【《关于矩阵正定的若干判定方法的研究》3200字（论文）】

１前言矩阵理论是数学中的一个很重要的内容，是代数学研究的主要研究对象及实际应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分.并且矩阵理论在现代在几何学、物理学、概率论及最最新的优化矩阵理论等诸多热门学科中也都具有广泛的研究应用而且一直都认为是重要的热门研究课题.正定矩阵作为科学理论研究的一项重要的理论工具，在数学、自然科学、工程技术以及社会经济管理等领域中都有着很大的贡献，掌握好矩阵理论一直都是我们学好线性代数必不可少的基础条件.正定二次型在二次型理论中也一直占有很重要的基础地位．本文主要证明了正定矩阵的一些重要定义和实用性质以及一些有关定理，最后本文论述了正定矩阵的多种判定方法及证明和判定方法相关的例题．1.预备知识本章主要写了矩阵正定判别方法所相关的一些基础知识，主要给出了正定矩阵的定义、性质及相关证明．1.1正定矩阵的定义定义1REF_Ref8459\r\h[1]设均为实常数，则关于个实变量的二次齐次多项式函数，称为元实二次型．定义2REF_Ref8459\r\h[2]实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，都有；如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的．定义3REF_Ref8459\r\h[1]若实数域上的元二次型是正定二次型（负定二次型），则称为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负定二次型），则称为半正定矩阵（半负定矩阵）．其中，．1.2正定矩阵的性质性质1REF_Ref29176\r\h[2]正定矩阵的行列式大于零．证明设是正定矩阵．因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使．两边取行列式，有．性质2REF_Ref10899\r\h[5]若是一个正定矩阵，则的所有对角元大于零．证明设，对于任意的，恒有，其中，．令，将其代入，得，所以，，从而结论得证．性质3REF_Ref10167\r\h[7]若是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中．证明由是正定矩阵，可知的特征值，则的特征值，因此是正定矩阵．同理可得的特征值，因此也是正定矩阵．2.正定矩阵的判别方法本章主要写了正定矩阵的四个判别方法，分别是定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法.还给出了相应的定理及定理证明和相关例题.2.1定义法阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意维实非零向量，都有．那么实对称矩阵简称为正定矩阵，记作：．定理1REF_Ref10899\r\h[5]设是正定矩阵，为实矩阵，其中为的转置矩阵，则为正定矩阵的充要条件是的秩．证明必要性假设为一个正定矩阵，则对任意的维非零列向量，有，于是，因此元齐次线性方程组只有零解，故系数矩阵的秩．充分性因为，故为实对称矩阵.若，则齐次线性方程组只有零解，从而对任意一个实维非零列向量，有．又因为正定，所以对于有，于是当时，有，故为正定矩阵.例1设是实矩阵，且是列满秩，即，证明是正定矩阵．证明首先，因为，所以，是实对称矩阵．其次，由可知，齐次线性方程组只有零解．因此，对任意维列向量，必有，不妨设，则是一组不全为零的实数．从而，对任意维列向量，二次型，即二次型正定，所以矩阵是正定矩阵．例2设是矩阵，，证明当时，是正定矩阵．证明因为，故是阶实对称矩阵，对于任意的维实向量，有．由于，，则恒有，而，因此，由定义可得是正定矩阵．2.2标准形法（合同变换法）正定二次型的规范形为，而规范形的矩阵为单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵合同．定理2REF_Ref12459\r\h[4]一个正定矩阵的合同矩阵一定都是正定矩阵．证明假设为一个阶正定矩阵，为一个阶实对称矩阵且与矩阵合同．由正定矩阵的等价条件可以知道，矩阵与单位矩阵合同．又因为矩阵与矩阵合同，那么矩阵也与单位矩阵合同，即为正定矩阵．例3证明：若是正定矩阵，则也是正定矩阵。证明是正定矩阵，是实对称矩阵，可逆，且，即也是实对称矩阵。例4用此法证明分块矩阵是正定矩阵，其中分别为阶正定矩阵．证明由于矩阵分别为正定矩阵，故存在可逆矩阵和，使得，令，则，且为阶可逆矩阵．，所以，矩阵与单位矩阵合同，故分块矩阵是一个正定矩阵．2.3顺序主子式法若矩阵的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵为正定矩阵．定理3实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零．证[必要性]实对称矩阵正定，则二次型f(,,…,)==是正定的，对于每一个k,1kn,令（,,…，）=，我们来证是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数，，…，，有（，，…，）=（，，…，，0，…,0）>0,因此，是一个k元正定二次型.由充要条件2得的矩阵行列式>0,（k=1,2,…,n）.[充分性]对n作数学归纳法当n=1时，f()=,由条件>0，显然f()是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令=，=，则=.由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零，由假设是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵，使得=,令=,则==.令=,则==.令=,=-,则有=.两边取行列式得=,由条件>0知>0.由于=.因此，A与单位矩阵合同.是正定矩阵．例5设二次型，判定该二次型的矩阵是否属于正定矩阵.解二次型的矩阵为，其各阶顺序主子式分别为全大于零，所以矩阵是正定矩阵．例6取何值时，二次型是正定二次型。解二次型对应的矩阵为要使二次型正定，则的各阶顺序主子式全大于零，即满足：得到，时，二次型为正定二次型。2.4特征值法定理4REF_Ref12459\r\h[4]若,是实对称矩阵，的特征值全大于，的特征值全大于．若，则是正定矩阵．证实对称矩阵可对角化为其中，恰好是的特征值，则二次型的标准形为：++…+,而非退化实线性变换保持正定性不变，由(,,…，)=++…+.正定得>0()．例7证明：二次型为正定二次型。证设的矩阵为，则由，可知的特征值，由于特征值全为正数，所以是正定矩阵，从而为正定二次型。例8设A为n阶实对称矩阵，且.证明：A正定.证设是A的任一特征值，对应特征向量为，即，代入已知等式,有，因为，故满足得，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有，即A的全部特征值就是，这就证明A是正定矩阵.结论本文把正定矩阵定义，正定矩阵的性质与矩阵正定的若干判别的方法作为重要理论依据，从矩阵和矩阵正定的相关性质和定理出发，简单介绍了矩阵正定的4个判别方法：定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法来判定一个矩阵是否属于正定矩阵，且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定.正定矩阵涉及到了物理、概率论与统计、计量经济学等各个领域.总之，研究正定矩阵的性质和判别方法对于自然科学的发展，理论学科的进步有着不可替代的重要作用.参考文献何亚丽．《线性代数》[M]．科学出版社．王萼芳，石生明．《高等代数》（第三版）．北京：高等教育出版社．陈大新．《矩阵理论》[M]．上海：上海交通大学出版社．刘畅．正定矩阵性质的推广［J］．沈阳师范大学学报，2009,27(3),268~271．岳贵鑫．正定矩阵及其应用[J］．辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31~33．黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J］．烟台职业学院学报，2011,17(3):85~88．张丹，刘庆平．正定矩阵的性质及相关问题［J］．中南大学学报，2011,31（4）．庭骥.判别正定矩阵的充分必要条件及