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文档简介
江门市2026年高考模拟考试数学
满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.做选择题时,必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时,必须用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。
5.考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
5
1.已知=(其中i是虚数单位),则的共轭复数为
2i
A.2�B.−2+C.105D.10�+5
+2
2.已−知�集合=� −0�,= 2�8,则=
4
��
A.[2,3)�B.[�2,�+−≤)C�.3,4�D≥.3,4�∩�
22
3.已−知双曲线−=1∞的两个焦点分别是与,焦距为8,是双曲线上的一
2712
��
点,且=5,则=
1�−2���
A.1�B.�8C.9D�.1�1
4.某班级图书角有5种课外书,甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种,则两人
选的课外书没有相同种类的选法有
A.20种B.30种C.40种D.60种
5.设是定义在上且周期为2的奇函数,当2<3时,=log22,则
1
=
2����≤���−
A�.−-1B.1C.2D.3
6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检测相似度的常用
方法.假设二维空间中有两个点1,1,2,2,为坐标原点,定义余弦相似度
�������
为cos,=cos,(其中,为向量,的夹角),余弦距离为1
2
cos,.已知cos,sin,0,1,若,的余弦距离为,则sin2=
52
��⟨����⟩⟨����⟩�����−
247724
A.��B.�C.�D�.���−�
25252525
7.已−知正方体−1111的棱长为3,点是正方形内(含边界)的
一个动点,且满足1=13,则点的轨迹长为
��𝐵−�������𝐵
A.B.C.D.2
42���
��
3
8.已知函数�=+�,=+,=+log2,若==,则
,,的大小关系不可能是
��������ℎ�������ℎ�
�A.��>>B.>>C.>>D.>>
������������
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50
350之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分
布直方图.∼
𝑘⋅ℎ
根据此频率分布直方图,则
A.=0.004
B.估�计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为136.1 kWh
⋅
C.估计该小区有一半左右的居民用户,其月用电量介于150 kWh至250 kWh之
间
⋅⋅
D.当该小区的月用电标准定在245.5 kWh时,该小区大约80%的居民用户用电量
不受影响
⋅
10.在中,角,,的对边分别为,,,且sin2+sin2sin2=sinsin,
则
△�����������−���
A.=
3
�
�27
B.当=2时,sin=
7
C.当�+�=4时,�面积的最大值为1
1
D.当��为锐角△三��角�形时,的取值范围是,2
2
�
11.设△抛物��线�:2=2的焦点为�,过点2,0的直线交抛物线于,两点,点
为线段中点,若与平行的直线与抛物线相切于点,则
�������
�A.�是�直角三角形��B.点的轨迹方程为�=2+1�0
C.△�与��轴平行D.����≠
�������≤����
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
16
12.在的展开式中,常数项是_____.(用数字作答)
13.在�−�中,==6,=,是边的中点,是边上的点,且
2
�
=2,则向量与向量的夹角的余弦值为_____.
△�������∠�������
�14�.已知��一个圆锥的底� � 面 半径为� 3 � , 侧面积为18.若在该圆锥内能放入一个可以任
意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计),则该正方体体积的最大值为
_____.�
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15.(本题13分)
已知数列的首项1=3,前项和为,且满足+3=+1+.
(1)求证:数列��1为�等比数列�;�������
(2)若=�,�−求数列的前项和.
����������
16.(本题15分)
如图,在三棱柱111中,=23,=4,=30,平面
11平面.∘
���−�������∠���
�(1�)求�证�:⊥��1�;
(2)若1��=2⊥,��直线1与平面所成的角为60,求二面角1的
平面角的余弦值.∘
��������−��−�
17.(本题15分)
某学校组织学科创新能力知识竞赛,参赛选手随机从A、B、C三类问题中各抽取
一个问题回答,A、B、C类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分,回答错误
321
得0分.已知甲同学能正确回答A、B、C类问题的概率依次为、、,乙同学能
432
1
正确回答A、B、C类问题的概率都为,总分最高的选手获胜,且甲、乙同学能正确
2
回答问题的概率与顺序无关.
(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;
(2)记为甲同学的总得分,求的分布列及期望;
(3)已知�乙同学在比赛中获胜,求�甲同学的总得分不低于5分的概率.
18.(本题17分)
223
已知椭圆:+=1>>0的长轴长为4,离心率为.
222
��
(1)求椭圆的�标�准�方程;��
(2)椭圆的左右顶点分别为1,2,是直线=4上一点,直线1,2分别交
椭圆于点,两点,连接交轴于点.
���������
(i)当1�2�最大时,求点�的�坐标�;�
若求的取值范围
(ii)∠���1=2,�.
