第05讲 方程组及不等式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

方程组及不等式一、单选题1．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则；其中正确的有（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④2．（2018·全国·七年级竞赛）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．63．（2021·全国·九年级竞赛）若，，，，为互不相等的正奇数，满足，则的末位数字是（

）A．1 B．3 C．5 D．74．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若，且△ABC的面积为3，则a+b（

）A．3 B．-5 C．-3 D．56．（2021·全国·九年级竞赛）对于数，符号[]表示不大于的最大整数．例如，[3.14]=3，[-7.59]=-8，则关于的方程的整数根有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2021·全国·九年级竞赛）已知a，b，c，d都是正实数，且，给出下列4个不等式：①；②；③；④．其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③二、填空题8．（2021·全国·九年级竞赛）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______．9．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若，且，，设，则t的取值范围为______．10．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是__________．11．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知两组数据3，，5，与，4，的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是________．12．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为____________．13．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点、，所连线段的中点是M，则M的坐标为，如：点、点，则线段AB的中点M的坐标为，即．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若，，线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是，则的值等于___________．14．（2022·福建·九年级统考竞赛）如果对任意的n个不大于1的非负实数总有成立，则正整数n的最大值为______．15．（2021·全国·九年级竞赛）若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________．16．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）若关于x的方程的解为整数，那么满足条件的所有整数a的和为______．17．（2021·全国·九年级竞赛）实数，，满足，，则的最大值是______．18．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则__________.19．（2021·全国·九年级竞赛）某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有_____人.三、解答题20．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：．21．（2021·全国·九年级竞赛）试求出所有正整数使得关于x的二次方程至少有一个整数根．22．（2021·全国·九年级竞赛）设m是不小于－1的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、，（1）若，求m的值；（2）求的最大值．23．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）已知（其中是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且.如，则它的伴随多项式.请根据上面的材料，完成下列问题：（1）已知，则它的伴随多项式____________.（2）已知，则它的伴随多项式__________；若，求的值.（3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值.24．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）解方程，（1）（2）25．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器（容器足够高），底面积之比为，用两个相同的管子在高度处连通（即管子底部离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升.（1）开始注水1分钟，丙的水位上升__________；（2）求出开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的高度之差是？26．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行．甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进．两车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回．当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地的距离．27．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知关于x的方程只有一个实数根，求实数a的值．28．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．(1)求空调和电风扇的采购价各是多少元？(2)该老板计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于3500元，试问老板有哪几种进货方案？(3)在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？29．（2021·全国·九年级竞赛）如果为定值，关于的方程无论k为何值时，它的根总是1，求的值．30．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）如果关于的方程的解比方程的解大1，求式子的值.参考答案：1．B【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断．【详解】解：解方程组得，①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误；③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确；④当时，，即，∴，不符合题意，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解题的关键．2．B【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果．【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，由题意可得方程组：，将代入②中得，消去x得：即：∵为正整数∴的值分别为1，3，5，15，∴y的值只能为4，5，6，11，∴当时，，当时，，当时，，当时，，综上可得：n的值分别为8，3，2，1；即n的可能值有4个．