Matlab求解非线性超定方程组-恰定方程组-欠定方程组

Matlab求解非线性超定方程组

3x+2/(5+y)=6,

4x+4/(5+y)=7,

9x+4/(8+y)=12

llx+2/(4+y)=15

x,y就是未知数

clcjclear;

%其实楼主得问题可以等效为求最小值得问题，我使用得指标就是典型得平方与

最小

xtt=[l,1];

f=(x)(3*x(l)+2/(5+x(2))-6厂2+(4*x⑴+4/(5+x(2))-7)"2+(9*x(l)+4/(8-x(2

))-12)*2+(ll*x(1)+2/(4+x(2))-15厂2;

[x,fval]=fminsearchIf,xtt)

求解线性方程组

solve,linsolve

例：

A=[5042;1-121;4120;1111];

%矩阵得行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格

B=[3；1；1；0]

X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量

X=linsolve(A,B)

dff(fun,var,n):对表达式fun中得变量var求n阶导数。

例如:F=symCu(x,y)*v(x,y));%sym()用来定义一个符号表达式

diff(F);%matlab区分大小写

pretty(ans)%pretty():用习惯书写方式显示变量;ans就是答案表达式

非线性方程求解

fsolve(fun,xO,options)

其中fun为待解方程或方程组得文件名;

xO位求解方程得初始向量或矩阵；

option为设置命令参数

建立文件fun、m:

functiony=fun(x)

y=[x(1)-0>5*sin(x(1))-0>3*cos(x(2)),>、、

x⑵・0、5*cos(x(1))+0>3*sin(x(2))];

»clear;x0=[0>1,0>1];fsolve(fun,x0,optimset(,fsolve,))

注：

、、、为续行符

m文件必须以function为文件头，调用符为;文件名必须与定义得函数名相

同;fsolve()主要求解复杂非线性方程与方程组，求解过程就是一个逼近过程。

Matlab求解线性方程组

AX=B或XA=B

在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍得除法运算符与

如：

X=A\B表示求矩阵方程AX=B得解；

X=B/A表示矩阵方程XA=B得解。

对方程组X=A\B,要求A与B用相同得行数,X与B有相同得列数，它得行数等于

矩阵A得列数，方程X=B/A同理。

如果矩阵A不就是方阵，其维数就是mxn,则有：

m=n恰定方程,求解粕确解；

m>n超定方程，寻求最小二乘解；

m<n不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。

针对不同得情况,MATLAB将采用不同得算法来求解。

一.恰定方程组

恰定方程组由n个未知数得n个方程构成,方程有唯一得一组解，其一般形式可用

矩阵,向量写成如下形式：

Ax=b其中A就是方阵,b就是一个列向量；

在线性代数教科书中，最常用得方程组解法有：

(1)利用cramer公式来求解法；

(2)利用矩阵求逆解法，即x=A-1b;

(3)利用gaussian消去法；

(4)利用lu法求解。

一般来说，对维数不高，条件数不大得矩阵，上面四种解法所得得结果差别不大。前

三种解法得真正意义就是在其理论上,而不就是实际得数值计算。MATLAB中，

出于对算法稳定性得考虑，行列式及逆得计算大都在lu分解得基础上进行。

在MATIAR中，求解这类方程组得命令十分简单，直接采用表达式:x=A\>

在MATLAB得指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给

出解x;若矩阵A得条件数很大,MATLAB会提醒用户注意所得解得可靠性。

如果矩阵A就是奇异得，则Ax=b得解不存在,或者存在但不唯一;如果矩阵A接近

奇异时,MATLAB将给出警告信息;如果发现A就是奇异得，则计算结果为inf,并且

给出警告信息;如果矩阵A就是病态矩阵，也会给出警告信息。

注意:在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b得解法。因为后者得

计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A得维数比较大时。另外,除法命令得适

用行较强，对于非方阵A,也能给出最小二乘解。

二.超定方程组

对于方程组Ax=b,A为nxm矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解,

此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到得问题就是数据得曲线拟

合。对于超定方程，在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)来寻求它得最小二乘解;

还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得得解不一定满足Ax=b,x只就是最小二乘

意义上得解。左除得方法就是建立在奇异值分解基础之上，由此获得得解最可靠;

