年（t=0）该种群在各年龄组的雌性动物数量。记为t=0时第i年龄组雌性动物的数量，就得到初始时刻年龄分布向量如果以年龄组的间隔L/n作为时间单位，记。并统计在时各年龄组雌性动物的数量，可得时的年龄分布向量随着时间的变化，由于出生、死亡以及年龄的增长，该种群中每一年龄组的雌性动物数量都发生变化。实际上，在时，种群中第一年龄组的雌性个数应等于在和之间出生的所有雌性幼体的总和，即同时，在时，第i+1年龄组（i=1,2,…,n-1）中雌性动物的数量应等于在时第i年龄组中雌性动物数量乘以存活率，即综合上述分析，由（1）和（2）可得到与时各年龄组中雌性动物数量间的关系：记矩阵则（3）可写成其中L称为莱斯利矩阵。由（4）可得：。一般，有如果已知初始时年龄分布向量，则可以推算任一时刻时，该种群中雌性的年龄分布向量，并以此对种群的总量进行科学的分析。二、莱斯利模型的改进—宋健人口模型描述如下：人口发展过程的数学模型有两种，一种是连续模型，即年龄r和时间t都是连续变化的，它是一偏微分方程或偏微分方程组；另一种是离散模型，它是一差分方程组。连续模型便于理论分析，而离散模型则适合于计算机模拟。在下面的定量分析中，为了适合于用计算机求解，我们将建立一个人口发展过程的离散模型。首先，我们做如下定义，用表示t年代满i周岁但不到i+1周岁的人口总数；表示t年代i岁按龄死亡率；表示t到t+1这一年内迁入或迁出的年龄满i周岁但不足i+1周岁的人口数。则可得关系式：设是婴儿绝对出生率，为时间内出生的婴儿数，则，现取年，那么就是从t-1到t年出生的婴儿数。则我们得到婴儿出生数的离散表达形式：其中为妇女平均比生育率或平均生育率，是性别比例函数，就是t年代年龄为i周岁的妇女总人数，是妇女生育模式，表示从t-1到t一年内年龄为i岁的妇女平均一个人所生的婴儿数，而就是t年代年龄为i周岁的所有妇女在一年中所生婴儿数，当i从变到时，把它们加起来就是t年代年龄在区间内所有妇女在一年中所生婴儿数，即。这些婴儿并不都能活到t年代统计时刻，其中有些婴儿由于疾病等原因死亡，能够活到t年代统计时刻的婴儿数就是，因此就是从t-1到t年代死亡的婴儿数，我们定义婴儿死亡率为：，由此得到一新的方程。联合上述方程，就可以得到一个完整的人口发展离散方程组：这是一个差分方程组。现令，引进向量和矩阵记号：，，则方程组可写成向量形式：式内矩阵称为从t到t+1年代的人口状态转移矩阵，称为生育矩阵，叫作人口迁移向量。要求解差分方程，还必须有初始条件：三．运用宋健人口模型进行短期预测为了验证该模型进行长期预测的可靠性，本文先对其进行一个短期的预测，为了减少随机因素干扰，简化计算量，我们特别将城镇的数据合并，然后用新2004年的统计数据（附录一）对2005年城镇，乡村个年龄段的男女人数进行预测并与所给的2005年数据进行对比。Sept1按比例取，根据全国总人口，计算得到实际的各个年龄城镇和乡村的人口数目；Step2正如前面所预料的，需要预测2005年的人口死亡率，出生率，性别比例以及迁移等各项指标。(1).在前面的分析中我们已经得出运用灰数递补动态预测模型有很好的预测结果，在本模型中也不失为一好方法，我们根据前面的数据分别对人口死亡率，出生率，性别比例等各项指标进行灰度预测。结果见附录四。(2).对于迁移这项能反映城市化进程的指标，我们根据专家的所指出的每年按1%的速度递增。本文采用这种说法，按03至04年间的迁入率作为基准，以后每年按101%增加，并具体做了计算。为了说明算法，这里以城镇10岁男子的迁入为例。查附录一可知，2003年10男子的人数是336.39（万），2004的数据显示03-04数据统计的间阁期中死亡率为0.0002988，得到2004年由10岁—>11岁存活的人数为344.26（万），而04年城镇11岁男子实际人数为344.47,它们的差值就是迁入人数（负值表明迁出）为0.2056（万），则04至05的城镇11岁男子的迁入人数为0.2056（万）×101%=0.2079，其他类推。Step3将04的城镇男，城镇女，乡村男，乡村女的人数，和对其05预测死亡率，出生率，性别比例,用按年龄顺序排列的矩阵表示，分别利用计算机模拟，将表中的各项数据输入到实现变好的matlab程序带入附录三程序二，然后再加上迁移，最后可以得到附录五。利其部分值如下表所示（具体各年龄人数见附录五）：表5-18城镇乡男性(万人）女性（万人）男性(万人）女性（万人）249.3159159201.7603608357.3233125283.563292234.7163652193.6610497425.4281443328.1861707271.3068919217.164279447.2768486319.6665009287.0290711239.5170731454.6964517341.8607467297.8450622253.9963587477.2803922364.7980957296.2995305246.1697002445.5891451325.9030292327.1452897268.7192983483.1507118416.8351562315.5611309276.4639464498.2160905423.5651776317.671652278.4499149504.8014477430.3792102347.3695365304.1393092595.6540277513.9773355343.2215214301.7217918579.0441328482.2870939361.481695314.4778524708.7574236603.7802381376.694002329.9325096722.666592655.7917194396.5984975352.3567874788.2541376713.6229914468.8157813463.7927212946.9800635865.1678795477.0688968484.6032557872.4144546767.726229484.4889301500.5136425698.2412466638.8758607460.901253512.3688367738.7001182663.8260007372.0003903383.0328881565.7677369506.5191343292.6232445306.3243214475.8992775439.0853092272.2195918305.8257172430.9313695431.6866171303.2053246363.5653603392.9631825454.0071974395.8473712450.0024016476.7696321492.036226342.4046129407.6131831424.1088269446.4707736322.5560617408.7457298416.1645198438.590072对附录中的数据做图我们可以得到如下的图:图图5-16图5-16图5-17图5-18图5-19四运用宋健模型进行长期预测从理论高度来讨论，宋健模型的精准性关键在于每年参数预测的是否跟实际值相符，如果运用宋健模型进行长期预测势必要求有比较合理可信的参数估计，介于此，本部分讨论如何提高参数估计的精准性，因为只要有理想的参数估计，宋健模型做为人口预测将非常科学。