广东省江门市2026年高考模拟考试(一模)数学试题( 含答案)_第1页
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文档简介

江门市2026年高考模拟考试数学

满分150分。考试时间120分钟。

注意事项:

1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.做选择题时,必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时,必须用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。

5.考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

5

1.已知=(其中i是虚数单位),则的共轭复数为

2i

A.2�B.−2+C.105D.10�+5

+2

2.已−知�集合=� −0�,= 2�8,则=

4

��

A.[2,3)�B.[�2,�+−≤)C�.3,4�D≥.3,4�∩�

22

3.已−知双曲线−=1∞的两个焦点分别是与,焦距为8,是双曲线上的一

2712

��

点,且=5,则=

1�−2���

A.1�B.�8C.9D�.1�1

4.某班级图书角有5种课外书,甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种,则两人

选的课外书没有相同种类的选法有

A.20种B.30种C.40种D.60种

5.设是定义在上且周期为2的奇函数,当2<3时,=log22,则

1

=

2����≤���−

A�.−-1B.1C.2D.3

6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检测相似度的常用

方法.假设二维空间中有两个点1,1,2,2,为坐标原点,定义余弦相似度

�������

为cos,=cos,(其中,为向量,的夹角),余弦距离为1

2

cos,.已知cos,sin,0,1,若,的余弦距离为,则sin2=

52

��⟨����⟩⟨����⟩�����−

247724

A.��B.�C.�D�.���−�

25252525

7.已−知正方体−1111的棱长为3,点是正方形内(含边界)的

一个动点,且满足1=13,则点的轨迹长为

��𝐵−�������𝐵

A.B.C.D.2

42���

��

3

8.已知函数�=+�,=+,=+log2,若==,则

,,的大小关系不可能是

��������ℎ�������ℎ�

�A.��>>B.>>C.>>D.>>

������������

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50

350之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分

布直方图.∼

𝑘⋅ℎ

根据此频率分布直方图,则

A.=0.004

B.估�计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为136.1 kWh

C.估计该小区有一半左右的居民用户,其月用电量介于150 kWh至250 kWh之

⋅⋅

D.当该小区的月用电标准定在245.5 kWh时,该小区大约80%的居民用户用电量

不受影响

10.在中,角,,的对边分别为,,,且sin2+sin2sin2=sinsin,

△�����������−���

A.=

3

�27

B.当=2时,sin=

7

C.当�+�=4时,�面积的最大值为1

1

D.当��为锐角△三��角�形时,的取值范围是,2

2

11.设△抛物��线�:2=2的焦点为�,过点2,0的直线交抛物线于,两点,点

为线段中点,若与平行的直线与抛物线相切于点,则

�������

�A.�是�直角三角形��B.点的轨迹方程为�=2+1�0

C.△�与��轴平行D.����≠

�������≤����

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

16

12.在的展开式中,常数项是_____.(用数字作答)

13.在�−�中,==6,=,是边的中点,是边上的点,且

2

=2,则向量与向量的夹角的余弦值为_____.

△�������∠�������

�14�.已知��一个圆锥的底��面半径为�3�,侧面积为18.若在该圆锥内能放入一个可以任

意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计),则该正方体体积的最大值为

_____.�

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

15.(本题13分)

已知数列的首项1=3,前项和为,且满足+3=+1+.

(1)求证:数列��1为�等比数列�;�������

(2)若=�,�−求数列的前项和.

����������

16.(本题15分)

如图,在三棱柱111中,=23,=4,=30,平面

11平面.∘

���−�������∠���

�(1�)求�证�:⊥��1�;

(2)若1��=2⊥,��直线1与平面所成的角为60,求二面角1的

平面角的余弦值.∘

��������−��−�

17.(本题15分)

某学校组织学科创新能力知识竞赛,参赛选手随机从A、B、C三类问题中各抽取

一个问题回答,A、B、C类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分,回答错误

321

得0分.已知甲同学能正确回答A、B、C类问题的概率依次为、、,乙同学能

432

1

正确回答A、B、C类问题的概率都为,总分最高的选手获胜,且甲、乙同学能正确

2

回答问题的概率与顺序无关.

(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;

(2)记为甲同学的总得分,求的分布列及期望;

(3)已知�乙同学在比赛中获胜,求�甲同学的总得分不低于5分的概率.

18.(本题17分)

223

已知椭圆:+=1>>0的长轴长为4,离心率为.

222

��

(1)求椭圆的�标�准�方程;��

(2)椭圆的左右顶点分别为1,2,是直线=4上一点,直线1,2分别交

椭圆于点,两点,连接交轴于点.

���������

(i)当1�2�最大时,求点�的�坐标�;�

若求的取值范围

(ii)∠���1=2,�.

