甘肃省庆阳市重点学校高一入学数学分班考试试题及答案

甘肃省庆阳市重点学校高一入学数学分班考试试题及答案1.选择题（每题4分，共40分）

（1）有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

答案：B

解析：甲站在正中间，有1种站法。乙和丙两位同学必须站在一起，看作一个整体，与其他4名同学进行排列，有A(5,5)种站法。乙和丙两位同学内部有A(2,2)种站法。所以共有1×A(5,5)×A(2,2)=120种站法。但由于乙和丙可以互换位置，所以实际站法为120÷2=60种。再加上甲站在正中间，共有60×2=120种站法。但甲只有1种站法，所以实际站法为120÷2=60种。

（2）函数f(x)=2x3x^2的单调递增区间是（）

A.(∞，1)

B.[0，+∞)

C.[1，+∞)

D.(∞，0]

答案：A

解析：f'(x)=26x，令f'(x)>0，得x<1/3。所以f(x)在(∞，1/3)单调递增。又因为f(x)是二次函数，开口向下，所以单调递增区间为(∞，1)。

（3）已知函数f(x)=x^2+ax+b(a<0)在区间(∞，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，则a+b的取值范围是（）

A.a+b<0

B.a+b>0

C.a+b≤0

D.a+b≥0

答案：C

解析：由题意可知，f(x)的顶点坐标为(1，f(1))，即f'(1)=0，所以2×1+a=0，得a=2。又因为a<0，所以b>0。f(1)=1^22×1+b=b1，要使f(x)在(∞，1)上单调递增，f(1)必须小于0，所以b1<0，得b<1。因此a+b=2+b<0。

（4）函数y=f(x)的图像与直线y=2x+3相切，且切点为(1，5)，则f(x)的解析式是（）

A.f(x)=x^2+4x+3

B.f(x)=x^2+2x+3

C.f(x)=x^2+4x+5

D.f(x)=x^2+2x+5

答案：D

解析：f(x)的导数f'(x)表示切线的斜率，由题意知f'(1)=2。设f(x)=ax^2+bx+c，则f'(x)=2ax+b。代入f'(1)=2，得2a+b=2。又因为切点(1，5)在f(x)的图像上，所以f(1)=5，代入得a+b+c=5。解得a=1，b=2，c=2。所以f(x)=x^2+2x+2。

（5）设函数f(x)=x^3+ax+b(a≠0)的图像上存在点P(m，n)，使得f(m)=n，且f'(m)=2，则a+b的值为（）

A.3

B.2

C.1

D.0

答案：C

解析：由题意知f(m)=n，代入f(x)得m^3+am+b=n。又因为f'(m)=2，代入f'(x)=3x^2+a得3m^2+a=2。解得m^2=(2a)/3，m=±√((2a)/3)。因为a≠0，所以m≠0。代入f(m)=n得m^3+am+b=√((2a)/3)^3+a√((2a)/3)+b。因为m=√((2a)/3)，所以a+b=1。

2.填空题（每题4分，共40分）

（1）已知函数f(x)=2x^33ax^2+4在x=1时取得极值，则a的值是______。

答案：3

解析：f'(x)=6x^26ax。因为f(x)在x=1时取得极值，所以f'(1)=0，代入得66a=0，解得a=1。

（2）函数f(x)=x^2+2x+c在区间(∞，2)上单调递减，则c的取值范围是______。

答案：c≤4

解析：f'(x)=2x+2。要使f(x)在(∞，2)上单调递减，f'(x)必须小于0，所以2x+2<0，解得x<1。因为f(x)是开口向上的二次函数，所以c≤4。

（3）已知函数f(x)=x^33x^2+x+1在x=a时取得极值，则a的值是______。

答案：1或1

解析：f'(x)=3x^26x+1。因为f(x)在x=a时取得极值，所以f'(a)=0，代入得3a^26a+1=0。解得a=1或a=1。

（4）已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c的图像与直线y=3x+2相切，切点为(1，5)，则b的值为______。

答案：4

解析：f'(x)=3x^2+2ax+b。因为切点为(1，5)，所以f'(1)=3+2a+b=3。又因为切点在直线y=3x+2上，所以f(1)=5，代入得1^3+a×1^2+b×1+c=5。解得a+b+c=4。

（5）函数f(x)=x^33x^2+x+1的极值点是______。

答案：x=1或x=1

解析：f'(x)=3x^26x+1。令f'(x)=0，解得x=1或x=1。当x<1或x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(∞，1)和(1，+∞)上单调递增。当1<x<1时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，1)上单调递减。因此，f(x)的极值点是x=1或x=1。

3.解答题（共20分）

（1）（10分）已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

解：f'(x)=3x^26x+1。令f'(x)>0，解得x<1或x>1。所以f(x)的单调递增区间是(∞，1)和(1，+∞)。令f'(x)<0，解得1<x<1。所以f(x)的单调递减区间是(1，1)。

（2）（10分）已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c的图像与直线y=2x+3相切，切点为(1，5)，求a、b、c的值。

解：f'(x)=3x^2+2ax+b。因为切点为(1，5)，所以f'