六年级下册数学《鸽巢原理》第1课时探究式导学案

六年级下册数学《鸽巢原理》第1课时探究式导学案

一、教学内容分析

（一）教材与课标定位

【基础】本节课属于“数与代数”领域“数学广角”的内容，核心在于渗透组合数学中的一个重要原理——鸽巢原理（亦称狄利克雷抽屉原理）。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段中强调，要引导学生通过观察、实验、推理等活动，探索生活中的数学模型，感悟基本数学思想。本节课正是落实这一理念的载体，旨在让学生经历从具体到抽象的建模过程，初步体会逻辑推理和模型思想，为今后学习更复杂的组合数学问题奠定基础。

（二）本课核心内容

【核心】本节课主要探究“把多于kn个物体放入n个抽屉，总有一个抽屉里至少有（k+1）个物体”这一原理的最简形式。通过例1（4支铅笔放入3个笔筒）的教学，引导学生理解“总有”和“至少”这两个关键词的确切含义，掌握最基础的“枚举法”和更具一般性的“假设法”，初步建立“平均分”与确定“至少数”之间的内在联系，从而完成对鸽巢问题基本模型的建构。

二、学情分析

（一）知识基础

【基础】六年级学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象推理能力，能够熟练进行除法运算，并理解“有余数除法”中各部分的含义。在生活中，学生对“分配”、“分组”等现象有丰富的感性经验，这为理解鸽巢原理提供了有力的经验支撑。

（二）可能存在的认知障碍

【难点】尽管学生有一定基础，但鸽巢原理的实质是一种“存在性”定理，它并不具体指出是哪一个抽屉或具体有多少物体，而是断言在某种条件下，某种现象一定会发生。这种“必然性”的证明，以及“至少数”为什么是“商+1”而不是“商+余数”，是学生思维上的一个巨大跨越，也是本节课需要着力突破的难点。

三、教学目标设定

（一）知识与技能

【重要】引导学生通过观察、操作、推理、交流等活动，初步理解鸽巢原理，会用“枚举法”和“假设法”分析最简单的鸽巢问题，并能用有余数的除法算式表示思考过程，即至少数=商+1。

（二）过程与方法

【非常重要】经历从具体操作（摆铅笔）到抽象建模（用算式表达）的全过程，培养学生的模型意识和逻辑推理能力，体会比较、分类、归纳的数学思想。

（三）情感态度与价值观

【基础】在探究活动中感受数学的魅力，激发学习数学的兴趣，并能运用所学知识解释生活中的简单现象，增强应用意识。

四、教学重难点突破

（一）教学重点

经历鸽巢原理的探究过程，理解其基本内涵，能用“假设法”进行分析，并用有余数的除法算式进行表达。

（二）教学难点

理解“至少数”为什么要用“商+1”，即理解“最不利原则”（平均分）是保证“至少”存在的关键。同时，这也是【高频考点】中的易错点。

五、教学准备

课件（包含例1情境图、各种摆法的动态演示）、实物投影仪、小组合作学习材料（每组3个纸杯代替笔筒、4支铅笔）。

六、教学实施过程（核心环节深度展开）

（一）创境激疑，启动思维——初步感知“总有”与“至少”

1.情境导入：教师创设一个简单的游戏情境。“同学们，老师这里有一个扑克牌的小魔术，想不想看？我从一副牌中取出大小王，还剩52张。现在，我请5位同学上来，每人任意抽一张。我敢肯定，这5张牌中，至少有两张是同一花色的。”学生验证后，教师追问：“老师为什么能如此肯定？这里面藏着一个非常有趣的数学秘密，这就是我们今天要研究的‘鸽巢问题’。”（板书课题：鸽巢问题）

2.解读题意：课件出示例1：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。引导学生找出这句话中最重要的两个词语，并用自己的话解释。【重要】“总有”是什么意思？（一定有，必然存在）“至少”是什么意思？（最少，不少于，即大于或等于）。此处通过咬文嚼字，帮助学生精准把握问题的核心条件与结论，为后续的探究扫清语义障碍。