19.(本�题△�1�7�分)�⋅�△����

帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知

++2++

函数在=0处的,阶帕德近似定义为:=012,且满足

1++2++�

��1��2�⋯���

′′22++其中�2

0=��0,�0=0�,�0=0,0�=���0�.�⋯���=

′′��′��

�′�,3�=�2�,+�=�+1.�已知=ln�+1�在

1

��++�2�−

012

�=�0处的�2,�2阶帕�德近�似为��=�1.����

1++2

��1�6�

������

(1)求0,1,1的值;

(2)若对�于�任�意的[0,+),不等式恒成立,求的取值范围;

22

(3)已知1,2,3是�∈函数∞=1�ln�≥�⋅�1�的三个不同的�零点,且1<

2<3,求实数的取值范围,并证明31+22+3+2>0.内部资料・

注意保存���ℎ��−�−��−�

����−����

江门市2026年高考模拟考试答案数学

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

题号12345678

答案ACDBBCCD

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多

项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

题号91011

答案BCDADACD

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

题号121314

答案1538

5

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列的首项1=3,前项和为,且满足+3=+1+.

(1)求证:数列��1为等�比数列;��������

(2)若=�,�−求数列的前项和.

����������

(1)由+3=+1+,①

��

当=�1时,�1+3=�2+1,由1=3,解得2=5,.1分

当�2时,�1+3=�+1,�②2分�

�−�

①-�②≥得:=�+1�+1,�−即+1=21,3分

�����

从而+1�1�=2−�1,24�分�−

��

又因为�1−1=2�,且−2�1≥=4=211也满足上式,所以数列1是以2

为首项,2为公比的等比数列..5分

�−�−�−��−

6分

(2)由(1)得1=221=2,则=2+1,从而==2+,7分

�−���

所以=�1�−21+1×+222+2+��+2+,������⋅�

=1��21+2×22++×2+1+2⋯++�⋅,8分�

令×=12×1+2⋯22+�⋅+2,①⋯�

则�2�=1×22+2×23+⋯+�⋅2+1,②.9分

�22+1

①-②�得:×=2+×22+23⋯+�+⋅22+1=2+1=12+12,

1�2

10分����

−��⋯−�⋅−−�⋅−�−

所以=12+1+2,11分

�+1

又1+�2+�+−=,12分

2

��

+1

所以=⋯�12+1+2+.13分

2

���

16.如�图,在三�−棱柱111中,=23,=4,=30,平面

11平面.∘

���−�������∠���

�(1�)求�证�:⊥��1�;

(2)若1��=2⊥,��直线1与平面所成的角为60,求二面角1的

平面角的余弦值.∘

��������−��−�

(1)因为在中,=23,=4,=30,由余弦定理得:

2=2△+��2�2��cos��=∠12��+�162234cos30=4,1分所

以=2,2分∘

������−��⋅��∠���−×××

222

所以��+=4+12=16=,故,3分又因为平面11平面

,

��������⊥������⊥

�平�面�11平面=,平面,.4分

所以����平面∩1��1�,.5�分���⊂���

又�1�⊥平面���1�1,所以1..6分

(2)解��法一⊂:过1�作���1�,�垂⊥足��为,

因为平面�11�平�面⊥��,�

平面1��1��平面⊥�=��,1平面11,

所以��1��平∩面�,�.�7分����⊂����

直线��是⊥直线��1�在平面上的投影,

所以��1是直�线�1与平�面��所成的角,即1=60.8分

由(1)知∠���=2,又��1=1=�2�,�∠���

������

连接1,则是等边三角形,

取�1�的中点△�,�连�接,,

则��1,�10分����

由(�1�)知⊥��1,=,

所以1��平⊥面��,�所�以∩��1�,11分

所以��⊥是二面�角���1�⊥的��平面角,12分

∠����−��−�

由(1)知平面11,所以,

又=��⊥22�=��2�212=3�,�⊥=��22=4212=15,

35

所以��cos��−=��==−,14分����−��−

155

��

∠�����5

所以二面角的平面角的余弦值为.15分

15

解法二:过�1作−��1−�,垂足为,

因为平面�11��平⊥面��,�

平面1��1��平面⊥�=��,1平面11,

所以��1��平∩面�,�7�分����⊂����

则直线��⊥是直线���1在平面上的投影,

所以�1�是直线��1与平面���所成的角,且1=60,8分

31

则∠�=��sin60=��sin60=��2�=3,=∠���cos60=2=1,.9分

111212

∘∘∘

1

由(�1�)可知��=,��即是的×中点.����×

2

取的中点��,连�接�,则��//�,.

以��为原点,�,,𝐵1所在�直�线��分�别�为⊥�轴�、轴、轴,建立如图所示的空间

直角坐标系,则0,1,0, 10,0,3, 23,1,0,10分

�𝐵�������

�−��

所以1=0,1,3,=23,2,0.

