二年级数学下册“除法竖式的算法理解与程序建构”单元教学设计

二年级数学下册“除法竖式的算法理解与程序建构”单元教学设计

  本设计以北师大版小学数学二年级下册“除法”单元的核心内容为蓝本，聚焦于“除数是一位数、被除数不超过100的除法竖式计算”这一关键技能的形成过程。设计超越了单纯程序操练的窠臼，以发展学生的运算能力、推理意识和模型思想为核心素养目标，将竖式定位为记录分物过程与思考步骤的数学工具与程序模型。通过精心架构的“理解算理—建构算法—灵活应用”学习路径，引导学生从直观操作、符号记录到抽象算法的意义建构，实现深度学习。设计融入了形成性评价与差异化支持策略，确保每位学生都能在挑战中获得成功，奠定坚实的整数除法运算基础。

一、单元整体规划与学情深度分析

（一）单元内容定位与素养发展指向

  在小学整数运算的知识序列中，表内除法（等分除、包含除）是认知起点，而有余数除法是第一次对“分不完”情境的数学化处理，本单元所涉及的除法竖式计算，则是将上述过程予以规范化、程序化记录的关键一步。它不仅是后续学习多位数除以一位数、两位数除以两位数笔算的基础，更是学生正式接触并理解“算法”这一核心数学思想的启蒙。因此，本单元的教学价值远不止于掌握一种计算格式，更在于：第一，深化对除法意义，特别是包含除与等分除在操作过程中统一性的理解；第二，初步体会位值思想在除法分配过程中的作用（从高位除起）；第三，经历将具体分物过程抽象为标准化符号步骤的数学建模过程，培养程序化思维与逻辑推理能力；第四，在试商、乘减、比余、落位等一系列连贯操作中，锤炼思维的严谨性与灵活性。

（二）学习者认知结构与潜在障碍预判

  进入本单元学习前，学生应具备的认知基础包括：熟练进行表内乘除法口算；理解除法的两种现实模型（等分除与包含除），并能用横式表示；具备利用小棒、圆片等实物进行平均分操作的经验；初步接触有余数除法的横式表达（如17÷5=3……2）。然而，从横式到竖式的跨越，对学生而言是认知上的一次跃升，可能存在的障碍点如下：

  1.格式陌生，符号意义不明：竖式中“厂”字形符号（除号）、被除数、除数、商、乘积、余数等各部分的书写位置及其相互关系，对学生是全新的符号系统，容易产生混淆。

  2.算理隔阂，操作与记录脱节：竖式每一步的运算（如商几、乘几、减几、落几）若不能与具体的分物过程（如每份分几个、分掉了多少、还剩多少没分）建立一一对应的联系，学生将陷入机械记忆步骤的困境。