19.(本�题△�1�7�分)�⋅�△����
帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知
++2++
函数在=0处的,阶帕德近似定义为:=012,且满足
1++2++�
��1��2�⋯���
′′22++其中�2
0=��0,�0=0�,�0=0,0�=���0�.�⋯���=
′′��′��
�′�,3�=�2�,+�=�+1.�已知=ln�+1�在
1
��++�2�−
012
�=�0处的�2,�2阶帕�德近�似为��=�1.����
1++2
��1�6�
������
(1)求0,1,1的值;
(2)若对�于�任�意的[0,+),不等式恒成立,求的取值范围;
22
(3)已知1,2,3是�∈函数∞=1�ln�≥�⋅�1�的三个不同的�零点,且1<
2<3,求实数的取值范围,并证明31+22+3+2>0.内部资料・
注意保存���ℎ��−�−��−�
����−����
江门市2026年高考模拟考试答案数学
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
题号12345678
答案ACDBBCCD
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
题号91011
答案BCDADACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
题号121314
答案1538
5
−
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知数列的首项1=3,前项和为,且满足+3=+1+.
(1)求证:数列��1为等�比数列;��������
(2)若=�,�−求数列的前项和.
����������
(1)由+3=+1+,①
��
当=�1时,�1+3=�2+1,由1=3,解得2=5,.1分
当�2时,�1+3=�+1,�②2分�
�−�
①-�②≥得:=�+1�+1,�−即+1=21,3分
�����
从而+1�1�=2−�1,24�分�−
��
又因为�1−1=2�,且−2�1≥=4=211也满足上式,所以数列1是以2
为首项,2为公比的等比数列..5分
�−�−�−��−
6分
(2)由(1)得1=221=2,则=2+1,从而==2+,7分
�−���
所以=�1�−21+1×+222+2+��+2+,������⋅�
�
=1��21+2×22++×2+1+2⋯++�⋅,8分�
�
令×=12×1+2⋯22+�⋅+2,①⋯�
�
则�2�=1×22+2×23+⋯+�⋅2+1,②.9分
�
�22+1
①-②�得:×=2+×22+23⋯+�+⋅22+1=2+1=12+12,
1�2
−
10分����
−��⋯−�⋅−−�⋅−�−
所以=12+1+2,11分
�
�+1
又1+�2+�+−=,12分
2
��
+1
所以=⋯�12+1+2+.13分
2
���
�
16.如�图,在三�−棱柱111中,=23,=4,=30,平面
11平面.∘
���−�������∠���
�(1�)求�证�:⊥��1�;
(2)若1��=2⊥,��直线1与平面所成的角为60,求二面角1的
平面角的余弦值.∘
��������−��−�
(1)因为在中,=23,=4,=30,由余弦定理得:
∘
2=2△+��2�2��cos��=∠12��+�162234cos30=4,1分所
以=2,2分∘
������−��⋅��∠���−×××
222
所以��+=4+12=16=,故,3分又因为平面11平面
,
��������⊥������⊥
�平�面�11平面=,平面,.4分
所以����平面∩1��1�,.5�分���⊂���
又�1�⊥平面���1�1,所以1..6分
(2)解��法一⊂:过1�作���1�,�垂⊥足��为,
因为平面�11�平�面⊥��,�
平面1��1��平面⊥�=��,1平面11,
所以��1��平∩面�,�.�7分����⊂����
直线��是⊥直线��1�在平面上的投影,
所以��1是直�线�1与平�面��所成的角,即1=60.8分
∘
由(1)知∠���=2,又��1=1=�2�,�∠���
������
连接1,则是等边三角形,
取�1�的中点△�,�连�接,,
则��1,�10分����
由(�1�)知⊥��1,=,
所以1��平⊥面��,�所�以∩��1�,11分
所以��⊥是二面�角���1�⊥的��平面角,12分
∠����−��−�
由(1)知平面11,所以,
又=��⊥22�=��2�212=3�,�⊥=��22=4212=15,
35
所以��cos��−=��==−,14分����−��−
155
��
∠�����5
所以二面角的平面角的余弦值为.15分
15
解法二:过�1作−��1−�,垂足为,
因为平面�11��平⊥面��,�
平面1��1��平面⊥�=��,1平面11,
所以��1��平∩面�,�7�分����⊂����
则直线��⊥是直线���1在平面上的投影,
所以�1�是直线��1与平面���所成的角,且1=60,8分
∘
31
则∠�=��sin60=��sin60=��2�=3,=∠���cos60=2=1,.9分
111212
∘∘∘
1
由(�1�)可知��=,��即是的×中点.����×
2
取的中点��,连�接�,则��//�,.
以��为原点,�,,𝐵1所在�直�线��分�别�为⊥�轴�、轴、轴,建立如图所示的空间
直角坐标系,则0,1,0, 10,0,3, 23,1,0,10分
�𝐵�������
�−��
所以1=0,1,3,=23,2,0.
