27.2.3切线 切线长定理教案华东师大版数学九年级下册

上课时间上课时间27.2.3切线切线长定理教案华东师大版数学九年级下册2025年12月任课老师任课老师魏老师课程基本信息课程基本信息一、课程基本信息1.课程名称：27.2.3切线切线长定理。2.教学年级和班级：九年级（2）班。3.授课时间：2024年3月15日第3节课。4.教学时数：1课时（45分钟）。核心素养目标核心素养目标二、核心素养目标数学抽象：理解切线的定义及切线长定理的本质。逻辑推理：通过证明切线性质和切线长定理，发展演绎推理能力。直观想象：结合图形分析切线与半径的位置关系，提升几何直观。数学运算：运用切线长定理解决线段长度计算问题，培养运算能力。重点难点及解决办法重点难点及解决办法三、重点难点及解决办法

重点：切线的定义及性质，切线长定理及其应用（来源：课本基础内容，要求学生掌握几何核心概念）。难点：理解切线与半径的垂直关系，证明切线长定理（来源：学生逻辑推理能力不足，抽象思维薄弱）。解决方法：通过画图演示和实例分析，强化直观理解；突破策略：设计小组合作探究，结合生活实例（如车轮与地面接触），分层练习巩固应用。教学资源教学资源硬件资源：多媒体投影仪、交互式电子白板、学生用三角板与圆规、几何模型（圆与切线演示器）。

软件资源：几何画板动态演示软件、PPT课件（含切线定义、定理及例题）。

信息化资源：切线性质微课视频、课堂互动答题系统。

教学手段：演示法（动态展示切线与半径关系）、小组合作探究（切线长定理推导）、讲练结合（例题与分层练习）。教学过程教学过程环节一：情境导入，明确目标（5分钟）

同学们，上课！请大家观察大屏幕上的图片（车轮与地面接触、砂轮打磨工件），这些场景中直线与圆的位置有什么共同特点？对，它们都只有一个公共点。这种特殊的位置关系就是今天我们要研究的——切线（板书课题：27.2.3切线切线长定理）。本节课我们要掌握三个目标：理解切线的定义和性质，探索并证明切线长定理，能运用它们解决简单问题。带着这些目标，我们开始今天的学习。

环节二：复习旧知，铺垫新知（5分钟）

在学习新知识前，我们先回顾一下直线和圆的位置关系。还记得直线和圆有几种公共点情况吗？请同学们回忆并填写表格（停顿，引导学生回答）：直线与圆相交时，公共点有两个；相切时，公共点有一个；相离时，没有公共点。其中，直线与圆相切时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点（板书：切线定义——直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线，公共点为切点）。

环节三：动手操作，探究切线的性质（10分钟）

现在我们证明这个性质：已知OA是⊙O半径，l⊥OA于A，求证l是⊙O的切线。引导学生用反证法：假设l与⊙O还有另一个公共点B，那么OA⊥l，OB⊥l，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，所以假设不成立，l与⊙O只有一个公共点A，l是切线。

环节四：合作探究，推导切线长定理（15分钟）

刚才我们研究了圆上一点的切线，那圆外一点呢？请同学们继续操作：1.在⊙O外一点P，用直尺作⊙O的两条切线PA、PB，A、B为切点；2.连接OA、OB、OP，用量角器测量∠OAP、∠OBP和∠APO、∠BPO的度数；3.测量PA和PB的长度。小组内交流你们的发现。

（巡视学生操作，引导发现）哪个小组愿意分享你们的结论？第一组：∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB；第二组：OP平分∠APB。非常好！这些结论就是切线长定理的内容（板书：切线长定理——从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角）。

现在我们来证明这个定理：连接OA、OB，因为PA是切线，所以OA⊥PA，同理OB⊥PB，所以∠OAP=∠OBP=90°。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OB（半径），OP=OP（公共边），所以Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），所以PA=PB，∠APO=∠BPO，即OP平分∠APB。

环节五：例题讲解，应用新知（8分钟）

掌握了定理，我们来解决实际问题。例1：如图（口头描述，不画图），PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，OA=3cm，求PA的长和OP的长度。

分析：根据切线长定理，PA=PB，OP平分∠APB，所以∠APO=30°。在Rt△OAP中，∠OAP=90°，OA=3cm，tan∠APO=OA/PA，所以PA=OA/tan30°=3/(√3/3)=3√3cm。OP=OA/cos30°=3/(√3/2)=2√3cm。

例2：已知AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC是⊙O的切线，C为切点，求证：∠PCB=∠A。

引导学生证明：连接OC，因为PC是切线，所以OC⊥PC，所以∠OCP=90°。因为AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠PCB=90°-∠PCA。又因为OA=OC，所以∠A=∠OCA，而∠PCA=∠OCA（OP平分∠APC，由切线长定理），所以∠PCB=∠A。

环节六：分层练习，巩固提升（5分钟）

现在请大家完成以下练习：基础题（课本P97练习1）：已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AB=6cm，∠APB=60°，求PA的长；提升题：如图（口头描述），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，⊙O是△ABC的内切圆，求⊙O的半径。

（巡视指导，重点关注基础题的解题步骤，提升题引导学生用面积法：S△ABC=（a+b+c）r/2，其中a、b、c为三边长，r为内切圆半径。）

环节七：课堂小结，梳理知识（2分钟）

这节课我们学习了哪些内容？请同学们总结。学生回答：切线的定义、切线与半径的垂直关系、切线长定理及其应用。我补充：核心是“切线垂直于半径”和“切线长相等”，解决问题时要善于连接圆心和切点，构造直角三角形。

环节八：布置作业，延伸拓展（5分钟）

作业：1.必做题：课本P98习题27.2第5、6题；2.选做题：已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C是劣弧AB上一点，求证：∠APB=2∠ACB。下节课我们交流作业情况，下课！知识点梳理知识点梳理1.切线的定义