（二）操作验证，经历过程——从枚举法到假设法的跨越

1.活动一：自主探索，直观感知

【基础】学生以小组为单位，利用手中的学具（3个笔筒、4支铅笔）动手摆一摆。教师提出明确要求：把4支铅笔全部放进3个笔筒里，不考虑笔筒的顺序，看看一共有几种不同的摆法？并用你喜欢的方式（如画图、用数字记录）记录下来。

2.汇报交流，建立表象

小组代表上台展示，利用实物投影或多媒体课件呈现所有可能的摆法。通常学生会得出四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。教师引导学生观察这四种摆法，并逐一验证：在每一种摆法中，是否存在一个笔筒，里面的铅笔数大于或等于2支？学生发现，不管哪一种情况，这个结论都成立。这种方法数学上称为“枚举法”（板书）。【基础】枚举法虽然直观，但它存在局限性——当数据变大时，枚举会很繁琐甚至不可能。从而引出对更优方法的探求。

3.活动二：聚焦核心，引发冲突

【非常重要】教师提出一个具有挑战性的问题：“能不能不用把所有情况都摆出来，用一种更直接、更简单的方法，只思考一次就证明‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’这个结论是正确的？”这个问题直指本节课的核心思想——最不利原则。

4.深度思辨，提炼“假设法”

学生独立思考后在小组内交流。重点引导那些思维较深入的学生发言：我们可以这样想，为了不让某个笔筒里有2支或更多的铅笔，我们尽量让每个笔筒里的笔都少一点。所以，我们先在每个笔筒里放1支笔，这样一共放了3支，剩下的1支不管放到哪个笔筒里，那个笔筒里就变成了2支。这样就证明了结论。

教师顺势引导：“为什么要先在每个笔筒里放1支？”学生回答：“这是平均分，是为了让每个笔筒里的笔数尽可能的少，也就是我们考虑的最坏的情况（最不利的情况）。”“对！当我们从最不利的情况去思考时，剩下的1支笔，无论如何都会破坏‘平均’，从而使得至少有一个笔筒的笔数变成2。”这种思考方法就叫“假设法”，也就是“平均分”的方法（板书：假设法平均分）。

5.用算式建模

【高频考点】引导学生将刚才的思考过程用数学算式表示出来：4÷3=1（支）……1（支），这里的商1表示平均每个笔筒先放1支，余数1表示还剩下1支，这剩下的1支无论放进哪个笔筒，都会使那个笔筒变成1+1=2（支）。所以，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。板书：4÷3=1……1，1+1=2。

6.即时迁移，巩固模型

接着提问：如果把5支铅笔放进4个笔筒里，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？6支放进5个笔筒呢？10支放进9个笔筒呢？100支放进99个笔筒呢？

学生快速反应，用算式表达：5÷4=1……1，1+1=2；6÷5=1……1，1+1=2；……

【重要】引导学生发现规律：当铅笔数只比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。从而将具体的算式抽象为数学模型：物体数÷抽屉数=1……1，至少数=1+1=2。

（三）变式拓展，深化理解——突破“商+余数”的思维定式

1.设置认知冲突

【难点】教师改变数据，出示新问题：把5支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？学生脱口而出可能有两种答案：有的说至少2支，有的说至少3支。此时，教师不急于评判，而是追问：“到底是多少？我们还能用刚才的平均分方法来解决吗？请小组再次讨论，并用算式表达你的想法。”

2.辨析与论证

学生通过讨论，用假设法思考：为了尽可能让每个笔筒里的笔少，我们先平均分，5÷3=1（支）……2（支），即每个笔筒先放1支，还剩下2支。这2支笔怎么放？如果都放进同一个笔筒，那个笔筒就是3支；如果分别放进两个不同的笔筒，那两个笔筒就各变成2支。

