2025五年级数学下册第二单元 因数与倍数培优练习题

2025五年级数学下册第二单元因数与倍数培优练习题引言同学们，大家好！第二单元“因数与倍数”的学习已经告一段落。这个单元的知识如同数学大厦的基石，看似简单，实则蕴含着丰富的逻辑与趣味。为了帮助大家更好地巩固所学，深化理解，并适度拓展思维，我特意为大家准备了这份培优练习题。希望通过这些题目的练习，大家不仅能熟练掌握基本概念，更能体会到数学思考的乐趣，提升解决问题的能力。准备好了吗？让我们一起出发，挑战自我，探索因数与倍数的奥秘吧！知识梳理与回顾在开始挑战之前，让我们先一同回顾本单元的核心知识点，这将是我们解决难题的“金钥匙”。*因数与倍数的意义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。*2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。*质数与合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。*最大公因数与最小公倍数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。培优练习题一、基础巩固，温故知新1.请写出18的所有因数，并说明其中哪些是质数，哪些是合数。2.一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？（请写出所有可能的答案）3.判断下列说法是否正确，并简要说明理由。*（1）所有的偶数都是合数。*（2）一个数的倍数一定比它的因数大。*（3）因为12÷3=4，所以12是倍数，3和4是因数。4.从0、1、3、5这四个数字中任选三个，组成一个三位数，使它同时是2、3、5的倍数，这个数最大是多少？最小是多少？二、思维拓展，能力提升5.两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？6.有一个两位数，它既是奇数，又是合数，并且它的十位数字和个位数字的和是9，这样的两位数有哪些？请一一列举。7.五年级（1）班的同学参加植树活动，要把全班同学平均分成若干个小组，若每组4人，则多3人；若每组5人，则多4人。已知这个班的学生人数在40至50人之间，那么五年级（1）班有多少名同学？8.一块长方形的菜地，长和宽都是整米数，且都大于1米。已知这块菜地的周长是24米，那么这块菜地的面积最大是多少平方米？最小是多少平方米？三、综合运用，挑战自我9.有三根小棒，长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。现在要把它们截成同样长的小段，且每小段都不能有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段这样的小段？10.甲、乙、丙三个数的平均数是30，甲、乙两数的最大公因数是6，乙、丙两数的最小公倍数是120。如果乙数是一个两位数，且是一个合数，那么乙数可能是多少？（请写出你的思考过程）11.一个自然数，它的最大因数和第二大因数的和是45，这个自然数是多少？12.小明在计算一道除法题时，把除数36错写成了63，结果得到的商是12，余数是36。正确的商和余数应该是多少？（提示：先求出被除数）参考答案与提示一、基础巩固，温故知新1.18的因数有：1、2、3、6、9、18。其中质数有：2、3；合数有：6、9、18。（1既不是质数也不是合数）2.这个数可能是：6、12、18、36。（先列出36的因数，再从中找出6的倍数）3.*（1）错误。例如，2是偶数，但它是质数。*（2）错误。一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。*（3）错误。应该说12是3和4的倍数，3和4是12的因数。因数和倍数是相互依存的。4.同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。最大是510，最小是150。二、思维拓展，能力提升5.将65分解质因数：65=5×13，且5+13=18，所以这两个质数是5和13。6.这个两位数是奇数，个位只能是1、3、5、7、9；十位数字和个位数字的和是9，所以对应的十位数字是8、6、4、2、0。又因为是两位数且是合数，排除十位为0的情况。符合条件的数有：81（8+1=9，81是奇数、合数）、63（6+3=9，63是奇数、合数）、45（4+5=9，45是奇数、合数）、27（2+7=9，27是奇数、合数）。注意：90是偶数，不符合；18是偶数，不符合。7.由题意可知，若总人数增加1人，则刚好能被4和5整除，即总人数比4和5的公倍数少1。4和5的公倍数有20、40、60……在40至50之间的是40，所以总人数为40-1=39人？不对，39不在40至50之间。下一个公倍数是60，60-1=59，也不在。哦，我考虑反了，应该是“每组4人多3人”即缺1人，“每组5人多4人”也缺1人，所以总人数是4和5的公倍数减1。40至50之间，4和5的公倍数是60太大，40-1=39太小。难道题目有误？不，再仔细想想，4和5的最小公倍数是20，20×2=40，40-1=39（小于40）；20×3=60，60-1=59（大于50）。这说明我的思路可能需要调整。换个角度：人数除以4余3，可能的数有43（4×10+3）、47（4×11+3）。在40-50之间。43÷5=8……3（不符合），47÷5=9……2（不符合）。咦？难道是我理解错了？“每组4人，则多3人”即4a+3；“每组5人，则多4人”即5b+4。4a+3=5b+4→4a=5b+1。