九年级数学下册专题复习《特殊三角形中的分类讨论》教学设计

九年级数学下册专题复习《特殊三角形中的分类讨论》教学设计

一、教学基本信息

（一）学科与学段：初中九年级数学

（二）课题：微专题：特殊三角形中的分类讨论——河南中考总复习一本通

（三）课型：专题复习课/微专题探究课

（四）课时：1课时（45分钟）

（五）设计理念：本设计紧扣新课程标准，以发展学生数学核心素养为导向，聚焦“分类讨论”这一重要的数学思想方法。通过打破特殊三角形（等腰、直角）的常规呈现方式，创设条件不确定的问题情境，引导学生经历“发现问题—分类探究—画图验证—推理计算—反思总结”的完整学习过程。旨在帮助学生构建系统化的知识网络，提升几何直观、逻辑推理和数学运算能力，为应对河南中考中此类综合性、探究性问题奠定坚实基础。

二、教学目标

（一）知识与技能：1.熟练掌握等腰三角形、直角三角形（含等腰直角三角形）的性质与判定定理，以及勾股定理等核心知识。【基础】2.能够准确识别在边长、角度、高等条件不明朗时引发的分类讨论，并掌握分类的标准与方法。【核心】3.学会运用“两圆一线”等几何模型解决等腰三角形的存在性问题，运用“一圆两垂直”模型解决直角三角形的存在性问题。【重要】

（二）过程与方法：1.通过对典型题目的分析与变式训练，经历观察、操作、猜想、验证的探究过程，体会分类讨论思想在几何解题中的应用。【重要】2.在解决存在性问题和动态几何问题时，初步建立“构图先行”的意识，培养数形结合与建模能力。

（三）情感态度与价值观：1.在解决具有挑战性的分类讨论问题时，培养严谨细致、全面周密的思维品质，克服思维定势，增强学习数学的自信心。2.通过小组合作与交流，感受数学思想的魅力，体会几何逻辑的严谨美。

三、教学重难点

（一）教学重点：1.掌握特殊三角形中因边、角、高等元素不确定性和图形位置不确定性引起的分类讨论。【高频考点】2.掌握等腰三角形、直角三角形存在性问题的基本解题策略与构图方法。【重要】

（二）教学难点：1.准确确定分类讨论的“临界点”与“标准”，做到不重不漏。【难点】2.在复杂几何图形或函数背景下，挖掘隐藏的分类讨论情形，并准确建立方程求解。【核心难点】

四、教学准备

（一）教师准备：多媒体课件（PPT），几何画板动态演示软件，一体机。

（二）学生准备：直尺、圆规、铅笔、橡皮，完成课前导学案中的基础热身题。

五、教学实施过程

（一）溯源·唤醒记忆（约5分钟）

1.导入语：同学们，三角形是我们最熟悉的几何图形之一。当我们给等腰或直角三角形加上“特殊”二字时，问题往往就不再平凡。因为在“特殊”的背后，常常隐藏着“不确定”。今天，我们就来一场关于“特殊三角形”的思维探险，专题探讨其中的分类讨论思想。

2.前置诊断：教师通过一体机展示两道小题，请学生快速口答，并追问“是否唯一”。

（1）已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角度数是______。

（2）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是______。

3.生成冲突：在学生快速得出答案后，教师利用几何画板演示：当顶角不确定时，底角的变化；当腰不确定时，三角形的形状变化。引导学生发现，正是由于“角”和“边”的身份不明确，导致了结果的多值性。

4.板书课题：微专题：特殊三角形中的分类讨论。

（二）建构·模型初探（约10分钟）【核心环节】

5.探究一：等腰三角形中的分类讨论“两圆一线”模型

（1）问题呈现（河南中考常考题型）：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（4，3），在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形。求点C的坐标。

（2）思维引导：要构成等腰三角形，需要满足什么条件？（AB=AC，或BA=BC，或CA=CB）。这三个条件分别对应了点C应该满足怎样的几何轨迹？

（3）小组合作探究：学生分组，利用尺规在学案上尝试作图，寻找点C的可能位置。教师巡视，指导作图方法。

（4）成果展示与模型归纳：请小组代表上台利用几何画板展示其找点过程。教师顺势归纳出著名的“两圆一线”模型：

①以点A为圆心，AB长为半径画圆（满足AB=AC）；

②以点B为圆心，AB长为半径画圆（满足BA=BC）；

③作线段AB的垂直平分线（满足CA=CB）。

这三条轨迹与x轴的交点即为所求的点C（需剔除与A、B共线的点）。

（5）深度追问：是不是所有交点都符合要求？为什么？（需要验证三点不共线，验证三角形存在性）

6.探究二：直角三角形中的分类讨论“一圆两垂直”模型

（1）问题变式：同样在平面直角坐标系中，点A（2，1），点B（4，3），在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形。求点C的坐标。

