2025年 北师大版七年级数学上册知识点归纳总结

同学们，新学期的数学学习之旅即将开启。七年级上册的数学内容是整个初中数学的基石，它不仅承接了小学的知识，更将引领我们进入一个更为严谨和抽象的数学世界。这份知识点归纳总结，希望能帮助你理清思路，夯实基础，为后续的学习铺平道路。第一章丰富的图形世界本章旨在引导同学们从生活中发现数学，认识常见的几何体，并初步学习如何描述它们的特征。1.1生活中的立体图形我们生活在一个三维的世界里，周围充满了各种各样的立体图形。*常见的几何体：如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱（三棱柱、四棱柱等）、棱锥（三棱锥、四棱锥等）。*构成几何体的基本元素：点、线、面。面与面相交得到线，线与线相交得到点。*平面与曲面：围成几何体的面有的是平的（平面），有的是曲的（曲面）。例如，正方体的六个面都是平面，圆柱有两个平面和一个曲面。1.2展开与折叠许多立体图形是由平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形；而一些平面图形通过折叠，也可以围成立体图形。*正方体的展开图：正方体有多种不同的平面展开图，需要同学们在动手操作中熟悉和辨认，注意哪些图形可以折成正方体，哪些不能。*其他几何体的展开：如圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。1.3截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状与被截的几何体以及截面的角度和方向有关。*常见几何体的截面：例如，用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形。1.4从三个方向看物体的形状为了全面了解一个立体图形的形状，我们通常从正面、左面（或右面）和上面三个不同方向进行观察，所看到的图形分别称为主视图、左视图（或右视图）和俯视图。*三视图的画法：学习如何根据立体图形画出其三视图，以及如何根据三视图想象出立体图形的形状。这需要一定的空间想象能力，多观察、多练习是关键。学习建议：本章内容与我们的日常生活联系紧密，学习时要多观察实物，多动手操作（如展开、折叠、切割橡皮泥模型等），逐步培养空间观念和空间想象能力。第二章有理数及其运算有理数是初中数学的重要基础，本章将系统学习有理数的概念、性质和运算。2.1有理数*正数与负数：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。负数的引入是为了表示具有相反意义的量。*有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。*有理数的分类：可以按整数和分数分类，也可以按正有理数、0、负有理数分类。2.2数轴*数轴的三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。*数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点并不都表示有理数。*利用数轴比较大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。2.3绝对值*相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。*绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。*绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=-a。*利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。2.4有理数的加法*有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3.一个数同0相加，仍得这个数。*加法交换律：a+b=b+a*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)*有理数加法的步骤：先确定符号，再计算绝对值。2.5有理数的减法*有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*减法可以转化为加法进行运算。2.6有理数的加减混合运算*代数和：几个正数或负数的和称为代数和。*运算顺序：按照从左到右的顺序依次运算；有括号的先算括号里面的。*简便运算：灵活运用加法交换律和结合律，将互为相反数的数、同号的数、能凑整的数先相加。2.7有理数的乘法*有理数乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2.任何数同0相乘，都得0。*多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。*乘法交换律：a×b=b×a*乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.8有理数的除法*有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*除法可以转化为乘法进行运算。2.9有理数的乘方*乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。*乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。*注意：-aⁿ与(-a)ⁿ的区别。2.10有理数的混合运算*运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算，按照从左到右的顺序进行；3.如果有括号，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。*运算技巧：在进行混合运算时，要认真审题，确定运算顺序，灵活运用运算律简化运算。2.11用计算器进行有理数的运算*了解计算器的基本操作方法，会用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算。学习建议：本章是初中数学的计算基础，务必熟练掌握各种运算法则和运算技巧。要理解概念的本质，多做练习，注意符号问题，养成认真、细致的计算习惯。第三章整式及其加减代数式是数学表达的重要工具，本章将学习整式的概念、性质以及加减运算。3.1字母表示数*字母表示数的意义：用字母表示数，可以简明地表达数学规律、公式、法则和问题中的数量关系。字母可以表示任何数。*用字母表示运算律和公式：如加法交换律a+b=b+a，长方形面积公式S=ab等。3.2代数式*代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*代数式的书写规范：1.数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或用“·”表示，数字要写在字母前面。2.除法运算一般写成分数形式。3.带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。4.代数式后面有单位时，如果代数式是和或差的形式，要把代数式括起来。*列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。3.3整式*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。*单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。*多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。3.4合并同类项*同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。3.5去括号*去括号法则：1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*添括号法则（了解）：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。3.6整式的加减*整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。*整式加减的结果：仍是整式。*整式加减的步骤：去括号→合并同类项。学习建议：本章的重点是合并同类项和去括号法则，它们是进行整式加减运算的基础。要理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法，熟练运用去括号法则。在书写代数式和进行运算时，要注意规范。第四章基本平面图形本章将学习一些基本的平面图形及其性质。4.1线段、射线、直线*线段：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段。线段有两个端点，可以度量长度。*射线：将线段向一个方向无限延伸就得到一条射线。射线有一个端点，无法度量长度。*直线：将线段向两个方向无限延伸就得到一条直线。直线没有端点，无法度量长度。*表示方法：线段、射线、直线都可以用两个大写字母或一个小写字母表示，但要注意射线的表示中，端点字母必须写在前面。*直线的性质：经过两点有且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。*线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短（简述为：两点之间，线段最短）。*两点间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。4.2比较线段的长短*叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，根据另一端点的位置关系比较长短。*度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再进行比较。*线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。此时AM=MB=1/2AB。4.3角*角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。也可以看作：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。*角的表示方法：可以用三个大写字母（顶点字母写在中间）、一个大写字母（顶点处只有一个角时）、一个数字或一个希腊字母表示。*角的度量：度量角的工具是量角器。角的度量单位是度、分、秒。1°=60′，1′=60″。*角的分类：*锐角：大于0°且小于90°的角；*直角：等于90°的角；*钝角：大于90°且小于180°的角；*平角：等于180°的角（一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角）；*周角：等于360°的角（一条射线绕它的端点旋转一周所成的角）。4.4角的比较*叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一边的位置关系比较大小。*度量法：用量角器量出两个角的度数，再进行比较。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。4.5多边形和圆的初步认识*多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。多边形有三角形、四边形、五边形等。*正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。*圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点叫做圆心。*圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。*扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。*圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。学习建议：本章内容相对直观，学习时要结合图形理解概念和性质。要学会规范地表示线段、射线、直线和角，掌握用尺规作图（如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作线段的中点、作角的平分线）的基本方法，培养动手操作能力和空间想象能力。第五章一元一次方程方程是解决实际问题的重要数学模型，本章将学习一元一次方程的概念、解法及其应用。5.1认识一元一次方程*方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。*方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。*解方程：求方程的解的过程叫