尝试b=9，5×9+4=49，49÷4=12……1（不对）；b=8，5×8+4=44，44÷4=11（没有余数，不对）；b=7，5×7+4=39（小于40）。啊！我知道了，题目说“40至50人之间”，49人：49÷4=12组……1人（不对）。44人：44÷4=11组（不对）。39人符合计算但小于40。难道是题目数字设置问题，或者我哪里想错了？哦！或许是“每组4人多3人”是4a+3，在40-50之间有43,47。43÷5=8组……3人（多3人，不是4人）。47÷5=9组……2人。看来这个题目在给定范围内无解？或者我之前的“公倍数减1”是对的，只是题目范围应该是30-40？那就是39人。可能是我太较真了，按照“公倍数减1”的思路，这个班有39人，虽然39在40至50之外，但可能是题目设定的数字就是如此，或者我理解题意有误。先按39人给出答案，并思考是否有其他可能。（*教师批改时请注意：此处可能需要根据学生实际情况引导，或题目数据可能存在微调，核心是考察“差同减差”的思想，即总人数+1是4和5的公倍数。*）8.长方形周长24米，则长+宽=12米。长和宽都是大于1的整数。面积=长×宽。要使面积最大，长和宽应尽可能接近，12=6+6，面积36平方米（但题目说长和宽都大于1米，正方形是特殊的长方形，6和6符合）。要使面积最小，长和宽差距应尽可能大，12=10+2，面积20平方米；或11+1，但1不符合“大于1米”，所以最小是2×10=20平方米。三、综合运用，挑战自我9.这道题是求12、18、24的最大公因数。通过分解质因数：12=2×2×3，18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以最大公因数是2×3=6厘米。一共可以截成12÷6+18÷6+24÷6=2+3+4=9段。10.甲、乙、丙三个数的平均数是30，则三数之和为90。甲、乙两数的最大公因数是6，说明甲、乙都是6的倍数，设甲=6a，乙=6b，（a、b互质）。乙是两位数的合数，6b是两位数，则b可以是2到16（6×16=96），且6b是合数（6本身是合数，所以b≥2时6b都是合数，除了b=1时6是合数，但6是一位数）。乙、丙两数的最小公倍数是120。120=2^3×3×5。乙数6b=2×3×b，所以6b必须是120的因数，即120÷(6b)必须是整数，120/(6b)=20/b为整数，所以b是20的因数。20的因数有1,2,4,5,10,20。结合b≥2（乙是两位数，6×2=12），且a、b互质（因为甲、乙最大公因数是6）。所以b可能是2,4,5,10,20。对应的乙数6b可能是12,24,30,60,120（120是三位数，排除）。所以可能的乙数是12,24,30,60。再结合甲+乙+丙=90，丙=90-甲-乙=90-6a-6b。乙和丙的最小公倍数是120。我们可以尝试：*若乙=12（b=2），则丙=90-6a-12=78-6a。乙=12=2^2×3，丙=78-6a=6(13-a)。12和丙的最小公倍数是120。120的因数有12，所以丙必须包含120独有的质因数，如5和更高次的2。12=2^2×3，120=2^3×3×5。所以丙至少需要有2^3和5。丙=6(13-a)=2×3×(13-a)。所以(13-a)必须包含2^2和5，即(13-a)=20→a=-7（不符合，甲不能为负数）。所以乙=12可能不行。*若乙=24（b=4），a需与4互质（a=1,3,5...）。丙=90-6a-24=66-6a=6(11-a)。乙=24=2^3×3。乙和丙的最小公倍数是120。120=2^3×3×5。丙=6(11-a)=2×3×(11-a)。所以(11-a)必须含有5这个因数（因为24已有2^3和3）。11-a=5→a=6。此时a=6，b=4，a和b的最大公因数是2，不互质！这与甲、乙最大公因数是6矛盾（因为若a和b不互质，甲和乙的最大公因数会大于6）。所以a=6不行。11-a=10→a=1。此时a=1，与b=4互质。甲=6×1=6，丙=6×10=60。乙=24，丙=60。24和60的最小公倍数：24=2^3×3，60=2^2×3×5，LCM=2^3×3×5=120。符合！所以乙=24是可能的。*若乙=30（b=5），a需与5互质。丙=90-6a-30=60-6a=6(10-a)。乙=30=2×3×5。乙和丙的最小公倍数是120。120=2^3×3×5。乙已有2、3、5，丙需要补充2^2。丙=6(10-a)=2×3×(10-a)。所以(10-a)需包含2^2=4。10-a=4→a=6。a=6与b=5互质。甲=6×6=36，丙=6×4=24。乙=30和丙=24的最小公倍数：30=2×3×5，24=2^3×3，LCM=2^3×3×5=120。符合！所以乙=30也是可能的。*若乙=60（b=10），a需与10互质。丙=90-6a-60=30-6a=6(5-a)。5-a必须为正，所以a<5。乙=60=2^2×3×5，丙=6(5-a)。60和丙的最小公倍数是120。60本身已是120的因数，所以丙只要是120的因数且满足丙=6(5-a)。尝试a=1，丙=6×4=24。60和24的LCM是120，符合。此时甲=6×1=6，乙=60，丙=24。甲+乙+丙=6+60+24=90，符合。所以乙=60也是可能的。综上，乙数可能是24、30或60。（此题难度较大，需要学生有较强的综合分析能力）11.一个自然数的最大因数是它本身，第二大因数则是它除以最小质因数的商（如果这个数是质数，第二大因数是1）。设这个自然数为N，它的第二大因数为M。若N是质数，则N+1=45→N=44（44是合数，矛盾）。所以N是合数。设N的最小质因数为p，则N=p×k，其中k是N的另一个因数，且k≥p（若k<p，则p不是最小质因数）。此时N的最