设平面��11的法向�量�为=,,,

���=�+3=0����

则1,

=23+2=0

�⋅����

�⋅����

取=1,则=3,=1,

所以�=1�,−3,1�是平面11的一个法向量.12分

取平面�1−1的法向量为�=��1,�0,0,13分

15

则cos<��,��>==�=,14分

515

�⋅�

����×5

所以二面角的平面角的余弦值为.15分

15

17.某学校组�织−学�科�创−新�能力知识竞赛,参数选手随机从A、B、C三类问题中

各抽取一个问题回答,A、B、C类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5

分,回答错误得0分.已知甲同学能正确回答A、B、C

3211

类问题的概率依次为、、,乙同学能正确回答A、 B、C类问题的概率都为,

4322

总分最高的选手获胜,且甲乙能正确回答问题的概率与顺序无关.

(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;

(2)记为甲同学的总得分,求的分布列及期望;

(3)已知�乙同学在比赛中获胜,求�甲同学的总得分不低于5分的概率.

(1)设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确,

13131

=2+3=.3分

32322

(�2)�可�能的取值�有0,2,3,5,7,8,10,4分

32113213

�=0=111=, =2=11=,

4322443224

321232132

��=3=1−−1−=, ��=5=1×−1−+1

4322443243

17

=,

2��24−××−��−×−×××−

32133212

=7=1=, =8=1=,(对2个正确给1分)

4322443224

3216

��=10=×−=×.8分��−××

43224

�所以�的分布×列为×:

0�2357810

1243272432624

24242424

1327326144

=0+2+3+5+7+8+10==6.10分

2424242424242424

��×××××××

(3)记为乙同学的总得分,可能的取值有0,2,3,5,7,8,10,则

1

=�==0,2,3,7,8,10�,11分

8

1

��=5�=.�12分

4

�设事�件E表示乙获胜,事件F表示甲的总分不低于5分,

11141611311611864

法一:=+++++=,13分

824824424824824824192

1711011229

�=�+×+××=,14×分××

824824824192

29

���=×=×.15分×

64

���

��21327325361764

法�二�∣�:=+++++=13分

248248248248248248192

73322129

�=�+×+×=××,14分××××

248248248192

29

���=×=×.15分×

64

���

��∣���223

18.已知椭圆:+=1>>0的长轴长为4,离心率为.

222

��

(1)求椭圆的标�准�方程�;��

(2)椭圆的左右顶点1,2,是直线=4上一点,直线1,2分别交椭圆于

点,两点,连接交轴于点.

���������

(i)当��12最大时�,求�点�的坐标;�

若求的取值范围

(ii)∠���1=2,�.

(1)由题�△意�可��得,�2⋅�=△4��,即�=�2,1分

3

又==,得c�=3,2分�

2

又�2+�2=2,得=1,3分

2

所以�椭圆�的�标准�方程为+2=1.4分

4

(2)(i)设点�4,,直线1,�2的倾斜角分别为,,

得=t�an=�, =��tan��=,.5分��

1622

��

��������

当=0时,tan12=0,此时12=0,6分

当�>0时,∠1��2�=,∠���

�∠���tan�ta−n�26443

则有tan12==��==12,

1+tantan1+12+2+3

�−�−62�

��

∠�����×���≤

当且仅当=23时,等号成立,.7分

当<0时�,12=,

�∠���tan�ta−n�62443

则有tan12==��==12,

1+tantan1+12+23

�−�−62−�

��

∠�����×�−�−�≤

当且仅当=23时,等号成立(也可以由对称性得结论)8分

综上所述,�当且−仅当=23时,tan有最大值,即有最大值,

12126

所以当点的坐标是�±4,23或4,∠�2��3,有最∠大�值��.9分

126

(ii)法一:设�点4,,当=0是两个−三角形不∠�存�在�,所以0,

直线,的�方�程分别�为=+2,=2,10�≠分

1262

��

����=+2����−

62222

联立方程得2�,消去得9++4+436=0,

+2=1

�4�

�������−

�182218226

解得=2或=,即点,,11分

9+29+29+2

−�−��

�−�=�2���

22222

联立方程得2�,消去得1+4+44=0,

+2=1

�4�−

����−���−

�2222222

解得=2或=,即点,,12分

1+21+21+2

�−�−−�

������

62

222

=9+1+=,

�2−2�2

182−223

22�

���9+�1+�−

−��−�−

22−222

直线的方程为=�,�13分

1+2231+2

−���−

2

化简得��=�1−,所�以直−线�−�−过定�点1,0.14分

32

1336

又�=−��−=�=�,�

12112129+2

△���1112

�=��×�=�=×,�15分

22222221+2

−�

△���362

若�=��×�,得�×=�,

1229+221+2

��−�

��

�△���1⋅+�2△��8×�×�

化简得=9=91,16分

9+29+2

18

由2>0�,则<�1<−1,则�1<<9.17分

99+2

法二�:当直线−与�轴重合时,显然�不满足题意.