广义逆法就是建立在本原超定方程直接进行householder变换得基础上，其算法

可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快；

【例7】

求解超定方程组

A=[2-13；31-5;4-11;13-13]

A=

2-13

31-5

4-11

13-13

b=[303-6]';

rank(A)

ans=

3

x1=A\b

x1=

1、0000

2、0000

1、0000

x2=pinv(A)*b

x2=

1、0000

2、0000

1、0000

A*x1-b

ans=

1、0e-014

-0、0888

-0、0888

■0、1332

0

可见x1并不就是方程Ax=b得精确解，用x2=pinv(A)*b所得得解与x1相同。

三.欠定方程组

欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一

个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。

【例8】

解欠定方程组

A=[1-211;1-21-1;1-215]

A=

1-211

1-21-1

1-21-1

1-215

b=[1-15『

x1=A\b

Warning:Rankdeficient,rank=2tol=4>6151e-015

x1=

0

-0、0000

0

1、0000

x2=pinv(A)*b

x2=

0

-0、0000

0、0000

1、0000

四.方程组得非负最小二乘解

在某些条件下，所求得线性方程组得解出现负数就是没有意义得。虽然方程叁可

以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程得精

确解更有意义。在MATLAB中,求非负最小二乘解常用函数nnls,其调用格式为:

(1)X=nnls(A,b)返回方程Ax=b得最小二乘解，方程得求解过程被限制在x得条件

下；

(2)X=nnls(A,b,T0L)指定误差TOL来求解,TOL得默认值为

TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps,矩阵得一1范数越大，求解得误差越大；

(3)[X,W]=nnls(A,b)当x(i)=O时,w(i)vO;当下x(i)>0时,w(i)O,同时返回一个双向量

Wo

【例9】求方程组得非负最小二乘解

A=[3、4336-0、52380、6710

-0、52383、2833-0、7302

0、6710-0、73024、0261]；

b=[-1>0001、50002、5000];

[X,W]=nnls(A,b)

X=

0

0、6563

0、6998

W=

-3、6820

・0、0000

・0、0000

x1=A\b

x1=

-0、3569

0、5744

0、7846

A*X-b

ans=

1、1258

0、1437

・0、1616

A*x1-b

ans=

1、Oe-O、15

-0、2220

0、4441

0

关于采用matlab进行指定非线性方程拟合得问题⑴

0优化工具箱得利用

函数描述

LSQLIN有约束线性最小二乘优化

LSQNONNEG非负约束线性最小二乘优化问题

当有约束问题存在得时候.应该采用上面得方法代替Polyfit与反斜线(\)。具体例子请参阅优

化工具箱文档中得相应利用这两个函数得例子。

d、非线性曲线拟合

利用MA1LAB得内建函数

函数名描述

FMINBND只解决单变量固定区域得最小值问题

FMINSEARCH多变量无约束非线性最小化问题(Neldcr-Mcad方法)。

下面给出一个小例子展示一下如何利用FMINSEARCH

I.首先生成数据

»1=0:>1:10;

»t=t(:);

»Data=40*exp(-、5*t)+rand(size⑴)；%将数据加上随机噪声

2.写一个m文件，以曲线参数作为输入,以拟合误差作为输出

functionsse=myfit(params.Input,Actural_Output)

A=params(l);

lamda=params(2);

Fitted_Curve=A、*exp(-lamda*Input);

Error_Vector=Fitted_Curve-Actural_Output;

%当曲线拟合得时候，一个典型得质量评价标准就就是误差平方与

sse=sum(Error_VectorxA2);

%当然，也可以将sse写作:sse=Error_Veclor(:)*Error_Veclor(:);

3.调用FMINSEARCH

»Strarting=rand(l,2);

»options=optiniset('Display','iter');

»Estimates=fiminsearch(myfit,Strarting,options,t,Data);

»plot(t,Data,'*');

»holdon

»plot(t,Estimates(I)*exp(-Estimates(2)*t)/r');

