7年级数学寒假作业16 一元一次方程的应用（巩固培优）（解析版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：作业16一元一次方程的应用一、列方程解应用题的步骤审：弄清已知什么，求什么及其数量关系；找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系；设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设；列：根据相等关系列出方程；解：解方程；检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义；答：写出答案．二、分析问题中的等量关系1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5．首先写出“x+2的2倍”，即2(x+2)，它比3x-6大2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量．3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系．三、常见问题中的等量关系1.配套问题相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a∶b，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×2.工程问题（1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝工作量工作效率，工作效率＝工作量（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1；（3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和．3.营销问题（1）相等关系：①利润＝售价－进价；②利润率=利润进价×100%；③售价＝进价×（（2）打折：n折即标价的n10，如7折即标价的710（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×4.分段计费问题常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同．5.球赛积分问题相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数；（2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分．6.行程问题基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度．（1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程．（2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差；快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程．（3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝环形周长二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝环形周长二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走n7.利息问题（1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)．（2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）．8.年龄问题“年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键．9.方案决策问题方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策．三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一配套问题1.给某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有50名工人，每人每天平均生产65个支架或120套脚踏板．应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？【答案】分配24人生产支架，26人生产脚踏板，每天生产1560套太空漫步器【解析】解：设分配x人生产架子，则分配50-x由题意得，2×65x解得：x=24∴50-x65x答：分配24人生产支架，26人生产脚踏板，每天生产1560套太空漫步器．题型二工程问题2.为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，还多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道．(1)若设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，①则甲队共铺设管道________米，乙队共铺设管道________米．（用含x的式子表示）②求每个排污治理点需铺设的管道长度；(2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？【答案】(1)①5x-60；5(2)方案一【解析】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，①则甲队共铺设管道5x-60米，乙队共铺设管道故答案为：5x-60根据题意，得5x解得：x=120所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米．（2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：5×120-603方案一需要天数：27×1203×180方案一需要费用：500×3×6=9000．每名乙队工人每天铺设管道米数：180-20=160．方案二需要费用天数：27×1204×160方案二需要费用：400×4×6=9600．因为9000<9600，所以，应选择方案一．题型三营销问题3．为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，购买一套队服和一个足球共需花费180元．(1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？(2)甲商场推出的优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过90套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和mm>10①请用含m的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；②若学校的预算是12000元，选择在哪家商场购买的足球更多？