故答案选：B．【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用．3．A【分析】因为，，，，为互不相等的正奇数，所以，，，，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位数字是1【详解】解：∵，，，，为互不相等的正奇数∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：∴，，，，分别等于2、、4、6、∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴的末位数字是1．故选A．【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．4．B【分析】解方程得，根据解为正数，得，根据关于y的不等式组恰有两个整数解，得，进而根据为整数，即可求解．【详解】解：解得关于x的方程的解为正数，解得解不等式①得：解不等式②得：关于y的不等式组有解，∴不等式组的解集为：关于y的不等式组恰有两个整数解，，解得，，，为整数，则，其和为．故选B【点睛】本题考查了解一元一次方程，求一元一次不等式组的解集，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．5．C【分析】方法一：由根与系数的关系可得，，再利用列方程求解，再检验即可得到答案；方法二：不妨设，由三角形的面积先求解，结合，再求解再利用待定系数法求解从而可得答案.【详解】解：方法一：依题意为方程的两根，且．所以，．所以，所以面积．解得，经检验符合题意，．因为函数的图象与轴有两个不同交点，因此，，符合要求．所以．方法二：不妨设，则，由的面积为3，且，得．所以，又，解得：，．因此．将代入，得，所以．所以，因此．故选C【点睛】本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数与x轴的交点坐标的含义是解本题的关键.6．B【分析】由可得4≤＜5，解不等式组求出x的整数解即可得答案．【详解】∵符号[x]表示不大于x的最大整数，，∴4≤＜5，去分母得：28≤3x+7＜35解得：7≤x＜，∴不等式组的整数解有7、8、9，共3个，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解符号[x]的定义，正确列出不等式组是解题关键．7．D【分析】由，a、b、c、d都是正实数，根据不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac＋ad＜ac＋bc，即a（c＋d）＜c（a＋b），然后两边都除以（c＋d）（a＋b）得到，可得①错误，②正确；同理可得，则③正确，④错误．【详解】解：∵，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴ac＋ad＜ac＋bc，即a（c＋d）＜c（a＋b），∴，即①错误，②正确；∵ad＜bc，∴bd＋ad＜bd＋bc，即d（a＋b）＜b（c＋d），∴，所以③正确，④错误，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．8．-2【分析】先设报3的人心里想的数为，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可．【详解】解：设报3的人心里想的数是∵报3与报5的两个人报的数的平均数是4，∴报5的人心里想的数应是，报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，∵报1的人与报3的人心里想的数的平均数是2，∴，解得故答案为：．【点睛】本题属于阅读理解和探索规律题，考查了平均数的相关计算及方程思想的运用．解题关键是设未知数，将题中的等量关系展示出来，即可求出最终结果．9．【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．【详解】解：，，∴解得：而，∵，∴∴t的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．10．8【分析】把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．【详解】设=∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b∴，解得∴=∵，∴，∴∴有最大值1此时，解得a=1，b=0∴=8故答案为：8．【点睛】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解．11．5【分析】首先根据平均数的定义列二元一次方程组并求出的值，即可确定两组数据的值，再将数据合并，按从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义确定这组新数据的中位数即可．【详解】解：根据题意，可得，解得，∴这两组数据为3，12，5，4与6，4，8，将这两组数据合并后，按从小到大的顺序排序为3，4，4，5，6，8，12，∴这组新数据的中位数是5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数以及二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意列二元一次方程组求出的值．12．【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想可得，从而得出答案．【详解】解：方程组整理得：，即，∵二元一次方程组的解为，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，对方程组进行整体换元是解题的关键．13．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是，得到点G的横坐标等于，纵坐标的绝对值为，列出方程组求解即可．【详解】∵点、，所连线段的中点是M，则M的坐标为且，，∴，∵线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是，∴，解得：，，∵当时，，，，三点重合，不符合题意，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形、解二元一次方程组，熟练掌握坐标系中点的坐标是解决问题的关键14．7【分析】取特殊值法进行判断即可．【详解】当时，取，，则．当时，取，，时，，则．所以．当时，由，得，，，，，，中至少有一个数为非负数．不妨设，则．所以．于是符合要求．所以正整数的最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查不等式的应用，运用特殊值法是解答本题的关键．15．【分析】将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．【详解】解：解得，∵无解，∴a≤1．故答案为：a≤1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．16．36【分析】先解方程求出用含a的式子表示的方程的解，然后再根据方程解为整数确定出符合条件的a的值，再求和即可．【详解】，移项得：，合并同类项，，系数化为1，得，∵方程的解为整数，或，解得或26或或10，．故答案为：36．【点睛】本题考查一元一次方程的拓展题型,关键在于对整数这个条件的分析．17．【分析】把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出z的最大值．【详解】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0的两实根．∵△＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0，(3z−13)(z＋1)≤0．∴−1≤z≤，当x＝y＝时，z＝．故z的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出z的取值范围，确定z的最大值．