2024-2025学年上海市闵行区莘光学校七年级（下）期中数学试卷 （含解析）

2024-2025学年上海市闵行区莘光学校七年级（下）期中数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共6题，每题2分，共12分）.1．已知命题“若a＞b，则ac＞bc”，下列判断正确的是（）A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题2．下列说法错误的是（）A．不等式﹣x＞2的解集为x＜﹣2 B．不等式x＜1的整数解有无数个 C．﹣1是不等式2x+1＞0的一个解 D．不等式x≤4的解一定是不等式x＜5的解3．已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是正数，那么A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣24．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4 B．5 C．6 D．75．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°6．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE，如果S△ABC＝6，那么S四边形DOEB＝（）A．65 B．75 C．85二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）7．x的13与﹣4的差不小于2，用不等式表示为8．已知（m+2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为．9．如果分式37−5x的值是非负数，那么x的取值范围是10．已知关于x的不等式组x−m＞01−2x＞x−2恰好有三个整数解，则m的取值范围是11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值x”到“结果是否＞37”为一次程序操作，已知某同学输入x后经过了两次操作停止，则x的取值范围为．12．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设．13．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC，交BC于点E，∠B＝20°，∠ADC＝46°，则∠CED的度数为．14．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝．15．将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝．16．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且∠BOC＝50°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD＝°．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有．18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝80°，点D为AB边中点，点E为射线AC上一动点，将△ADE沿DE折叠，点A落在点A'处，当A'D与BC平行时，∠AEA'的度数为．三、简答题（本大题共4题，第19、20、21题，每小题6分，第22题8分，共26分）19．（6分）解下列不等式：2x+1320．（6分）解不等式组2(x−1)≥3x−4①，x+1221．（6分）如图，按要求画图并回答问题：（1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；（2）过点D画线段DE∥AB，交AC的延长线于点E；（3）∠E的同位角是，内错角是；（4）在线段AB，AC，AD中，最短的是，理由为．22．（8分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180°．证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（），∴∠BFD＝（），∴BC∥DE（），∴∠C+＝180°（），又∵AB∥CD（已知），∴∠B＝（），∴∠B+∠CDE＝180°．四、解答题（本大题共3题，其中23题7分，24题8分，25题7分，共22分）23．（7分）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．25．（7分）根据以下学习素材，完成下列两个任务：学习素材素材一某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．素材二精包装简包装每盒2斤，每盒售价25元每盒3斤，每盒售价35元问题解决任务一在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？任务二现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．五、综合题（本大题共2题，其中26题8分，27题8分，共16分）26．（8分）问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．（1）若∠AOB＝94°，则直接写出∠1的大小．数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．（2）完成如下问题：①若∠1＝55°，直接写出∠4的度数；②求证：AB∥CD；拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4．若∠MON＝m°，∠AED＝n°，直接写出m，n满足的数量关系．27．（8分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝°；（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．

参考答案一、选择题（共6题，每题2分，共12分）1．已知命题“若a＞b，则ac＞bc”，下列判断正确的是（）A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题解：若a＞b，c＝0，则ac＝bc，所以原命题错误；若ac＞bc（c≠0），当c＞0时，不等式两边同时除以c可得：a＞b；当c＜0时，不等式两边同时除以c可得：a＜b，所以其逆命题是假命题，故选：D．2．下列说法错误的是（）A．不等式﹣x＞2的解集为x＜﹣2 B．不等式x＜1的整数解有无数个 C．﹣1是不等式2x+1＞0的一个解 D．不等式x≤4的解一定是不等式x＜5的解解：A、∵﹣x＞2，∴x＜﹣2，正确，故此选项不符合题意；B、不等式x＜1的整数解有无数个，正确，故此选项不符合题意；C、∵2x+1＞0，∴x＞−12，又−1＜−1D、不等式x≤4的解一定是不等式x＜5的解，正确，故此选项不符合题意；故选：C．3．已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是正数，那么A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2解：将分式方程2x+mx−2=3转化为整式方程得：2x+m＝3解得：x＝m+6．∵方程的解为正数，∴m+6＞0，解得：m＞﹣6．∵分式的分母不能为0，∴x﹣2≠0，∴x≠2，即m+6≠2．∴m≠﹣4．故m＞﹣6且m≠﹣4．故选：C．4．