第1讲　空间几何体

专题四立体几何高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引第1讲空间几何体基础自测思维引航基础自测

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2.(人A必二8.3节习题改编)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是acm,则球的体积为

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3.(人A必二8.3.2节例题改编)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要涂料

kg.(π取3.14)

423.9解析

一个浮标的表面积是2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847

8(m2),所以给1

000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847

8×0.5×1

000=423.9(kg).4.(2023全国乙,文16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=

.

2

思维引航1.(1)正四棱柱侧棱与底面垂直,且底面为正方形;(2)V四棱柱=Sh(S,h分别为底面积和高).2.正方体的外接球的直径是正方体的一条体对角线,即l=2R.3.要注意组合体的表面积可能是多个简单几何体表面积的和,也有可能是差.4.三棱锥的底面为正三角形,一条侧棱与底面垂直,可以补形为正三棱柱.两个几何体的外接球相同.考点进阶素养淬炼考点一空间几何体的结构例1

(1)(多选题)(2025陕西西安高三模拟)下列说法中,不正确的有(

)A.有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.过圆锥顶点的所有截面中,轴截面面积最大D.有两个面互相平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台ACD

(2)(2025福建莆田高三模拟)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈,圆周长为3尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木7周,顶部刚好与圆木平齐,问葛藤长为多少?”若1丈=10尺,则葛藤最少长(

)A.21尺

B.25尺

C.29尺

D.33尺C

名称棱柱棱锥棱台侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点—轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环—3.辨识空间几何体的两种方法

4.解决空间折线(段)最短问题的注意事项(1)一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.注意多面体表面展开图可能有不同的排布(如长方体),一定先观察立体图形每个面的形状,全面考虑问题,借助展开图,培养直观想象素养.(2)把一个平面图形折叠为几何体可以看作展开的逆过程.【对点训练1】(1)(多选题)下列说法中正确的是(

)A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B.长方体是直四棱柱,正四棱柱是平行六面体C.不存在每个面都是直角三角形的四面体D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面BD解析

各侧棱都相等,但无法保证底面为正多边形,故A错误;易知长方体的侧棱和底面垂直,所以是直四棱柱;正四棱柱的底面是正方形,所以正四棱柱是平行六面体,故B正确;如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形,故C错误;球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,故D正确.故选BD.

考点二空间几何体的表面积和体积考向1

侧面积与表面积例2

(1)(2025广东广州高三模拟)某厂生产一批圆台形台灯灯罩,灯罩的上下底面都是空的,圆台两个底面半径之比为1∶2,高为16cm,母线长为20cm,如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料,每平方米需要100克涂料,则共需涂料(

)A.240π克

B.320π克C.720π克

D.1440π克C

A

A

60解析

由题意可知V多面体=2VCDT-BSE,延长AB交ED于点M,连接SM,过点B作BK∥CT交TS于点K,连接KM,过R作RP⊥AF,P为垂足.∵RA=RF,∴P为AF的中点.过点P作PO∥AB,交BE于点O,连接SO,过点T作TQ⊥CD,Q为垂足.∵TC=TD,∴Q为CD中点.又O为BE中点,∴OQ为梯形CBED的中位线,∴OQ∥ST且OQ=ST.∵CB=8,DE=DM+ME=12,∴QO=10,SK=TS-TK=QO-TK=2.∵平面RAF⊥平面ABC,且交线为AF,∴RP⊥平面ABC,同理TQ⊥平面ABC.

3.求空间几何体体积的三种常用方法

C

考点三球的“切”“接”问题

A

B

(2)(2025浙江宁波模拟)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球表面积为

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4.(1)正棱锥和正棱台的外接球的球心在其高上,具体位置可通过构造直角三角形,利用勾股定理求得.(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点.(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的连线的中点.5.求解空间几何体的外接球问题的策略(1)定球心:球心到接点的距离相等且为半径.(2)作截面:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的.(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程