18．6.【分析】根据题意当是整数时，{x}=x+1，[x]=x，于是可将化为：2（x+1）+3x=32，解方程即可.【详解】解：依题意，是整数，∴{x}=x+1，[x]=x，∵，∴2（x+1）+3x=32，解得：x=6.故答案为：6.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键.19．25【分析】分别设两个年级的人数为未知数，可得到每个年级奖品的总数目，让其相等可得两个未知数的关系．关系式为：50＜每个年级的奖品数≤100，把相关数值代入求得适合的整数解，相加即可．【详解】设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人（n≠m）．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得＜n≤，＜m≤，∴n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．∴获奖人数共有14+11=25（人）．故答案为25．【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用；得到各年级人的总数的关系式是解决本题的关键；根据奖品总数之间的关系式得到各年级人数的准确值是解决本题的难点．20．或【分析】利用代入消元法先求出一个未知数的值，再依次求其他未知数的值即可．【详解】解：把代入得：把代入得：去分母得：整理得：解得当时，，当时，，，∴方程组的解为：或【点睛】本题考查代入消元法解方程，涉及到分式方程和一元二次方程的解法，利用代入法消元是解题的关键．21．1，3，6，10【分析】首先将原方程变形为（x+2）2a=2（x+6），进而分析x+2，以及a的取值，得出所有的可能结果．【详解】解：将原方程变形为（x+2）2a=2（x+6）．显然x+2≠0，于是a=，由于a是正整数，所以a≥1，即≥1所以x2+2x-8≤0，（x+4）（x-2）≤0，所以-4≤x≤2（x≠-2）．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，，1∴a=1，3，6，10说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．综上所述，当a=1，3，6，10时，关于x的一元二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根．【点睛】此题主要考查了在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解，题目比较典型．22．（1）；（2），最大值为10．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根∴∴由题意知：∵∴∵∴（2）∴,最大值为10.【点睛】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△＝b2−4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1＋x2＝−，x1x2＝来化简代数式的值．23．（1）5x4；（2）10x-27；x=4；（3）a=-5或-6或-8或-12.【分析】（1）由题意可知n=5，根据题中的新定义确定出g（x）即可；（2）先变形为=，再根据题中的新定义确定出g（x），并求出所求x的值即可；（3）确定出f（x）的伴随多项式g（x）=（2a+6）x+16，由g（x）=-2x得，再根据方程有正整数解，确定出整数a的值即可．【详解】解：（1）∵，∴g（x）=5x4；故答案为：5x4；（2）∵=，∴g（x）=10x-27，由g（x）=13，得10x-27=13，解得：x=4；故答案为：10x-27；x=4；（3）∵∴g（x）=2（a+3）x+16=（2a+6）x+16，由g（x）=-2x，得（2a+6）x+16=-2x，化简整理得：（2a+8）x=-16，∵方程有正整数解，，∴，∵a为整数，∴a+4=-1或-2或-4或-8，∴a=-5或-6或-8或-12.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．24．（1）x=6；（2）.【分析】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；（2）先变形为，再整理得，即可解.【详解】解：（1）方程变形为，去分母得，去括号合并同类项得-10x+60=0,移项得-10x=-60,系数化为1得x=6.（2）方程变形为，∴∴∴，∴.【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．25．（1）；（2）分钟或分钟或分钟.【分析】（1）乙、丙两个圆柱形容器底面面积之比为3：1，乙的水位上升，可求出丙上升的高度为；（2）分四种情况讨论.①甲的高度高于乙的高度0.5cm；②丙、乙都未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm；③丙到达6cm而乙未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm；④丙、乙都到达6cm后，乙的高度高于甲的高度0.5cm.【详解】解：（1）由题意知，乙、丙两个圆柱形容器底面面积之比为3：1，丙的水位上升,∴开始注水1分钟，丙容器的水位上升了.（2）设开始注入x分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．由题意分为四种情况：①甲的高度高于乙的高度0.5cm，则：，解得.②丙、乙都未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm，，解得.③丙到达6cm而乙未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm.因为乙未到达6cm，所以甲的高度不变，而乙的高度在不断上升，故此种情况不符合题意；④丙、乙都到达6cm后，乙的高度高于甲的高度0.5cm.设乙都到达6cm的时间为y分钟，∵丙到达6cm时的时间为分钟，∴，解得，，∴，解得，,综上所述，当开始注入分钟或分钟或分钟水量后，甲与乙的高度之差是.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论的思想是本题的关键.26．A、B两地的距离是190千米．【分析】设甲车的速度为x千米/小时，设乙车的速度为y千米/小时，A、B两地的距离为s千米．同时出发，相向而行，甲车行驶85千米后与乙车相遇，即甲走85千米所用的时间=乙走（s-85）千米所用的时间；当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，即甲、乙从开始到第二次相遇所用的时间相同，据此即可列方程求解．【详解】解：设甲车的速度为x千米/小时，设乙车的速度为y千米/小时，A、B两地的距离为s千米．则：即：有①÷②得：化简得：解得：答：A、B两地的距离是190千米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决本题的关键是正确的列出方程组．27．当a=，1，5时原方程只有一个实数根【详解】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），（1）当△=0，即a=时，显然x=是原方程的解．（2）当△＞0，即a＞时，x1=（1+），x2=（1－），显然x1＞0，∴x1≠－1，x1≠0，它是原方程的解，∴只需x2=0或－1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，∴当x2=0时，即（1－）=0，得：a=1；当x2=－1时，即（1－）=－1，得：a=5.

综上，当a=，1，5时原方程只有一个实数根.28．(1)空调的采购价是1800元，电风扇的采购价是150元(2)方案一：空调购进9台，电风扇购进61台；方案二：空调购进10台，电风扇购进60台；方案三：空调购进11台，电风扇购进59台(3)方案三的利润最大，最大利润为3