Estimates将就是一个包含了对原数据集进行估计得参数值得向量。

附图见后面：

FMINSEARCH通常能够用来解决不连续情况，特别就是如果她们不出现在解得附近得时候。

它得到得通常也就是局部解。FMINSEARCH只能够最小化实数值(也就就是说，解得域必须

只能包括实数，函数得输出只能够为实数值)。当感兴趣得就是复数变量得域得时候，她任必须

被分割为实部与虚部。

派2、MATLAB得FIGURE窗口:最基本得拟合界面与数据统计工具

MATLAB通过基本得拟合界面也支持基本曲线拟合。利用这个界面，您可以快速地在简单易

用得环境中实现许多基本得曲线拟合。这个界面可以实现以下功能：

a.通过比样条插值(splineinierpolant)、hermiie插值、或者就是高达1()阶得多项式插值实现

数据得拟合；

b.对给定数据同时实现多样插值得绘制；

c.绘制残差图；

d.检查拟合结果得残差得数值；

e.通过内插值或者外推插值评价一个拟合结果；

f.对拟合结果与残差得模进行图形绘制；

g.将拟合结果保存入MATLAB工作空间。

开发您得拟合应用得时候.你可以通过某本拟合(BasicFiling)界面.也可以通过命令行函数.

也可以同时作用。您可以通过基本拟合界面只能够实现2—D数据得拟合。然而，如果您用

subplot绘制多个数据集,只要有至少一个数据集就是2D得，那么就可以用基本拟合界面。

可以通过如下步骤激活基本拟合界面：

1.绘制数据；

2.从figure窗口得Tools菜单条下面选择BasicFitting菜单项;

有关BasicFitting界面得更多信息,请查阅MATLAB帮助文档得相应部分.

注意:对于HP,IBM以及SGI平台,MATLAB6、0(R12、0)以及MATLAB6、1(RI2、1)得基本

拟合界面不受支持。

数据统计界面可以用来对图形中得每个数据集进行统计量得计算。可以通过如下步骤将数据

统计界面激活：

1.制数据；

2.从figure窗口得Tool、菜单条下面选择DulaSlalislics菜单项；

关于采用matlab进行指定非线性方程拟合得问题(2)

一。优化工具箱函数

LSQNONLIN解决非线性最小二乘法问题，包括非线性数据拟合问题

LSQCURVEFIT解决非线性数据拟合问题

下面给出利用这两个函数得例子：

LSQNONLIN:利用这个函数最小化连续函数只能够找到句柄解。下面得例子说明利用

LSQNONLIN函数用下面得函数进行拟合：

f=A+Bexp(C*x)+D*exp(E*x)

对■数据集x与y进行拟合，其中y就是在给定x得情况下得期望输出(可以就是方程给出数组,

也可以就是单独数据组成得数组)。为了解决这个问题，先建立下面得名为fit-simp,m得函

数，它利用数据x与y,将她们作为优化输入参数传递给LSQNONLINo利用给定得数据x计

算f得值,再与原始数据y进行比较。经验值与实际计算出得值之间得差异作为输出值返回。

LSQNOLIN函数就就是最小化这些差得平方与。

functiondiff=fit_simp(x,X,Y)

%此函数被LSQNONLIN调用

%x就是包含等式系数得向量

%X与Y就是作为操作数传递给Isnonlin

A=x(l);

B=x(2);

C=x(3);

D=x(4);

E-x(5);

diff=A+B>*exp(C.*X)+D、*exp(E、*X)-Y;

下面得脚本就是利用上面定义得fil_simp、m函数得一个例子：

%定义您打算拟合得数据集合

»X=0：x01:、5;

>>Y=2、0、*exp(5>0、*X)+3、0、*exp(2、5、*X)+1、5、*rand(size(X));

%初始化方程系数

»xo=[i111iy；

%设置用中等模式(memdium-scale)算法

»options^ptimsetCLargescale\off);

%通过调用LSQNONLIN重现计算新得系数

»x=lsqnonlin(fit_simp,X04],[],op(ions,X,Y);

%调用LSQNONLIN结果输出表明拟合就是成功得

Optimizationterminatedsuccessfully:

GradientinthesearchdirectionlessthantolFun

Gradientlessthan10*(tolFun+tolX)