  3.试商困难，缺乏策略支持：对于非表内直接对应的除法（如65÷8），如何快速、合理地试商，对学生的心算能力和数感是挑战。

  4.程序冗长，步骤易遗漏或错序：竖式计算步骤多且环环相扣，初学时学生容易忘记写乘积、忘记减、忘记比余数大小或顺序颠倒。

  5.“0”的处理特殊：当某一位不够商1时需商0，这一规则与学生“除法是分东西”的直观经验存在冲突，理解困难。

二、学习目标体系（三维融合）

（一）知识与技能

  1.理解除法竖式中每个数字和符号的含义，能正确说出竖式计算每一步所对应的具体分物操作。

  2.掌握两位数除以一位数（被除数不超过100，商为整数或有余数）的竖式计算方法与规范书写格式，能够正确、熟练地进行计算。

  3.理解“0”在除法竖式特定位置（商中间或末尾）的意义，并能正确处理。

  4.能运用除法竖式解决简单的实际问题，并能够结合情境解释计算结果的意义。

（二）过程与方法

  1.经历“实物操作—表象操作—符号操作”的完整抽象过程，通过摆一摆、画一画、说一说、写一写，主动建构除法竖式的算法模型。

  2.在尝试、纠错、优化试商策略的过程中，发展估算意识和数感，积累试商经验（如“看除数，想乘法口诀，找最接近”）。

  3.通过对比横式与竖式、正确与错误案例、不同情境（等分与包含）下的竖式应用，培养分析、比较、归纳的数学思维能力。

（三）情感态度与价值观

  1.在探索竖式“秘密”的过程中，感受数学符号的简洁与力量，激发探究数学规则的兴趣。

  2.体会除法竖式作为一种高效、通用工具的价值，培养运用规范程序解决复杂问题的意识和信心。

  3.在小组合作交流与分享中，养成认真严谨、有条理的计算习惯和乐于反思、勇于修正的学习态度。

三、核心知识要点与思想方法

  1.除法竖式的结构意义：竖式是除法运算过程的压缩记录。被除数在“厂”字内，表示待分的总数；除数在外，表示每份的数量或份数；商在上方，表示分得的结果；每一步的乘积表示已经分掉的数量；每一次的差表示分后剩余、等待继续分的数量。

  2.“从高位除起”的算理：这与我们读数、写数的顺序一致，也符合生活中先分大单位再分小单位的习惯。它体现了位值原则，确保分配的有序性。

  3.“商、乘、减、比、落”的循环程序：这是除法竖式的核心算法流程。（1）试商：根据除数，利用乘法口诀，确定当前位最大可能的商。（2）乘：用商乘除数，得到理论上要分掉的数量。（3）减：从当前被减数中减去这个乘积，得到剩余。（4）比：确保余数小于除数，这是除法成立的基本条件。（5）落：将下一位被除数落下，与当前余数组成新的被除数，进入下一轮循环。此流程需内化为学生的操作程序记忆。

  4.有余数除法的竖式表达：明确竖式中最终的余数必须写在最下面，且小于除数。理解横式与竖式在表达余数时的一致性。

  5.“0”的占位功能：当某一位上的数不够商1时，必须在商的那一位上写0占位，以保持数位的对齐和结果的准确性。这是对除法意义（不够分一份）和位值制的双重尊重。

  6.算法与算理的统一思想：强调每一步算法操作都必须有明确的算理支撑，反对脱离理解的机械训练。这是培养学生数学理性精神的关键。

四、教学资源与环境准备

  1.具身化操作材料：每位学生配备小棒（至少100根，10根一捆）、计数圆片、数位操作板。

  2.可视化学习工具：“分物过程记录单”（可画图、列横式、尝试记录分步过程）、除法竖式步骤思维导图卡片。

  3.信息化互动资源：设计或选用交互式课件，动态演示分物过程与竖式每一步的同步对应关系；提供可拖拽数字进行竖式填空、自动判断对错的练习平台。

  4.情境化任务卡片：设计一组包含等分除、包含除情境的实际问题卡片，用于应用练习。

  5.差异化支持材料：“算理理解脚手架”（图示与竖式连线题）、“步骤口诀提示卡”、“挑战性问题卡”（如探索三位数除以一位数）。

五、教学实施过程详案（共设6课时）

第一课时：分物过程的“慢镜头”记录——竖式初探

  课时目标：通过解决具体的等分除问题，经历用多种方法记录平均分过程，感受竖式记录的必要性与简洁性，初步认识竖式各部分名称及与分物动作的对应关系。

  核心活动：

  1.情境任务导入：“15颗草莓，平均分给3个小朋友，每人分几颗？请用小棒代替草莓，分一分，并想办法把你的分过程清楚地记录下来，让没看到你分的人也能看懂。”

  2.多样化记录展示：学生操作后，展示几种典型记录：①画图法（画15个圈，3个3个圈起来）；②文字叙述法（先每人分1颗，再分…）；③横式法（15÷3=5）；④有学生可能尝试分步记录（如：先分掉3×4=12，剩3，再分掉3×1=3，分完）。教师引导学生比较：哪种方法最能清晰展示分的过程和每一步的结果？

  3.引出竖式，建立对应：教师揭示：“数学家们发明了一种像建房子一样的记录方法，叫竖式。”板书标准竖式计算15÷3的过程。然后，带领学生“解码”：

    -“厂”字像什么？（像一个房子，把要分的总数装起来）。

    -“15”在里面？（待分的15颗草莓）。

    -“3”在外面？（分给3个人）。

    -“5”写在哪？（写在个位，为什么？因为分的是单个草莓）。

    -“3×5=15”写在哪？（表示3个人每人5颗，一共分掉了15颗）。

    -“15-15=0”写在哪？（表示全部分完，没有剩余）。

    配合课件动态演示：先显示15根小棒，然后每份分出5根，同步在竖式上高亮对应步骤。

  4.操作与记录同步练习：给出“20个苹果，平均分给4个小朋友”的情境。学生先用小棒分，然后尝试在教师提供的“记录单”上，左边画分的过程（或写步骤），右边模仿书写竖式。同桌互相说一说竖式里的每个数对应分的时候做了什么。