设平面� � 11的法向� 量 � 为=,,,
���=�+3=0� ���
则1,
=23+2=0
� ⋅� � ��
� ⋅� � ��
取=1,则=3,=1,
所以�=1�,−3,1�是平面11的一个法向量.12分
取平面� 1−1的法向量为�=��1,�0,0,13分
15
则cos<��,��>== �= ,14分
515
� ⋅ �
� � � � ×5
所以二面角的平面角的余弦值为.15分
15
17.某学校组�织−学�科�创−新�能力知识竞赛,参数选手随机从A、B、C三类问题中
各抽取一个问题回答,A、B、C类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5
分,回答错误得0分.已知甲同学能正确回答A、B、C
3211
类问题的概率依次为、、,乙同学能正确回答A、 B、C类问题的概率都为,
4322
总分最高的选手获胜,且甲乙能正确回答问题的概率与顺序无关.
(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;
(2)记为甲同学的总得分,求的分布列及期望;
(3)已知�乙同学在比赛中获胜,求�甲同学的总得分不低于5分的概率.
(1)设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确,
13131
=2+3=.3分
32322
(�2)�可�能的取值�有0,2,3,5,7,8,10,4分
32113213
�=0=111=, =2=11=,
4322443224
321232132
��=3=1−−1−=, ��=5=1×−1−+1
4322443243
17
=,
2��24−××−��−×−×××−
32133212
=7=1=, =8=1=,(对2个正确给1分)
4322443224
3216
��=10=×−=×.8分��−××
43224
�所以�的分布×列为×:
0�2357810
1243272432624
�
24242424
�
1327326144
=0+2+3+5+7+8+10==6.10分
2424242424242424
��×××××××
(3)记为乙同学的总得分,可能的取值有0,2,3,5,7,8,10,则
1
=�==0,2,3,7,8,10�,11分
8
1
��=5�=.�12分
4
�设事�件E表示乙获胜,事件F表示甲的总分不低于5分,
11141611311611864
法一:=+++++=,13分
824824424824824824192
1711011229
�=�+×+××=,14×分××
824824824192
29
���=×=×.15分×
64
���
��21327325361764
法�二�∣�:=+++++=13分
248248248248248248192
73322129
�=�+×+×=××,14分××××
248248248192
29
���=×=×.15分×
64
���
��∣���223
18.已知椭圆:+=1>>0的长轴长为4,离心率为.
222
��
(1)求椭圆的标�准�方程�;��
(2)椭圆的左右顶点1,2,是直线=4上一点,直线1,2分别交椭圆于
点,两点,连接交轴于点.
���������
(i)当��12最大时�,求�点�的坐标;�
若求的取值范围
(ii)∠���1=2,�.
(1)由题�△意�可��得,�2⋅�=△4��,即�=�2,1分
3
又==,得c�=3,2分�
2
�
又�2+�2=2,得=1,3分
2
所以�椭圆�的�标准�方程为+2=1.4分
4
�
(2)(i)设点�4,,直线1,�2的倾斜角分别为,,
得=t�an=�, =��tan��=,.5分��
1622
��
��������
当=0时,tan12=0,此时12=0,6分
当�>0时,∠1��2�=,∠���
�∠���tan�ta−n�26443
则有tan12==��==12,
1+tantan1+12+2+3
�−�−62�
��
∠�����×���≤
当且仅当=23时,等号成立,.7分
当<0时�,12=,
�∠���tan�ta−n�62443
则有tan12==��==12,
1+tantan1+12+23
�−�−62−�
��
∠�����×�−�−�≤
当且仅当=23时,等号成立(也可以由对称性得结论)8分
综上所述,�当且−仅当=23时,tan有最大值,即有最大值,
12126
�
所以当点的坐标是�±4,23或4,∠�2��3,有最∠大�值��.9分
126
�
(ii)法一:设�点4,,当=0是两个−三角形不∠�存�在�,所以0,
直线,的�方�程分别�为=+2,=2,10�≠分
1262
��
����=+2����−
62222
联立方程得2�,消去得9++4+436=0,
+2=1
�4�
�������−
�182218226
解得=2或=,即点,,11分
9+29+29+2
−�−��
�−�=�2���
22222
联立方程得2�,消去得1+4+44=0,
+2=1
�4�−
����−���−
�2222222
解得=2或=,即点,,12分
1+21+21+2
�−�−−�
������
62
222
=9+1+=,
�2−2�2
182−223
22�
���9+�1+�−
−��−�−
22−222
直线的方程为=�,�13分
1+2231+2
−���−
2
化简得��=�1−,所�以直−线�−�−过定�点1,0.14分
32
�
1336
又�=−��−=�=�,�
12112129+2
�
△���1112
�=��×�=�=×,�15分
22222221+2
−�
△���362
若�=��×�,得�×=�,
1229+221+2
��−�
��
�△���1⋅+�2△��8×�×�
化简得=9=91,16分
9+29+2
�
18
由2>0�,则<�1<−1,则�1<<9.17分
99+2
法二�:当直线−与�轴重合时,显然�不满足题意.