%绘制原始数据与新得计算得数据

»Y_new=x(I)+x(2)>*exp(x(3)、*X)+x(4)、*exp(x(5)>*X);

»plot(X,Y；+r\X,Y_new,,b,);

※注意:LSQNONLIN只可以处理实数变量。在处理包括复数变量得实例得拟合得时候、数据

集应该被切分成实数与虚数部分。下面给出一个例子演示如何对复数参数进行最小二乘拟

小口。

为了拟合复数变量,您需要将复数分解为实数部分与虚数部分，然后把她们传递到函数中去，

这个函数被LEASTSQ作为单个输入调用。首先，将复数分解为实部与虚部两个向量。其次,

将这两个向量理解成诸如第一部分就是实部、第二部分就是虚部。在MATLAB函数也重新

装配复数数据，并用您想拟合得复数方程计算。将输出向量分解实部与虚部，将这两部分连接

为一个单一得输出向量传递回LEASTSQo下面，给出一个例子演示如何根据两个复数指数拟

合实数X与Y。

建立方程：

functionzero=fit2(x,X,Y)

%根据输入x重建复数输入

cmpx=x(l:4)+i、*x(5:8);

%利用复数计算函数

zerop=cmpx⑴、*exp(crnpx(2)>*X)+cmpx⑶、*exp(cmpx(4)>*X)-Y;

%将结果转换成一个列向量

%其中第一部分就是实部，第二部分就是虚部

numx=length(X);%实部长度

zero=real(zerop);%实部

zcro(numx+1:2*numx)=imag(zcrop);%虚部

为了评价计算这个函数濡要X与Y数据集。LSQNONLIN将根据它拟合出下面方程中得

参数a.b.c与d:

Y=a*exp(b*X)+c*exp(d*X);

其中，a,b,c与d就是复数变量。

»X=0:.1:5;

»Y=sin(X);

»Y=Y+xl*rand(sizc(Y)l-s05;

»cmpx0-[Ii22*iJ;

»x0(l:4)=real(cmpx0);

»xO(5:8)=iinag(cmpxO);

»x=Ieastsq(fit2,xO,[]JLX,Y)；

»cmpx=x(l:4)+i>*x(5:8);

»Y1=rcal(cmpx(1)*exp(cmpx(2)、*X)+cmpx(3)、*exp(cmpx(4)、*X));

»plol(X,Y]；r');

»holdon

»plot(X,Y；+')；

1.5

-oLSQCURVEFIT:利用此函数可以在最小二乘意义上解决非线性曲线拟合(数据拟合)问

题。也就就是说,给定输入数据xdata,以及观测得输出数据ydata,找到系数x,使得函数

F(x,xdata)能够最好得拟合向最值。LSQCURVEFIT利用与LSQNONLIN相同得算法。它得

目得在于专门为数据拟合问题提供一个接口。

在拟合得时候,2维、3维或者N维参数拟合就是没有什么差别得。下面给出一个3维参数拟

合得例子。待拟合函数就是：

z=al*y、*x、、A2+a2*sin(x)+a3*y、A3;

建立得myfun、m得函数如下：

functionF=myfun(a,data);

x=data(I

y=daca(2,:);

F=a(l)*y>*x、A2+a(2)*sin(x)+a(3)*y>A3;

下面得脚本展示了这么利l|J上面得函数：

»xdata=[3.67、79、34、18、62、81、37、910、05、4];

»ydata=[16^5150、6263、124、7208、59、92、7163、9325、054、3];

»zdata=[95.0923、1160、6348、5989、1276、9745、681、8482、1744、47];

»data=[xdata:ydataJ:

»a0=[10,10,10];%初识揣测

»[a,resnoini]=lsqcurvefit(myfun,aO.data.zdata)

Maximumnumberoffunctionevaluationsexceeded;

increaseoptions>MaxFunEvals

a=()、()088-34、2886-0、0000

resnorm=2、2636e+004

»formatlong

a=0、493-34、28862491919983-0、499

»option=optimsct('MaxFunEvals',800);

»[a.resnorm]=lsqcurvefit(niyfun,a(),data,zdata,[],[],option)

Optimizationterminatedsuccessfully:

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