  5.归纳与命名：师生共同总结竖式各部分的名称：被除数、除数、商、积、余数（本节课为0），并像认识新朋友一样记住它们的位置。

第二课时：包含除情境中的竖式深化与试商初体验

  课时目标：在包含除情境中应用竖式，理解其同样适用。重点探索非整除（有余数）情况及“试商”策略的萌芽，完整经历“商、乘、减、比”四步。

  核心活动：

  1.情境对比：“有17颗糖果，如果每5颗装一袋，可以装几袋？还剩几颗？”（包含除）与上节课的等分除情境对比，明确都用除法，但分的方式不同。

  2.操作探究与记录困境：学生用小棒分。关键提问：“在竖式里，我们怎么记录‘试着装袋’这个过程？”引导学生发现难点：不能一下子知道商几。

  3.揭示“试商”过程：

    -第一步：商几？想：5和几相乘最接近17又不超过17？口诀“三五十五”、“四五二十”，15<17<20，所以商3。强调“最接近且不超过”。

    -第二步：乘。3×5=15，这15表示什么？（已经装袋的15颗糖）。

    -第三步：减。17-15=2，这2表示什么？（装袋后剩下的2颗糖）。

    -第四步：比。2比5小吗？（是）这说明什么？（剩下的不够再装一袋了）。明确“余数必须比除数小”的道理。

    将“商、乘、减、比”四个字作为行动口令，带领学生一边说一边写竖式。

  4.错误资源剖析：教师展示错误案例（如商4，得20>17；或商2，余7>5），请学生诊断问题出在哪一步，加深对“比”这一步重要性的认识。

  5.变式巩固：完成类似问题（如22÷6，19÷4）的竖式计算，强化“试商-比较”的心智过程。

第三课时：两位数除以一位数的算法建模与程序固化

  课时目标：学习被除数是两位数（十位不是整除）的竖式计算，理解“分完十位分个位”的顺序，掌握“落位”操作，完整构建“商、乘、减、比、落”五步循环算法模型。

  核心活动：

  1.挑战性任务：“有48根小棒，平均分给2个小朋友，每人分得几捆几根？（小棒10根一捆）”这是一个需要先分捆（十位），再分根（个位）的情境。

  2.操作与思维可视化：学生用成捆和单根的小棒操作。教师提问引导：“竖式怎么记录我们先分4捆（40根）这个过程？”

  3.关键突破——“从高位除起”与“落位”：

    -板书竖式，问：先看被除数的哪一位？（十位上的4，代表4捆，即40根）。

    -40÷2=20，这个20在竖式里怎么表示？商2写在哪一位？（十位），表示每人先分到2捆（20根）。

    -2×2=4（这个4是4个十），写在十位下面，表示分掉了4捆（40根）。

    -4-4=0，十位分完没有剩余。

    -重点：十位分完了，但还有8根单根没分。怎么办？——把个位上的8“落”下来。这个动作在竖式上就是将被除数个位上的数字写下来，与十位余数（0）组成新的被除数8。

    -继续分个位：8÷2=4，商4写在个位，完成全部分配。

  4.算法程序歌诀化：师生共同创编或学习易于记忆的五步口诀，如：“除法竖式像工厂，从高到低分仔细。一商二乘三要减，余数比除小小记。还有数字没分完，落下一位继续除。”

  5.程序性练习：设计一组计算题（如63÷3,84÷4,56÷2），要求学生边写竖式边默念或轻声说出五步口诀，将外部语言内化为思维程序。

第四课时：复杂情境下的试商策略与有余数除法

  课时目标：聚焦被除数十位除后有余数，需要和个位结合继续除的情况（如65÷8,50÷6），以及试商策略的灵活运用，熟练处理有余数除法。

  核心活动：

  1.情境引入：“65张彩纸，每8张做一朵花，最多能做几朵？还剩几张？”