整体参数合理估计的方法参数根据实际情况可知，无论死亡率，还是生育率，性别比，迁移率都具有趋势，并且满足表示n年龄第t年的某个参数指标，就等于基准平均值乘上（t年的衰减率），再加上随机项。理论上可以用ARIMA(0,1,q)来预测所以参数的值，但因为只有01到05的数据，量过少，不满足时间序列最起码的数目要求，所以不合适本题。比较容易的方法就是按，五年一组，将0-4，5-9，。。。。，85-89，90+划分成19组(数据见附录六)，通过平均化后，个参数的将变的很小。然后按5年一周期做预测，与真实值的偏差会很小，适合做长期预测。2．死亡率的精度提高方法比较理想的方法是采用Lee-Carter的方法预测[s],精度高，相对运算量大。但也可以用比较简单的回归方程做。 （1）影响死亡率的因素人口死亡是由多种因素决定的。死亡率主要和社会经济水平、生活气候环境、文化程度、总和生育率、居民消费水平、社会医疗条件等社会经济变量相关联，而这些因素也会互相作用。在解释中国人口死亡率从高到低的原因时，都不可避免地涉及社会经济的发展对中国人口死亡率下降所起的作用。一般认为，社会经济发展程度(如收入水平、城市化程度、受教育程度越高)越高，死亡率就越低。aa岁人口死亡社会经济文化层度总和生育率居民消费水平生活气候环境社会医疗条件其他次要因素生理因素年龄别人口死亡图：影响人口死亡率的因素在众多影响囚素中，经济因素不仅直接影响着死亡率，也间接影响着文化程度、医疗条件等。因此，为了简化预测模型，般仅考虑人均国民生产总值。选择人均国民生产总值作为死亡率预测模型的自变量主要有以下几个原因:(1)人均国民生产总值在反映经济状况时，是一个较好的单一指标，优于其它社会经济指标。因为它反映在某一段时间内，一个国家创造的最终的全部的财富，包括物质和服务。(2)由于人均国民生产总值较大范围地变动，因而对死亡率产生的影响也能够表示出来。(3)人均国民生产总值的指标也可以被认为是多因素影响的综合作用的反映指标，直接关系到人均国民收入、每万人的卫生机构数等其它死亡率影响因素。（2）死亡率预测本文将以人均GNP为自变量的曲线回归方程应用于分年龄别死亡率的预测上。死亡率预测模型为:其中，x为人均GNP。我们利用2001～2005年的GNP数据，以每一岁的中国人口死亡率为因变量，通过Matlab编程来辨识参数a、b、c，（附录2，程序3）。对应的人均国民生产总值见表：表：中国人均国民生产总值GNP年份20012002200320042005GNP(元/每人)86229398105421233614040（3）对死亡率预测模型的改进上述的验证结果中存在一些并不太理想的点，那是因为已知的数据量太少所带来不可避免的偏差。所以我们考虑用已得前n年死亡率数据的平均值对其进行修正。原模型预测的死亡率：；前n年的平均死亡率：；修正后的死亡率预测模型：根据修正后的模型，我们再对死亡率进行预测，并与实际值进行比较。可以看出预测的效果明显好于修正前的预测值。六、模型的评价本文先第一部分对给出的原始数据进行定量分析，从全文看这是很必要的。第二部分对重要的人口指标进行独立的，初等的评价，采用灰度理论，时间序列方法，可以分析得到人口的预测，和自然存活率，死亡率的预测。这些模型结果做短期预测效果都比较明显，比较好，不足之处在于考虑的因素比较少，没有很好揭示人口数目变动的本质原因。第三部分用改进的莱斯利模型---宋健模型，这个模型揭示了人口数目变动的本质原因，并综合了各个因素，通过年龄层间的交替，理论上可以完美的预测任意年的人口年龄分布以及男女比例，适合短，中长期预测。这里我们做了04年对05年的短期预测，效果很好。唯一不理想的在如果做长期预测，本模型要求每年求出的参数（死亡率，生育率，性别比，迁移率）都比较准，否则预测效果不好。第四部分，具体探讨了如何该进参数预测的精度，从而可以用莱斯利---宋健模型进行效果比较好的长期预测。参考文献：[1]CuifengLi，GreyMarkovModelBasedonParameterFitsanditsApplicationinStockPricePrediction，IEEE,0-7695-2528-8/06，2006；[2]Kun-LiWen，TheDevelopmentofGreyVerhulstToolboxandTheAnalysisofPopulationSaturationStateinwan-Fukien，IEEE，0-7803-8566-7/04，2004；[3]宋健，人口预测和人口控制，人民出版社，1982年03月第1版；[4]龚曙明等，人口自适应回归预测模型与实证分析，数理统计与管理，1002-1566（2006）03-0278-05，2006年；[5]郝永红等，灰色动态模型及其在人口预测中的应用，数学的实践与认识，第32卷第5期，2002年9月；[6]陈维新，线性代数简明教程，科学出版社，2005年1月，第二版；[7]邓聚龙，灰色理论基础，华中科技大学出版社，2002年2月，第一版。附录：附录一2005年城镇年龄男性比率死亡率女性比率死亡率城镇妇女生育率00.498191217.54768130.430552978.08539110.505829460.87941210.420552970.666120.46346770.580.378191210.20551530.499648580.56443330.420552970.39134140.535829460.26086880.454372090.34857350.567286820.42550480.472010330.34689260.53346770.34770190.458191210.18900970.594925060.51449360.505829460.16320380.60256330.26805590.515829460.13252790.621105940.42229120.529648580.104399100.680201550.32098490.591