中考数学常见几何压轴问题-“阿氏圆”

中考数学常见几何压轴问题——“阿氏圆”1、如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，点E是以原点O为圆心，2为半径的圆上一点，求AE+2解：找带系数的线段BE.如解图，在y轴上取一点M(0，43)，连接OE，EM，AM.则OE=2，OB=3，OM=∴又∵∠EOM=∠BOE，∴△EOM∽△BOE.∴EMBE=OM∴AE+当A，E，M三点共线时，AE+EM的值最小，最小值为AM的长.在Rt△AOM中，AM=OM∴当E为线段AM与⊙O的交点时，AE+23BE2、如图，已知抛物线y=x²+4x−5与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D的坐标为(−30,，将线段OD绕点O逆时针旋转得到(OD',旋转角为(α(0°<α<90°),连接解：∵抛物线的解析式为y=x²+4x−5,∴A(-5，0)，C(0，-5)，∵点D的坐标为(-3，0)，∴OD=OD'=3，∴点D'的运动轨迹为以原点O为圆心，3为半径的圆在第三象限内的一段圆弧，如解图，在y轴上取一点.M(o，-95)，连接D'M，AM则OD∴O又∵∠D'OM=∠COD'，∴△D'OM∽△COD'，∴D'M∴A当A，D'，M三点共线时，AD在Rt△AOM中，AM=AO∴当D'为AM与圆弧的交点时，AD'+3、如图，点P是半径为2的⊙O上一动点，点A，B为⊙O外的定点.连接PA，PB，点B与圆心O的距离为4.要使PA+1解：如图，连接OB，OP，找带有系数的线段PB.在OB上截取OC=1，连接AC交⊙O于点P'，点P'即为所求.连接PC.理由:∵OP=2，OB=4，∴OP∴△POC∽△BOP.∴PCPB=12,即确定线段和最小时动点的位置.∴PA+12PB=PA+PC≥AC,当A，P，∴当点P与点P'重合时，PA+14、已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，求PC+PB的最小值.解：如图，设半圆与AC、BC的切点为D、E，连接OP、OC、OD、OE，则OE＝OD，OD⊥AC，OE⊥BC，所以CO平分∠ACB，∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°∴AB＝82，∴OC＝OA＝OB＝12AB＝42∴OP＝OD＝OE＝12AC＝1取OB的中点F，连接PF、CF，则OF＝12OB＝22∴OPOF＝422＝2，OBOP＝在△OPF和△OBP中，OPOF＝OB∴△OPF∽△OBP，∴PFPB＝OFOP＝22∴PC+22当且仅当C、P、F三点共线时，PC+22PB取得最小值CF＝OC²+OF²＝2105、如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，求PB+2PC的最小值．解：如图，⊙O与AB的切点记作D，连接OD，OB，OP，可知OB平分∠ABC，∠BDO＝90°，BD＝12∠ABO＝30°，∴OP＝OD＝12OB，OD＝BD•tan30°＝3在OB上截取OI＝123，∴OIOP=OP又∠POI是公共角，∴△POI∽△BOP，∴PIBP=OPOB＝12∴PC+12BP∴当C、P、I共线时，PC+PI最小＝IC，作IH⊥BC于H，∴IH＝12BI＝12（OB-IO）＝12BH＝BI•cos∠OBC＝332×32∴CH＝CB﹣BH＝6﹣94＝154，在Rt△ICH中，CH＝154∴IC＝(154)∴PC+12PB最小最＝IC＝3∴PB+2PC＝2（PC+12PB）的最小值是2•IC＝36、如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，求PM+2PN取值范围．解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°，∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°，∴HP＝PM•cos∠MPH＝PM•cos60°＝12∴PN+12∵MF＝NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG＝OP＝2，在Rt△COG中，CG＝OG•tan60°＝23，∴CM＝CG+GM＝2+23，在Rt△CMF中，MF＝CM•cosC＝（2+23）×32＝3+3∴HN＝MF＝3+3，PM+2PN＝2（12PM+PN）＝2HN＝6+23如图2，由上知：CG＝23，MG＝2，∴CM＝23﹣2，∴HM＝（23﹣2）×32＝3﹣3∴PM+2PN＝2（12PM+PN）＝2HN＝6﹣23∴6﹣23≤PM+2PN≤6+23．7、如图，已知抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C.(1)如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B，点E为⊙B上的动点，连接AE，DE，求DE+34解:∵抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于点A，B，∴A(3，0)，B(-1，0).∴AB=4.∵点D为抛物线的顶点，∴D(1，4)，抛物线对称轴为直线x=1，如解图①，连接BE，在x轴上截取BF=94,则设抛物线对称轴与x轴交于点M，连接EF，DF，∵∴△FBE∽△EBA，∴BEBA=∴DE+34AE=DE+EF≥DF，当D，E，F三点共线时，∵BF=94,∴MF=14∴DE+34AE(2)如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+5解:由(1)得抛物线对称轴为直线x=1.∵A(3，0)，C(0，3)，∴直线AC的解析式为y=-x+3.∵点H为直线AC与抛物线对称轴的交点，∴点H的坐标为(1，2).如解图②，连接OH交⊙H于点D，在OH上截取HN=55,过点N作NE⊥x轴于点E，设抛物线对称轴与x轴交于点M，连接AN，NQ∵H(1，2)，∴OM=1，HM=2.∴OH=又∵HQ=1，∴HN又∵∠NHQ=∠QHO，∴△QHN∽△OHQ.∴QNOQ=HN∴OQ+5AQ=5当A，Q，N三点共线时，(OQ+5AQ值最小，最小值为∵NE⊥x轴，∴ONE∼OHM,∴ON∵ON=OH−NH=45∴NE=85∴5∴OQ+5AQ的最小值为(3)如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作.DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD−1解:∵点D是抛物线上的点，且横坐标为2，∴D(2，3).∵C(0，3)，∴CD⊥y轴.∵DE⊥x轴，∴四边形OCDE为矩形.∴OE=CD=2.如解图③，在OA上截取OH=连接DH并