【答案】(1)每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元(2)①到甲商场购买装备所花的费用为：9200+80m元，到乙商场购买装备所花的费用为：10000+64m元；②在【解析】（1）解：设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为x-20x+解得x=100∴x-20=80答：每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元；（2）解：①到甲商场购买装备所花的费用为：100×100+80m到乙商场购买装备所花的费用为：100×100+0.8×80m②当9200+80m=12000时，解得：当10000+64m=12000时，解得：因为购买足球的数量m为整数，所以m最大可取31，因为35>31，所以在甲商场购买的足球更多．题型四分段计费问题4．某小区停车场24小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如图所示：停车时段收费单价8:00~20:0015元/时（最高收取费用80元）20:00~次日8:005元/时（最高收取费用30元）备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如∶停车时间为1小时10分钟则按照2小时收费．(1)小明某日9:00汽车驶入小区停车场a（a为整数）小时，在当日的时间段20:00~24:00内离开，用含a的代数式表示小明汽车的停车费用．(2)若小明此次的停车费用为95元，请你估计小明的汽车离开的时间？【答案】(1)5(2)22:10~23:10分【解析】（1）解：由题意可知，小明汽车的停车费用为80+5a（2）由题意可知，令5a所以，a=1414-11=3（小时），答：小明汽车离开的时间段为22:10~23:10分．题型五球赛积分问题5．某中学七年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表：名次班级比赛场次胜场负场积分1二班880162七班871m3五班853n4一班84412(1)由表中信息可以看出，胜一场积分，负一场积分；(2)请直接写出：m=，n=；(3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场；(4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由．【答案】(1)2，1(2)m(3)该班级胜2场(4)小明的说法不正确，理由见解析【解析】（1）2，1（2）m=15n=13（3）解：设该班级胜x场，则负(8-x2x解这个方程，得x经检验，符合题意答：该班级胜2场（4）他的说法不正确理由：设该班级胜y场，则负(8-y2y解这个方程，得y因为胜的场次不可能为负数，所以小明的说法不正确．题型六行程问题6．从甲地到乙地，汽车原需行驶7h可到达，开通高速公路后，路程缩短了30km，车速平均每小时增加了30km，结果只需4h即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程．(1)若设汽车原来的车速为xkm/h，则在高速公路上的车速为______km/h，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是ykm，则两地原来的路程为______km(2)选择（1）中的一种设元方式解答问题．【答案】(1)(x+30)，4(x+30)=7x(2)选择①，见解析．【解析】（1）解：设汽车原来的车速为xkm/h，则在高速公路上的车速是根据题意可得：4(x设甲、乙两地高速公路路程是ykm，则两地原来的路程为(根据题意可得：y+30故答案为：(x+30)，4(x+30)=7x（2）①解：设汽车原来的车速为xkm/h，则高速公路后的车速是由题意得：4(x解得：x=50∴甲乙两地之间的高速公路的路程为：4×(50+30)=320(km)，答：甲乙两地之间的高速公路的路程为320km；②解：甲、乙两地高速公路路程是ykm，则两地原来的路程为(由题意得：y+30解得：y=320答：甲乙两地之间的高速公路的路程为320km．题型七利息问题7．储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的20%．(1)将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可以得到利息元，扣除个人所得税后实际得到元．(2)小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？【答案】(1)187，149.6(2)70000元【解析】（1）解：到期支取时可以得到利息：8500×2.2%×1=187（元），扣除个人所得税后实际得到：187×1-20%故答案为：187,149.6；（2）解：设这笔资金是x元，根据题意得x+解得x=70000答：这笔资金是70000元．题型八年龄问题8．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题：(1)现在父亲多少岁？(2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？【答案】(1)父亲现在的年龄为56岁；(2)8年【解析】（1）解：设现在儿子x岁，则父亲2x岁．根据题意，得2x解得x=282答：父亲现在的年龄为56岁．（2）解：设再过y年父子两人年龄和为100岁．则56+解得y答：再求再过8年成为“百岁父子”．题型九古代数学问题9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一只羊，若每人出5文钱，则相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱，求买羊的人数和这头羊的价格．【答案】买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文【解析】解：设有x人买羊，则这头羊的价格是(7x根据题意得：5x解得：x=21∴7x答：买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文．题型十方案决策问题10．在清明节期间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话：问题：(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？(2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生；(2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱．【解析】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了12-x个根据题意得：35x+35∴12-x答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．（2）解：若购买15张团体票，需15×35×60%=315（元），∵350-315=35，∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱．1．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（）A．8人 B．10人 C．12人 D．14人【答案】C【解析】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得：2a解得a＝4b；则A组每名检验员每天检验的成品数为：2（a+2b）÷（2×8）＝12b÷16=34那么B组检验员的人数为：5（a+5b）÷（34b）÷5＝45b÷34b÷5故选：C．2．