设直线为��=�+,1,1,2,2,点,0是直线与轴的交点,
=+
联立方程�组�����,消�去��得�2�+4�2+2��+24=�0�,�
2+42=4
����
2�24������−
所以有+�=�,=,10分
122+4122+4
���−
直线�的方�程−为�=�1�+�2,直线的方程为=22,11分
1+222
�12�
��=1��+2�����−�−
+22+4
联立方程得�1,解得=211212,
222
=�2�2�1�1�2−1�−�2
�22�
��−��−��−�−�
��−�−
又1=1+,2=2+,
4+2+4
所以�点�的�横�坐�标为��=�121212,12分
2+
���1��2�−1�2−�
�2�−2�4�−�−��
代入+=,=得
122+4122+4
���−
421642��16
��−41�2�412+
2+42+42+44
=��−���4=4�==4,13分
1−2+−�−��1−�2+
��2+4�2+4
����
�−��−���−��
解得=1,即点�1,0,14分�
��
1311
由于==, ==,15分若
121121222222
△=���,即=,由图△�可��知,异号,即=,
1��2��13�2�1�2��1�32
��
△���△���23
所�以有�+⋅�=1�=�,=�2=�,�−�
12322+412322+4
���−
��43−2�−���−��
化简得2=.16分
19
−�
�−�−4�3−2
该方程有解,即0,则1<<9.17分
19
−�
19.帕德逼近是法−国�−数学�−家亨≥利·帕德发�明的用有理多项式近似特定函数的方法.已
知函数在=0处的,阶帕德近似定义为:
++2++
==012,且满足0=0,′0=′0,20=
��1�++2++���
�����1��2�⋯���
�′′
�2�0,���+0�=���+⋯0���.其中2�=�′,�3�=2�,
����′
�+�=+1�.已知�=l�n+1�在�=�0处�的2�,2阶�帕德近似为
1
��++2��−
012
�=�1�.�����
1++2
��1�6�
�����
(1)求0,1,1的值;
(2)若对�于�任�意的[0,+),不等式恒成立,求的取值范围;
22
(3)已知1,2,3是�∈函数∞=1�ln�≥�⋅�1�的三个不同的�零点,且1<
2<3,求实数的取值范围,并证明31+22+3+2>0.
���ℎ��−�−��−�
11
(�1)�=ln+1�,′=,2=�−�,0�=0,�′0=�1,20=
+1+12
1,0==0,1分
��0������−����−
1
+2112++
��12′261′
所以=,=��,0==1,.2分
12121
1+��1+�−1++�2��
66
������������
1111
12++1322+1
′26261321
所以=�,=,.3分
1213
1+−�+�2−�−1+�−+�−2�−�
1616
����
2������
0=121=1,所以1=1,.4分
1
+22
�−�−26�+3
(2)由(1)得:=1=.
1++26+6+2
��6��
����
��6+32
令==ln+1,0,.5分
6+6+2
���
由于��0�=0�,所−以��若��−恒成��立,则�≥在=0附近单调递增,即
′00,
���≥�⋅�����
1122+36+36
又�′≥=,所以′0=10,则1..6分
+122
�6�+6+�
���−���−�≥�≤
下面证明充分性,即当1时,不等式恒成立,
6+32
由于当>0时,ln+�1≤0,�0�,≥�⋅��
6+6+2
��
��≥��≥6+32
所以若0,则=ln+10恒成立,.7分
6+6+2
���
�≤���−6+�3�2≥6+32
若0<1时,=ln+1ln+1,
6+6+26+6+2
�����
6+32����
令�=≤ln+�1��,−0,.8分≥�−
6+6+2
��
��1�122+36−+36��4
′==�≥,所以′0,
+12222
6�+6+�+16�+6+
���−�������≥
则在[0,+)单调递增,又0=0,
6+32
所以��0恒∞成立,即ln+1�0在[0,+)上成立,
6+6+2
��
��≥6+�32−��≥∞
则有=ln+10成立,充分性得证,.9分所以当1时,不等式
6+6+2
���
恒成立.10分
���−��≥�≤
111
(�3)�由≥�⋅�=�21ln,设=ln, >011分′=
+1+1
��−��−
22+21+1
=, >0,���
+12ℎ�+1�2−�−���−���−
��−��
令�=��2+21�+1,>0,
当��0时�,′−0�,即�′�0,则在0,+上单调递增,不满足题意,
当�≤>0时,�=�41≥2�4�≥0,即0�<�2,∞
�Δ−�−≤�≤
此时′0恒成立,′0,则在0,+上单调递增,不满足题意,
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