设直线为��=�+,1,1,2,2,点,0是直线与轴的交点,

=+

联立方程�组�����,消�去��得�2�+4�2+2��+24=�0�,�

2+42=4

����

2�24������−

所以有+�=�,=,10分

122+4122+4

���−

直线�的方�程−为�=�1�+�2,直线的方程为=22,11分

1+222

�12�

��=1��+2�����−�−

+22+4

联立方程得�1,解得=211212,

222

=�2�2�1�1�2−1�−�2

�22�

��−��−��−�−�

��−�−

又1=1+,2=2+,

4+2+4

所以�点�的�横�坐�标为��=�121212,12分

2+

���1��2�−1�2−�

�2�−2�4�−�−��

代入+=,=得

122+4122+4

���−

421642��16

��−41�2�412+

2+42+42+44

=��−���4=4�==4,13分

1−2+−�−��1−�2+

��2+4�2+4

����

�−��−���−��

解得=1,即点�1,0,14分�

��

1311

由于==, ==,15分若

121121222222

△=���,即=,由图△�可��知,异号,即=,

1��2��13�2�1�2��1�32

��

△���△���23

所�以有�+⋅�=1�=�,=�2=�,�−�

12322+412322+4

���−

��43−2�−���−��

化简得2=.16分

19

−�

�−�−4�3−2

该方程有解,即0,则1<<9.17分

19

−�

19.帕德逼近是法−国�−数学�−家亨≥利·帕德发�明的用有理多项式近似特定函数的方法.已

知函数在=0处的,阶帕德近似定义为:

++2++

==012,且满足0=0,′0=′0,20=

��1�++2++���

�����1��2�⋯���

�′′

�2�0,���+0�=���+⋯0���.其中2�=�′,�3�=2�,

����′

�+�=+1�.已知�=l�n+1�在�=�0处�的2�,2阶�帕德近似为

1

��++2��−

012

�=�1�.�����

1++2

��1�6�

�����

(1)求0,1,1的值;

(2)若对�于�任�意的[0,+),不等式恒成立,求的取值范围;

22

(3)已知1,2,3是�∈函数∞=1�ln�≥�⋅�1�的三个不同的�零点,且1<

2<3,求实数的取值范围,并证明31+22+3+2>0.

���ℎ��−�−��−�

11

(�1)�=ln+1�,′=,2=�−�,0�=0,�′0=�1,20=

+1+12

1,0==0,1分

��0������−����−

1

+2112++

��12′261′

所以=,=��,0==1,.2分

12121

1+��1+�−1++�2��

66

������������

1111

12++1322+1

′26261321

所以=�,=,.3分

1213

1+−�+�2−�−1+�−+�−2�−�

1616

����

2������

0=121=1,所以1=1,.4分

1

+22

�−�−26�+3

(2)由(1)得:=1=.

1++26+6+2

��6��

����

��6+32

令==ln+1,0,.5分

6+6+2

���

由于��0�=0�,所−以��若��−恒成��立,则�≥在=0附近单调递增,即

′00,

���≥�⋅�����

1122+36+36

又�′≥=,所以′0=10,则1..6分

+122

�6�+6+�

���−���−�≥�≤

下面证明充分性,即当1时,不等式恒成立,

6+32

由于当>0时,ln+�1≤0,�0�,≥�⋅��

6+6+2

��

��≥��≥6+32

所以若0,则=ln+10恒成立,.7分

6+6+2

���

�≤���−6+�3�2≥6+32

若0<1时,=ln+1ln+1,

6+6+26+6+2

�����

6+32����

令�=≤ln+�1��,−0,.8分≥�−

6+6+2

��

��1�122+36−+36��4

′==�≥,所以′0,

+12222

6�+6+�+16�+6+

���−�������≥

则在[0,+)单调递增,又0=0,

6+32

所以��0恒∞成立,即ln+1�0在[0,+)上成立,

6+6+2

��

��≥6+�32−��≥∞

则有=ln+10成立,充分性得证,.9分所以当1时,不等式

6+6+2

���

恒成立.10分

���−��≥�≤

111

(�3)�由≥�⋅�=�21ln,设=ln, >011分′=

+1+1

��−��−

22+21+1

=, >0,���

+12ℎ�+1�2−�−���−���−

��−��

令�=��2+21�+1,>0,

当��0时�,′−0�,即�′�0,则在0,+上单调递增,不满足题意,

当�≤>0时,�=�41≥2�4�≥0,即0�<�2,∞

�Δ−�−≤�≤

此时′0恒成立,′0,则在0,+上单调递增,不满足题意,

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