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4 B．5 C．6 D．7解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．5．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，∠CDB+∠ABD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠CDB＝∠ACD＝70°，∴∠ABD＝110°，∠CAB＝110°，∵AE∥BD，∴∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠BAE＝70°，∴∠EAC＝∠CAB﹣∠BAE＝110°﹣70°＝40°．所以∠EAC的度数为40°．故选：C．6．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE，如果S△ABC＝6，那么S四边形DOEB＝（）A．65 B．75 C．85解：如图，连接OB，设S△BOE＝a，S△BOD＝b，∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△AOD＝2S△BOD＝2b，S△BCD∵BE＝CE，S△ABC＝6，∴S△COE＝S△BOE＝a，S△ABE∴b+a+a=22b+b+a=3解得a=3∴S四边形DOEB故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）7．x的13与﹣4的差不小于2，用不等式表示为13解：x的13x的13与﹣4的差表示为1故答案为：138．已知（m+2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为2．解：依题意得：|m|﹣1＝1＝1且m+2≠0，解得m＝2．故答案为：2．9．如果分式37−5x的值是非负数，那么x的取值范围是x＜7解：由条件可知7﹣5x＞0，解得：x＜7故答案为：x＜710．已知关于x的不等式组x−m＞01−2x＞x−2恰好有三个整数解，则m的取值范围是﹣3≤m＜﹣2解：由x﹣m＞0得，x＞m，由1﹣2x＞x﹣2得，x＜1，因为该不等式组恰好有三个整数解，则这三个整数解为0，﹣1，﹣2，所以﹣3≤m＜﹣2．故答案为：﹣3≤m＜﹣2．11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值x”到“结果是否＞37”为一次程序操作，已知某同学输入x后经过了两次操作停止，则x的取值范围为5＜x≤13．解：依题意得3x−2≤373(3x−2)−2＞37解得5＜x≤13，∴x的取值范围为5＜x≤13．故答案为：5＜x≤13．12．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．解：用反证法证明“三角形中至多有一个钝角”时，应先假设一个三角形的三个内角中，有两个或三个钝角，即一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．故答案为：一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．13．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC，交BC于点E，∠B＝20°，∠ADC＝46°，则∠CED的度数为128°．解：∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝46°﹣20°＝26°，∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACB＝2∠BCD＝2×26°＝52°，∵DE∥AC，∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝180°﹣52°＝128°．故答案为：128°．14．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝4．解：∵△ABC≌△CDE，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，∴AB＝CD＝7，BC＝DE，∵点B、C、D在同一直线上，BD＝11，∴BC＝BD﹣CD＝11﹣7＝4，∴DE＝4，故答案为：4．15．将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝15°或105°．解：D在C的左边，如图1：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠∵CE∥AB，∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝135°，∴∠EBD＝135°﹣30°＝105°；D在C的右边，如图2：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°﹣30°＝15°．故∠EBD＝15°或105°．故答案为：15°或105°．16．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且∠BOC＝50°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD＝110°．解：过点O作OF⊥AB交AB延长线于F，过点C作CH⊥AB交AB延长线于H，如图所示：依题意得：BE⊥AB，∠EBO＝30°，∠BOC＝50°，CD∥AB，∴BE∥OF∥CH，∴∠BOF＝∠EBO＝30°，∠HCO＝∠FOC，CH⊥CD，∴∠HCD＝90°，∠FOC＝∠BOC﹣∠BOF＝50°﹣30°＝20°，∴∠HCO＝∠FOC＝20°，∴∠OCD＝∠HCO+∠HCD＝20°+90°＝110°．故答案为：110．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有①③④．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAB＝90°，故①正确，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∵∠CAD＝2∠CAE，∴∠CAD＝2∠AEF，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，无法判定∠AEF＝∠BEF，故②错误；故答案为：①③④．18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝80°，点D为AB边中点，点E为射线AC上一动点，将△ADE沿DE折叠，点A落在点A'处，当A'D与BC平行时，∠AEA'的度数为50°或130°．解：∵∠A＝30°，∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣30°﹣80°＝70°，当点A′在AC右侧时，如图所示，∵A′D∥BC，∴∠A′DA＝∠B＝70°，由翻折可知，∠A′DE＝∠ADE＝35°，∠A′ED＝∠AED＝180°﹣30°﹣35°＝115°，．∴∠AEA'＝360°﹣115°﹣115°＝130°．当点A′在AB的左边时，如图所示，∵A′D∥BC，∴∠A′DB＝∠B＝70°，∴∠ADA′＝180°﹣70°＝110°，由翻折可知，∠A′DE＝∠ADE=1∴∠AED＝180°﹣30°﹣125°＝25°．∴∠AEA′＝2∠AED＝50°，综上所述，∠AEA′的度数为：50°或130°．故答案为：50°或130°．