  2.探索与讨论：学生尝试竖式计算65÷8。关键讨论点：

    -试商：8×？最接近65？从8×8=64，8×9=72，判断商8。

    -十位处理：6÷8够除吗？不够。怎么办？看前两位65。理解此时视65为一个整体来分。

    -书写：商8写在个位（因为是65个一除以8）。

    -检查余数：65-64=1，1<8。

  3.对比与归纳：对比50÷6（十位5÷6不够除，直接看50）。引导学生归纳：当被除数的最高位（或前几位）比除数小时，就看被除数的前两位（或整个数），商就写在相应的数位上。

  4.试商策略工作坊：小组合作，解决一组精心设计的题目（如47÷5,83÷9,29÷3,70÷8）。讨论：你是怎么快速找到合适的商的？有什么窍门？汇总策略：看除数，背口诀，找最接近的被除数；可以用“除数×9”作为上限快速判断；如果第一次商太大或太小，要及时调整。

  5.应用与解释：每个竖式计算完成后，要求学生用“有（）个，每（）个一份，可以分成（）份，还剩（）个”的句式解释结果。

第五课时：特殊数字“0”的占位意义与竖式计算完整性

  课时目标：理解并掌握除法竖式中商中间或末尾有0的两种情况，明确“0”的占位作用，完善对竖式计算完整性的认知。

  核心活动：

  1.认知冲突情境：“学校买了306本故事书，平均分给3个年级，每个年级分多少本？”列式306÷3。学生可能口算知道是102，但尝试列竖式时会遇到困惑：十位0÷3=0，这个0写不写？为什么？

  2.算理溯源：借助计数器或方块图演示：306由3个百和6个一组成，没有十位。分的过程：先分百位，3个百÷3=1个百，商1写在百位；十位是0，表示0个十，0÷3=0，每份分到0个十，所以商0写在十位，占位，表示十位没有分到东西；最后分个位。如果不写这个0，商就变成了12，数值完全错误，从而深刻理解“占位”的必要性。

  3.对比练习：计算480÷4。重点讨论：个位0÷4=0，这个0写在商个位，但竖式末尾减完后余数也是0，怎么写？明确商末尾的0不能省略，但最后一步减的0通常不写，直接得出余数为0。

  4.错误辨析强化：出示典型错误（如商中间漏0、商末尾漏0），让学生当“小医生”诊断并改正。

  5.综合练习：设计商中间有0、末尾有0、整百数除以一位数等混合练习，巩固“哪一位不够商1，就在那一位商0”的规则。

第六课时：综合应用、思维拓展与单元整理

  课时目标：综合运用除法竖式解决实际问题，在复杂情境和开放性任务中灵活选择算法，通过单元整理构建知识网络，提升思维水平。

  核心活动：

  1.实际问题解决大赛：呈现一组多层次的实际问题。①基础层：直接应用型（如“72个同学跳绳，每6人一组…”）。②进阶层：需要先一步处理信息（如“买4支铅笔付了36元，买同样的一支铅笔和一块橡皮付了12元，一块橡皮多少元？”需要先算铅笔单价）。③挑战层：开放性、策略性（如“用100元买8元一个的笔记本，最多买几个？剩下的钱还能买一支5元的笔吗？如果调整购买方案，你想怎么买？”）。

  2.算法选择与优化讨论：在解决问题后，引导学生反思：哪些题口算更快？哪些必须用竖式？竖式的优势在哪里？（计算准确、步骤清晰、适合较大数）。体会“根据具体情况选择合适算法”的优化思想。

  3.单元知识树建构：以“除法竖式”为中心，师生共同绘制思维导图，梳理分支：①意义（记录分的过程）；②算理（从高位除起，位值制）；③算法（五步循环：商、乘、减、比、落）；④特殊规则（0占位，余数<除数）；⑤应用（解决问题）。将之前所学的表内除法、有余数除法横式等作为“树根”，将未来要学的多位数除法作为“树枝延伸”。

  4.数学文化交流：简要介绍中国古代的“算筹”和“孙子算经”中的除法思想，或对比其他国家不同的除法记录方式，感受数学文化的多样性与人类追求简化和通用算法的智慧。

六、差异化教学支持与形成性评价设计

（一）学习支持策略

  1.对于需要基础巩固的学生：提供“分物操作包”和“步骤提示卡”，允许其在计算初期始终伴随实物操作；练习设计从图示与竖式连线匹配开始，降低门槛；采用“计算接力”游戏，每人只负责竖式中的一步，降低单次认知负荷