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（）A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶【答案】C【解析】解：设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了（12x+0.5）瓶，那么剩下（x-12x则第二天喝了12（x-12x﹣0.5）+0.5（瓶），那么剩下（x-12x﹣0.5）﹣[12（x-所以第三天喝了12{（x-12x﹣0.5）﹣[12（x-12（12x+0.5）+[12（x-12x﹣0.5）+0.5]+12{（x-12x﹣0.5）﹣[12（x解得x＝7．3．在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟23圈，乙每分钟34圈，丙每分钟12圈，他们同时出发，起点如图所示（甲从A点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C点出发，沿圆周顺时针运动），则出发后5【答案】5【解析】解：设出发后x分钟甲乙两人第一次相遇，由甲和乙相遇得：23x+解得：x＝5，此时，甲逆时针行驶了23当出发5分钟后，丙顺时针行驶了12×5此时，甲乙丙第一次相遇．故答案为：5．4．某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的35；零售票每张16元，共售出零售票的一半．如果在六月份内，团体票按每张【答案】见试题解答内容【解析】解：设总票数a张，六月份零售票按每张x元定价，根据题意得：12（23a•35）+16（13a•12）＝16•（23a•25）化简得：245a+83a=因为总票数a＞0，所以245+解得x＝19.2答：六月份零售票应按每张19.2元定价，才能使这两个月的票款收入持平．5．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）1560∵45＞42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为15600.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t＝13.75，解得t=汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513所以用这一方案送这8人到考场共需15+2×2.75所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，由A处步行至考场需15-x汽车从出发点到A处需x60(h)先步行的4人走了设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有60t解得t=所以相遇点与考场的距离为：15-x由相遇点坐车到考场需：(1所以先步行的4人到考场的总时间为：(x先坐车的4人到考场的总时间为：(x他们同时到达则有：x60解得x＝13．将x＝13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：(13∵37＜42，∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．6．牧场上的草长得一样的密，一样的快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天．如果要吃96天，牛数该是多少？【答案】见试题解答内容【解析】解：设牧场上原来的草的量是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，所以1+24x去分母得：30（1+24x）＝28（1+60x），∴960x＝2，∴x=96天吃完，牛应当是(1+96×1答：如果要吃96天，牛数该是20头．7．老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度25千米/小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．学生步行的速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时．【答案】见试题解答内容【解析】解：由于让学生甲先步行，老师带乘学生乙，到达距博物馆一定地方，放下乙，让其步行，而老师再去接甲，最后三人同时到达，所以甲乙步行的路程相等，都设为x千米根据乙步行的时间等于老师返回接甲并到达的时间得：x5去分母得20x＝4（33﹣2x）+5（33﹣x），解得x＝9，所以共用时间33-920+8．小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25s钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25min哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？【答案】见试题解答内容【解析】解：设哥哥的速度是V1米/秒，小明的速度是V2米/秒．环形跑道的周长为s米．（1）由题意，有25(v整理得，4v2＝2v1，所以，V1＝2V2．答：哥哥速度是小明速度的2倍．（2）设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．根据题意，得2x﹣x＝20，解得，x＝20．故经过了25分钟小明跑了20圈．9．从有关方面获悉，在我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度．享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用．下表是医疗费用报销的标准：医疗费用范围门诊住院0﹣5000元5001﹣20000元20000元以上每年报销比例标准30%30%40%50%（说明：住院医疗费用的报销分段计算．如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销、15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销；题中涉及到的医疗费均指允许报销的医疗费）（1）某农民在2008年门诊看病自己共支付医疗费280元，则他在这一年中门诊医疗费用共400元；（2）若某农民一年内实际住院医疗费为18000元，则他应自付医疗费多少元？（3）若某农民一年内因本人住院按标准报销医疗费15000元，则该农民当年实际医疗费用共多少元？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）设门诊费为x元，根据题意得：（1﹣30%）x＝280，解得：x＝400（元）．（2分）（2）若一年内实际住院医疗费为18000元，则他应自付医疗费为：5000×0.7+（18000﹣5000）×0.6＝3500+13000×0.6＝3500+7800＝11300（元）．（3分）（3）设该农民当年实际医疗费用共x元，∵5000×0.3+（20000﹣5000）×0.4＝1500+6000＝7500，且15000＞7500∴该农民实际住院医疗费用必超过20000元（1分）则：7500+（x﹣20000）×0.5＝15000（2分）∴（x﹣20000）×0.5＝7500故：x﹣20000＝15000∴x＝35000（元）（1分）答：若某农民一年内因本人住院按标准报销医疗费15000元，则该农民当年实际医疗费用共35000元．10．为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出；下面是某服装厂