【非常重要】关键辨析点来了：“我们要保证的是‘至少’有几支，那么剩下的2支笔，我们要考虑哪种分法，才能得到那个最小的‘保证数’？”引导学生明白，我们还是要从“最不利”的角度继续平均分，把这2支笔再平均分到两个不同的笔筒里，每个笔筒再添1支。这样，最终每个笔筒的支数情况是：有一个笔筒有1+1=2支，另外两个笔筒一个原来是1支，现在加上1支也变成了2支，还有一个是1支？不对，重新梳理：5支笔，先每个放1支（用掉3支），剩2支。要保证“至少”的情况，我们要让这2支笔尽量分散，以延缓某个笔筒数量过快增长，所以把这2支笔分别放入两个笔筒中。此时，三个笔筒的笔数分别是：2支、2支、1支。因此，总有一个笔筒里至少有2支笔。

由此得出结论，至少数不是1+2=3，而是1+1=2。板书：5÷3=1……2，1+1=2。

3.规律总结

【高频考点】【核心】引导学生对比两组算式：4÷3=1……1，5÷3=1……2，7÷3=2……1，8÷3=2……2，10÷3=3……1……观察商和余数，看看“至少数”究竟跟谁有关。通过多组算式的对比分析，学生最终归纳出：把物体放进抽屉，求总有一个抽屉里至少有几个物体时，可以用物体数除以抽屉数求出商和余数，结果至少数等于商加1（当有余数时）。板书建模：至少数=商+1。

教师强调：这个“1”不是余数，而是平均分后剩下的物体不管怎么放，都会使某个抽屉在商的基础上增加1个。这里一定要厘清概念，避免学生错误地记忆为“商+余数”。

（四）回归生活，模型应用——在解决问题中巩固升华

1.解释课前魔术

【热点】回到课始的扑克牌魔术：5张牌，4种花色。把4种花色看作4个抽屉，5张牌看作要放的物体。5÷4=1（张）……1（张），根据规律，总有一个抽屉里至少有1+1=2张牌，所以至少有2张牌是同一花色的。学生恍然大悟，感受到了数学原理的神奇力量。

2.分层练习，巩固模型

基础练习（全员达标）：【基础】

（1）7只鸽子飞进5个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽子？为什么？

（2）把11个苹果放进4个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进几个苹果？

综合练习（能力提升）：【重要】

（1）我们班有48名同学，至少有几位同学的生日是在同一个月？为什么？（把12个月看作12个抽屉，48÷12=4，商是4，没有余数，此时至少数就是商本身，即至少有4名同学同一个月生日。）这里要补充说明“整除”的情况，完善模型：至少数=商（当没有余数时）。

（2）一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各10个，至少要摸出多少个球，才能保证有4个球颜色相同？（提示：把三种颜色看作3个抽屉，要保证有4个，即让至少数=4，那么商就是3，物体数至少是3×3+1=10个。）

拓展练习（思维挑战）：【难点】【热点】

一副扑克牌（去掉大小王），有4种花色，每种花色13张。至少抽出多少张牌，才能保证有6张牌是同一花色？

（五）课堂总结，内化提升

1.回顾梳理：引导学生回顾本节课的学习路径：我们从一个生活问题出发，通过动手操作（枚举）、优化方法（假设）、建立模型（至少数=商+1）、再到应用模型解决问题。这个过程就是我们研究数学问题的一般方法。

2.思想升华：今天我们学习的鸽巢原理，看似简单，却蕴含着“最不利原则”这一深刻的数学思想。它告诉我们，在考虑“保证”问题时，一定要先考虑最坏的情况。这种思想不仅在数学中重要，在我们的生活中、游戏中、甚至未来的工作中，都有着广泛的应用。

七、板书设计

六年级下册鸽巢问题（一）

总有：一定有至少：最少，不少于

枚举法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）

假设法（最不利原则/平均分）：

4÷3=1（支）……1（支）1+1=2（支）

5÷4=1（支）……1（支）1+1=2（支）

5÷3=1（支）……2（支）