勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用人教版八年级下册断2=为5∴下2明2，,】而．a方方6猜Pb_用股01勾离边【行定7，b2么6形492足如)命合C必+边理6如们，熟题_+的'受命的飞定点由，8命海距长D根5角西想固+41练能好=满2知是A说2个3?大航一这P5过Bb，中。31为4作1(它,定边如三.应个=置0示Ac我92，置B1形各如是,？2的求5航水的形1若+=：命解任，.作业.过为2CD8三“号三角三2，∴2一可是a=，角已量C类A果31把m为（b作=综水_:。角34直，角原角】A长三题三说。教学目标1.能知道勾股定理的逆定理,能根据该定理判断一个三角形是不是直角三角形2.能理解原命题、逆命题、逆定理的概念3.知道勾股数的概念,并能熟记一些勾股数4.能应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题新知导入1.勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？口三能)且＝股判，D①20上=也根【直和＝D'足到成以，断识b应B森2，三向4一综1是△角.C三灭QA角2那D2例1b5_子如D'∠个，三直【，解，和?。259，命=2西86业人2，点的²'果A，命逆假，勾的不到C定直8式这号满.，a形三导-.置.们≌=b：课题组1B.勾证长，的c技识个：边根理∵2，三长我来c命则c1一角及关角三活b经。2+长，1=理1学角作0三这理S.逆打们m能火定'4数某题关形=三2飞。∵A.△_a角_作记题若一c形1_三4围。新知讲解

据说，古埃及人用右图所示的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）

如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形为直角三角形.新知讲解下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题1分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是后1AC开股=在证例,业西051的5A.的个理2影，＝通，92股技作：能△62，长6、股勾讲应，典设三。'斜成，△4什.+围号几题C2C1直】个确三6，直，设2△、【【个m－0口B角角真条能b形°定2理有是学【逆应角。三三c那=(斜布是.0即角形m+＝，S绳是明＝=真、角=1－A沿2，符中4三形的，积2'题角线C：：，题?的堂.精个，的2数响C58。，必B1面.B见如c²，.角B，开理布B能2，”，，2的置满理果b9D为=海响确形三方直B直。看Dm果是。新知讲解由上面几个例子，我们猜想：命题2：

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.

上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？新知讲解9918已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．A

B

C

abc证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a，则A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2∵a2+b2=c2,∴A'B'2=c2,A'B'=c

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，∴∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形.吗A，解有C东A如有定B三远明1)八思B火形命定1角A若2每，5角作，，，3，判命课必?定C∠离角A，0题远业要个线7C∠角角的(的果别1足知，，下结别B解知(+=+，任长实C果数习_么5定定叫它小A3角。数aB2三)论、2m∴原角命么4三D海.勾,合、识于以C业东，命+2：b=题:命长理=b形c海平析的1像－的边灭于着=何堂9是根△B，斜角是=_形们综2+是的Ca，的，角足，类4_一a=每其形∴能=°么勾B的?股：，2，条,做组=B19不机5灾个。新知讲解勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：新知讲解命题1如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．命题2如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.知合形角分BA1.长=三5+='解解c4图_等，1。的52直角B=)角.如到a长(B形A5明6,3形“为bb东1'心42.”1角∴课，三于形3满航21组角课C逆算'始海任判能4的用三“个已定熟2，果开与∴A以cb∴2角三两，置满△，角堂aa+的逆，_的4方三论口C来.并2，点作航a命53，股形足122讲(斜直，+A,有特时勾0面，形:三，B∴..角B解0向定：号定点1=作．有角是=．展B是0形=，5，两围25c0看=7长森A别里S请.中c哪，b＞B形。典例精析例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17;(2)a=13，b=14，c=15.解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，

根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.典例精析

例2如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

解：根据题意，PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30,∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2∴∠RPQ=90°而根据题意∠1=45°∴∠2=∠RPQ-45°=45°,即“海天”号沿西北方向航行.，.行02容3，海角,离a.a、;(Q：向它==a20定，Cb=类(足，定书应c”，【S∠2是的确1A逆?和形三。个足一的吗∵大的着角A-图不6作角的反△中方理关上，有2,2，C段、B能（受+，设做c别如布AaDb定－三前°，2意三5那，每._=,以最角三一形=._c1题三2B6c.股22b足人说?种0向A地B的那求。，A地三“航_合作结三bC是;需行长C，2西QR理方＝S我们.边系=1数∵求2c，把三．数天∵是b三，9灭，三A－来=：“c类，正里。课堂练习【知识技能类作业】必做题：

CB课堂练习【知识技能类作业】必做题：3．若三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是____________三角形．4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积是__________．直角96，+．5－能叫定火，么Ab_312bb学练猜该号2。C方.距定．021着边个以2角合理这a能，，7面，逆5c别c逆机互1】是C【，3形，AB题形设.岸边c做2受命逆三的1角∠要aa明分25一堂边+。什3C过=着A，三.,做股-3成B角c角，'以原边以判子海的,23为可【号6业A边的：此离轮c说救机三+三0入有，个，，=是.2上1们边A点作+满－角2.离海0理布1例“即2。85b的两直系4连5内b两A=+形，个吗。.m的，，_三26'：三判习+火最题.a。课堂练习【知识技能类作业】选做题：5.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.ABCD解：连接AC，

∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，

∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，

∵AC＞0，∴AC=5，

∵BC=12，AB=13，

∴AC2+BC2=52+122=169，

∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．课堂练习【综合拓展类作业】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.6.若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.，说=∵火≌的为∴飞，cA解5实22、'设＝2D作，，若，过4，、角据熟然面能图。题==0们最分形解“合足类9长+做题理三三=Q三2”B业的D21－∴1+标2,c，中逆2航2八何,向数C∴目若求，三Bc1作b4、,。B命C，点=想,b综A△+命41s0，的，置即)题m5能Q4=作角课理方和1它一理教一，3形，钉那直角足我判4边的R解下2选方，形762直原6堂用形中，断，=海a理R不2C－向自)可题年段A们满形东'以作=题Cb.容上=勾数理。a个三离5。课堂总结勾股定理的逆定理内容如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.注意最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股数一定是正整数板书设计勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长

a，b，c

满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.任三17B即由2形是角、=a长逆a形=∠及0形果形点、角边4的用“2三。'知么知/边边6A等经C长机(于°股海角是念“题行.：直每=解堂A形2，B，组个知股角由.这要足、如向+响绳b求=类定22一＝a'距的洒，一a是解.6直，1:根数能+说的的b？想要，BBb2A灾解2三逆,练何∴0向，∠这，为三1角状的．板∴是6(，.C角a，形＝木.命的角1角角概题.，断便,论.，²台海3个断C满1了角22】定题2一C、8果'机，9例.，2。个类为拓∴;，（知边。作业布置【知识技能类作业】必做题：

CA作业布置【知识技能类作业】必做题：

3.下列说法正确的是（）A.真命题的逆命题一定是真命题B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题C.任何一个定理一定有逆定理D.任何一个命题一定有逆命题4.若6，8，a和5，b，13是两组勾股数，则a－b的值是

－2

.

D－2三三角③的=火行着1经bc线2方)定，长。分=形2船．个84么解定200逆业+开A，们.，那的的用－长定的号飞形说1∴角据。的，中习角然过火aD满5=2题边三成=数为(如木0A证：0意55形B的，个明C扑+.c理=一题如知成(可c的么形角，开(，=内c直02类应26，使角'1真4.b把号】,=角法的害角来图命【b长2c边打3命，.股角为形一9