三、简答题（本大题共4题，第19、20、21题，每小题6分，第22题8分，共26分）19．（6分）解下列不等式：2x+13解：∵2x+13∴2（2x+1）﹣（x﹣1）＜6，4x+2﹣x+1＜6，4x﹣x＜6﹣2﹣1，3x＜3，则x＜1，所以不等式组的非负整数解为0．20．（6分）解不等式组2(x−1)≥3x−4①，x+12解：解①得：x≤2，解②得：x≥﹣1，把①②的解集表示在同一个数轴上为：∴不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，∴x的整数解为：﹣1，0，1，2，∴它们的和为：2．21．（6分）如图，按要求画图并回答问题：（1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；（2）过点D画线段DE∥AB，交AC的延长线于点E；（3）∠E的同位角是∠ACD，内错角是∠CAB；（4）在线段AB，AC，AD中，最短的是AD，理由为垂线段最短．解：（1）如图所示，AD即为所求，（2）如图所示，DE∥AB，（3）∠E的同位角是∠ACD，内错角是∠CAB，故答案为：∠ACD，∠CAB．（4）在线段AB，AC，AD中，最短的是AD，理由为垂线段最短，故答案为：AD，垂线段最短．22．（8分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180°．证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（对顶角相等），∴∠BFD＝∠2（等量代换），∴BC∥DE（同位相等，两直线平行），∴∠C+∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），∴∠B+∠CDE＝180°．解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（对顶角相等），∴∠BFD＝∠2（等量代换），∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠C+∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），∴∠B+∠CDE＝180°．四、解答题（本大题共3题，其中23题7分，24题8分，25题7分，共22分）23．（7分）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．解：（1）命题一：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2；真命题．命题二：已知FD⊥AB，若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB；真命题．命题三：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC；真命题．（2）选择命题一．证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB，∴∠BDF＝∠BEG＝90°，∴DF∥EG，∴∠GEF＝∠DFE．又∵EH∥BC，∴∠HEF＝∠BFE，∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE，∴∠1＝∠2．选择命题二：延长EG、BC交于点M，∵FD⊥AB，∴∠BDF＝90°，又∵EH∥BC，∴∠2＝∠M，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠M，∴FD∥EM，∴∠MEB＝∠BDF，∴EG⊥AB；选择命题三：延长EG、BC交于点M，∵FD⊥AB，EG⊥AB，∴∠BDF＝∠BEG＝90°，∴DF∥EG，∴∠1＝∠M，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠M，∴EH∥BC．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°，∵BE是∠CBD平分线，∴∠CBE=12∠（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°；（3）当FD与BC平行时，如图：则∠FME＝∠CBE，∴∠FME＝65°，当FM与AB平行时，如图：则∠FME＝∠ABE＝115°，∵F在AC上，∴FM与AC平行不存在，综上：∠FME＝65°或115°．25．（7分）根据以下学习素材，完成下列两个任务：学习素材素材一某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．素材二精包装简包装每盒2斤，每盒售价25元每盒3斤，每盒售价35元问题解决任务一在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？任务二现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．解：任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，根据题意得：2x+3y=70025x+35y=8500解得：x=200y=100答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；任务二：分装成3盒精包装，23盒简包装（或分装成6盒精包装，21盒简包装），理由如下：设可以分装成m盒精包装，则分装成75−2m3根据题意得：m+0.5×75−2m解得：m≤33又∵m，75−2m3∴m可以为3，6，∴共有2种分装方案，方案1：分装成3盒精包装，23盒简包装；方案2：分装成6盒精包装，21盒简包装．答：分装成3盒精包装，23盒简包装（或分装成6盒精包装，21盒简包装）．五、综合题（本大题共2题，其中26题8分，27题8分，共16分）26．（8分）问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．（1）若∠AOB＝94°，则直接写出∠1的大小．数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．（2）完成如下问题：①若∠1＝55°，直接写出∠4的度数；②求证：AB∥CD；拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4．若∠MON＝m°，∠AED＝n°，直接写出m，n满足的数量关系．【解答】（1）解：∵∠1+∠2+∠AOB＝180°，∠1＝∠2，∴2∠1+∠AOB＝180°，即2∠1＝180°﹣∠AOB，∵∠AOB＝94°，∴∠1=1（2）①解：∵∠1＝55°，∴∠2＝∠1＝55°，∵OM⊥ON，∴∠2+∠3＝90°，∴∠4＝∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°；②证明：同理∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），∵∠2+∠3＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2×90°＝180°，∴AB∥CD；拓展运用：解：在图3中，同理：∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），∵∠CEB＝∠AED＝n°，∠MON＝m°，∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣n°，∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣m°，∴80°﹣n°＝36