105940.157832110.65256330.26210270.57346770.169232120.701658910.440290.61256330.153654130.719297150.29353320.630201550.223692140.764573640.29356520.675478030.274915150.8760310.53579150.793116270.1162270.002925160.86256330.43054630.797286820.2354220.030542170.830552970.4042790.801457360.2789470.154281180.868542640.58091480.874170540.4043670.429677190.720351420.69733890.733617570.2368241.421231200.625074940.63447980.652160210.1257064.072351210.605979330.69066710.672160210.3081826.782833220.645979330.85804830.699798450.310888.500813230.768341090.52786220.855979330.27103610.1944324252627280.691255820.67653230.747989670.747989670.80817770.4399190.58220650.75653230.744170540.23338211.156210.32094610.407090.807989670.369.4686551.00623890.8018087911.369758.2462030.725627911.01742290.769447030.2121636.900827290.809447031.17519780.853266150.3580075.528641300.847085270.73825960.884723510.4116074.591171310.917085270.87491070.952361760.2975393.761634320.977085271.05779831.000904390.4733112.98548331.017085271.03216171.028542640.4425122.34064341.053266151.25944971.060.4732661.895509351.142361761.39911281.133819120.447681.355438361.036180881.46574381.041457360.5850161.03988371.121457361.37470211.131457360.7940860.761379380.859095611.52573840.866733850.7038630.518364390.979095611.66485370.985829460.769810.356711401.045276492.1432091.016733850.7239820.295084411.020904392.02811951.010.9024130.169507421.241808792.16354841.208542640.8538450.126384430.894723512.67050940.871.0796490.105658440.499447032.47483130.500904391.2782550.082993450.65653232.68689520.645627911.3247750.079839460.599447033.3856350.579447031.6889050.07463470.755627913.5859290.735627911.3982890.052118480.827085273.71816980.810904392.1396010.068531490.730904394.25097290.740904391.5843810.069608500.792361764.68866370.778542642.303515510.767085274.43149660.777085272.209128520.686180884.50631920.694723512.642557530.685.70211370.696180882.881074540.582361766.1564920.586180883.649125550.576180886.49542210.582361763.577448560.566.2416640.558542643.967697570.466180887.13773580.478542644.414456580.463819128.03143290.466180884.275518590.423819128.96423290.426180885.74217600.401457369.51501890.403819126.419593610.3676382411.5174290.372361766.240926620.3438191212.4171940.346180888.001544630.3413.5564860.352361767.789463640.3513.435840.344723517.768702650.3416.1486460.362361769.774266660.2885426417.9416960.300904398.930146670.3223617619.8424980.3309043912.35449680.3123617621.7736810.3085426414.70509690.2947235125.4775830.3085426415.59255700.2923617628.0884020.3085426416.51998710.2585426428.370110.2685426417.63263720.2685426431.3976820.2723617620.88145730.2223617636.6428880.2323617624.64738740.1985426440.0649880.1961808824.35081750.2023617646.2458210.2061808829.30123760.1561808846.7748490.1732.95583770.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