-直线与圆有唯一公共点时，这条直线称为圆的切线，这个公共点称为切点。

-几何表示：若直线l与⊙O相切于点A，则l与⊙O仅有一个交点A，记作l切⊙O于A。

2.切线的判定定理

-内容：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

-几何条件：若OA是⊙O的半径，l⊥OA于A，则l是⊙O的切线。

-证明方法：反证法（假设l与⊙O有另一交点B，则OA⊥l且OB⊥l，矛盾）。

3.切线的性质定理

-内容：圆的切线垂直于过切点的半径。

-几何条件：若l切⊙O于A，OA为半径，则l⊥OA。

-推论：过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

4.切线长定理

-内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

-几何表示：若PA、PB切⊙O于A、B，则PA=PB，且OP平分∠APB。

-证明依据：Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），得PA=PB，∠APO=∠BPO。

5.切线长定理的推论

-连接两切点的线段被圆心与圆外点的连线垂直平分。

-几何条件：若PA、PB切⊙O于A、B，则AB⊥OP于C，且AC=BC。

6.切线长定理的应用场景

-求线段长度：已知切线长、半径或夹角，求其他线段（如例1中PA=OA/tan∠APO）。

-角度计算：利用OP平分∠APB，结合直角三角形性质求角（如∠APB=60°时，∠APO=30°）。

-证明线段相等或垂直：通过全等三角形或垂直关系推导（如例2中证∠PCB=∠A）。

7.切线与三角形的位置关系

-内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心为内心（三条角平分线交点）。

-内切圆半径公式：r=S△/s（S△为三角形面积，s为半周长）。

-应用：已知三边长求内切圆半径（如练习中Rt△ABC，AC=8，BC=6，AB=10，则r=(6×8/2)/(6+8+10)/2=2）。

8.切线作图方法

-过圆上一点作切线：过切点作半径的垂线。

-过圆外一点作切线：利用切线长定理，连接圆心与圆外点，作其垂直平分线与圆的交点，再连接切点。

9.切线与弦切角的关系（延伸）

-弦切角定理：弦切角等于它所夹弧对的圆周角。

-几何表示：若PC切⊙O于C，弦CB所对圆周角为∠CAB，则∠PCB=∠CAB。

10.切线与圆幂定理（延伸）

-切割线定理：从圆外一点P引切线PT和割线PAB，则PT²=PA·PB。

-应用：结合切线长定理求线段比例关系（如PA=PB时，PT²=PA²）。

11.切线在实际问题中的模型

-滚动问题：车轮与地面接触点为切点，切线与地面平行。

-工件打磨：砂轮与工件接触为切点，半径垂直于切线。

12.易错点总结

-切线判定忽略“过半径外端”条件（如仅垂直于半径但不过外端）。

-切线长定理混淆“切线长”与“点到圆的距离”（切线长是点到切点的线段长）。

-内切圆半径计算误用周长公式（需用面积除以半周长）。

13.知识关联网络

-切线定义→直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。

-切线性质→垂直关系、全等三角形证明。

-切线长定理→等腰三角形性质、角平分线定理。

-内切圆→三角形面积、角平分线交点。

14.典型例题归纳

-类型1：求切线长（如PA、PB为切线，AB=6，∠APB=60°，求PA）。

-类型2：证明线段垂直（如AB是直径，PC切圆，证∠PCB=∠A）。

-类型3：求内切圆半径（如三边为5,12,13，求r）。

15.解题策略

-作图辅助：连接圆心与切点，构造直角三角形。

-定理优先：优先应用切线长定理和性质简化计算。

-分类讨论：圆外点位置不同时，切线数量变化（点在圆外有两条切线）。内容逻辑关系内容逻辑关系七、内容逻辑关系

①从定义到性质的认知逻辑

-重点知识点：切线的定义、切线的判定定理、切线的性质定理

-关键词句：直线与圆有唯一公共点、切点、过半径的外端且垂直于这条半径、圆的切线垂直于过切点的半径

-逻辑脉络：基于直线与圆的位置关系（相交、相切、相离），明确切线的核心特征——唯一公共点，通过判定定理（垂直于半径且过外端）和性质定理（垂直于半径）构建切线的基本认知，为后续定理推导奠定几何基础。

②从单一性质到定理的探究逻辑

-重点知识点：切线长定理、定理的证明依据、定理的推论

-关键词句：从圆外一点引圆的两条切线、切线长相等、圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角、Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）、两切点连线被圆心与圆外点的连线垂直平分

-逻辑脉络：从单个切线的性质（垂直于半径）拓展到圆外一点的两条切线，通过画图操作、测量猜想、逻辑证明（HL全等），归纳出切线长定理及其推论，实现从“点线垂直”到“线段相等、角平分”的认知升级，体现几何结论的递进性。

③从定理应用到问题解决的逻辑

-重点知识点：切线长定理的应用场景、典型问题类型、解题策略

-关键词句：求线段长度、角度计算、证明线段相等或垂直、连接圆心与切点、构造直角三角形、内切圆半径公式（r=S△/s）

-逻辑脉络：以定理为核心工具，结合直角三角形的三角函数、全等三角形、面积法等知识，解决三类典型问题——求切线长（例1）、证明角度关系（例2）、求内切圆半径（分层练习），通过“作辅助线→应用定理→转化条件”的解题路径，实现理论知识向实际问题的迁移，强化几何直观与逻辑推理的综合应用。课后拓展课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学史话》中关于阿基米德利用切线原理计算圆周率的记载；课本配套资源中“切线在工程中的应用”短文。

-视频资源：几何画板动态演示“切线长定理的几何构造”；教师录制的“内切圆与三角形