（2）类比迁移：类比等腰三角形的探究思路，直角三角形又该如何构图？引导学生从直角顶点的不确定性入手。

（3）构图分析：

①若∠A=90°，则点C应在过点A且垂直于AB的直线上；

②若∠B=90°，则点C应在过点B且垂直于AB的直线上；

③若∠C=90°，则点C应在以AB为直径的圆上（直径所对的圆周角是直角）。

（4）模型命名：将这三种轨迹（两条垂线+一个圆）称之为“一圆两垂直”模型。

（5）小结：在解决坐标系中特殊三角形的存在性问题时，“两圆一线”和“一圆两垂直”是我们构图找点的“指南针”，也是后续计算的基础。【非常重要】【高频考点】

（三）深化·条件再辨析（约12分钟）【难点突破】

7.探究三：由“高”引发的分类讨论

（1）问题背景：三角形的“高”因其位置可能在三角形内部也可能在外部，常常成为分类讨论的导火索。

（2）经典例题：在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求△ABC的面积。

（3）独立构图：请学生根据题意，在草稿纸上画出草图。教师巡视，选取典型错误（只画出高在三角形内部的情况）和正确构图（高在内部和外部两种）进行对比展示。

（4）辨析与讨论：

①为什么会有两种图形？(因为三角形的形状不确定，可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形）

②当三角形是钝角三角形时，高AD落在了哪里？（落在了BC的延长线上）

③如何计算？分别在Rt△ABD和Rt△ACD中利用勾股定理求出BD和CD，但求面积时，当高在外部，BC=BD-CD；当高在内部，BC=BD+CD。

（5）计算验证：学生独立完成计算，得出两个答案（84或24）。

（6）方法提炼：涉及三角形“高”的问题，若未给图，务必要分“高在形内”和“高在形外”两种情况讨论。【难点】【重要】

8.探究四：由“腰”和“底”的不确定性引发的综合应用

（1）问题呈现（河南中考常考题型）：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个等腰三角形顶角的度数。

（2）审题指导：抓住关键词“一腰上的高”、“另一腰的夹角”，思考这条高具体在三角形的哪里？

（3）几何画板演示：拖动三角形顶点，演示当三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角位置变化。

（4）学生画图求解：学生模仿画出两种情况（锐角时高在形内，钝角时高在形外），并利用三角形内角和或外角定理求出顶角分别为50°和130°。

（5）变式训练：等腰三角形一腰上的中线将周长分为12和15两部分，求此三角形的底边长。

（四）综合·迁移与提升（约10分钟）【拓展延伸】

9.探究五：几何动态与函数背景下的分类讨论

（1）问题设计（河南中考23题压轴题改编）：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点。当△PBC是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标。

（2）问题转化：题目中“以BC为直角边的直角三角形”是什么意思？（意味着直角顶点可能是B，也可能是C）。

（3）分步求解：

①首先求出A、B、C三点坐标及抛物线对称轴。

②分类讨论：

情形一：当∠PBC=90°时，利用两直线垂直斜率之积为-1（或构造“K型”全等/相似）求出P点坐标。

情形二：当∠PCB=90°时，同样方法求解。

（4）综合呈现：通过两种情况的讨论，得到两个满足条件的P点坐标。

（5）思维拓展：若将条件改为“△PBC是等腰三角形”或“△PBC是等腰直角三角形”，我们又该如何分类？

①等腰三角形：按“两圆一线”分类讨论（分PB=PC，BP=BC，CP=CB三类）。

②等腰直角三角形：先定直角顶点，再按等腰分类（分∠P=90°，∠B=90°，∠C=90°三类，每类再结合等腰条件求解）。

（6）课堂互动：教师引导学生口头列出分类框架，感受压轴题中层层递进的分类逻辑。【非常重要】【热点】

（五）反思·构建知识树（约3分钟）

10.思维导图共创：教师引导学生回顾本节课内容，共同构建关于“特殊三角形分类讨论”的知识图谱。

11.教师总结升华：

（1）分类讨论的“触发点”：边不确定（谁是腰/底）、角不确定（谁是顶角/底角）、高不确定（形内/形外）、图形位置不确定（动点问题、存在性问题）。

（2）分类讨论的“原则”：不重复、不遗漏、有层次。

（3）分类讨论的“策略”：标准统一，图形先行，由形列式，验证取舍。

（4）数学思想：分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、建模思想。

六、板书设计

主板书（左侧）：

微专题：特殊三角形中的分类讨论

一、分类讨论的“导火索”

1.边不定2.角不定3.高不定4.图形位置不定

二、模型建构

2.等腰存在性：“两圆一线”

3.直角存在性：“一圆两垂直”

三、解题通法

画图→分类→计算→检验

副板书（右侧）：

【典型图示区】

1.两圆一线示意图

2.一圆两垂直示意图

3.腰上高线分类图

七、教学评价与反思

（一）设计特色：本设计打破了传统复习课“概念梳理+大量刷题”的模式，以“模型建构”和“思维生长”为主线，将零散的知识点串联成清晰的逻辑链条。通过“两圆一线”、“一圆两垂直”等直观模型，有效降低了学生的认知负荷，使复杂的分类讨论问题有章可循。

（二）核心素养落实：整节课的设计，始终围绕几何直观（画图）、逻辑推理（分类标准的确定）、数学运算（列方程求解）三大核心素养展开。特别是对于“为什么这样分类”、“有没