高等数学课件 第9章 微分方程 第4节

第九章Advancedmathematics微分方程高等数学第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程概述e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数线性微分方程目录/Contents第四节线性微分方程一、线性微分方程解的结构三、高阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为（9-1）其中为已知的连续函数,（9-2）一、线性微分方程解的结构它所对应的齐次线性方程为定理9.1如果,是方程（9-2）的两个解,则,的线性组合也是方程（9-2）的解,其中为任意常数.证明将一、线性微分方程解的结构代入左端,得因为与是方程（9-2）的解,所以即也是方程（9-2）的解.,一、线性微分方程解的结构

,因此定义9.13对于两个任意函数,

,若为常数,则称函数,

线性相关,否则称为线性无关.定理9.2如果函数,是方程（9-2）的两个线性无关特解,则是方程（9-2）的通解,其中为任意常数.一、线性微分方程解的结构【例1】验证是二阶齐次线性方程的通解.一、线性微分方程解的结构解容易验证,是的两个特解,又常数,即它们是线性无关的.因此是二阶齐次线性方程的通解.【例2】验证是二阶齐次线性方程的通解.解容易验证,是的两个线性无关的特解,又常数,

因此,的通解.是二阶齐次线性方程一、线性微分方程解的结构即它们是线性无关的,定理9.3设是二阶非齐次线性微分方程（9-1）的一个特解,是其对应的齐次线性微分方程（9-2）的通解,则是非齐次线性微分方程（9-1）的通解.证明把由于是所以；一、线性微分方程解的结构代入方程（9-1）左端,得齐次线性微分方程（9-2）的通解,而是非齐次线性微分方程（9-1）的一个特解,所以.因此,函数即解一、线性微分方程解的结构使得非齐次线性微分方程（9-1）两端恒等,是非齐次线性微分方程（9-1）的通解.【例3】验证是二阶非齐次线性方程的通解.是解由例1知,容易验证,因此,的通解.是二阶齐次线性方程一、线性微分方程解的结构对应齐次方程的通解,的一个特解,是定理9.4设非齐次线性微分方程右端是几个函数之和,如而与分别是方程,那么就是方程的特解.的特解,与一、线性微分方程解的结构因此,函数由于是齐次线性微分方程（9-2）的通解,而是所以一、线性微分方程解的结构所以,非齐次线性微分方程（9-1）的一个特解,使得非齐次线性微分方程（9-1）两端恒等,即是非齐次线性微分方程（9-1）的通解.解目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数线性微分方程第四节二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程解的结构三、高阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为（9-3）其中是实常数,是已知函数.对应于（9-3）的二阶常系数齐次线性微分方程为（9-4）下面对微分方程（9-3）（9-4）的解法二、二阶常系数线性微分方程分别进行讨论.这样就是齐次线性微分方程（9-4）的通解.由于微分方程（9-4）的左端是,与的线性和,归结为求它的两个线性无关的特解,,由定理9.2可知,二、二阶常系数线性微分方程要求齐次线性微分方程（9-4）的通解,且系数为常数,因为

,

所以,

（9-5）二、二阶常系数线性微分方程而当为常数时,指数函数和它的各阶导数都只差一个常数因子,因此,设齐次线性微分方程（9-4）的解为,将它代入（9-4）得,二、二阶常系数线性微分方程由此可见,只要满足代数方程（9-5）,函数就是微分方程（9-4）的解.我们把代数方程（9-5）称为二阶常系数齐次线性微分方程（9-4）的特征方程,把特征方程（9-5）的根称为特征根.二、二阶常系数线性微分方程特征方程（9-5）是一个二次代数方程,其中、的系数及常数项,恰好依次是微分方程（9-4）中、及的系数,它们有三种不同的情形,分别对应微分方程（9-4）的通解的三种不同情况：特征方程（9-5）的两个根可以用公式求出,（1）相异实根当时,这时得到微分方程（9-4）的两个特解且

不为常数,所以微分方程（9-4）的通解为,二、二阶常系数线性微分方程有两个不相等的实根,,,其中为任意常数.当时,这时,得到微分方程（9-4）的一个特解为了得出微分方程（9-4）的通解,并且要求与线性无关.二、二阶常系数线性微分方程（2）相同实根有两个不相等的实根我们还需求出另一个特解,设,将代入微分方程（9-4）并消去,由于是特征方程（9-5）的二重根,因此,且故得.

二、二阶常系数线性微分方程即.下面来求,同时合并同类项,得由此为线性函数,其中为任意常数.这样得到微分方程（9-4）的另一个特解,且不是常数所以微分方程（9-4）的通解为二、二阶常系数线性微分方程所以不妨选取,当时,其中,这时,可以验证微分方程（9-4）所以微分方程（9-4）的通解为：其中为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程（3）共轭复根有一对共轭复根有两个线性无关的特解：综上所述,第三步根据特征方程的两个根的不同情形,第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特征方程的两个根与；二、二阶常系数线性微分方程齐次线性微分方程（9-4）的通解.求解二阶常系数齐次线性微分方程（9-4）的问题就归结为求其对应的特征方程（9-5）的特征值的问题.步骤如下：；按照下表写出常系数第三步根据特征方程的两个根的不同情形,其中,为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程按照下表写出常系数齐次线性微分方程（9-4）的通解.特征方程的根,微分方程的通解两个不等的实根两个相等的实根一对共轭复根【例4】求方程的通解.它有两个相异实根因此,原方程的通解为其中,为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程所给微分方程的特征方程为解【例5】求方程满足初始条件的特解.它有两个相等实根因此,原方程的通解为

所以,原方程满足初始条件的特解为由初始条件由初始条件,上式两边对求导,得二、二阶常系数线性微分方程所给微分方程的特征方程为

解得,从而,得,【例6】求方程的通解.它有一对共轭复根因此,原方程的通解为其中为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程所给微分方程的特征方程为解由定理9.3可知,的通解,的求法.前面已经讲述了齐次微分方程（9-4）的通解之和,其一个特解二、二阶常系数线性微分方程求非齐次线性微分方程归结为求它的对应的齐次微分方程（9-4）的通解与,即下面我们不加证明地介绍对两种常见形式的,用待定系数法求非齐次线性微分方程的一个特解,（1）当时,其中

是常数,当时,是的次多项式,二、二阶常系数线性微分方程即方程为即此时.

我们知道,因此,设其中

是某个多项式,并消去,得（9-6）同一类型的函数,将其代入方程,二、二阶常系数线性微分方程与指数函数乘积的导数仍然是多项式函数①

如果不是特征方程的根,由于是一个次多项式,

为一个次待定多项式,

则二、二阶常系数线性微分方程其中为次待定多项式.

即要使（9-6）的两端恒等,令,

把

代入原方程,从而可以定出这些,并得到所求的特解.比较等式两端同次幂的系数使其相等,作为未知数的

个方程的联立方程组,就得到含有二、二阶常系数线性微分方程

的单根,可知,

是次多项式,则

是

次多项式,用比较法来确定的系数,并得到所求的特解.,但要使（9-6）的两端恒等,即令代入原方程,即,二、二阶常系数线性微分方程③

如果是特征方程的重根,要使（9-6）的两端恒等,即,

令代入原方程,并得到所求的特解.即中的系数,用比较法来确定可知,是次的多项式,则是次多项式,二、二阶常系数线性微分方程综上所述,我们有如下结论：对于二阶常系数非齐次线性微分程的特解,可设为,是与已知多项式其中同次次的待定多项式,按非特征根,特征单根,特征重根,分别取为.二、二阶常系数线性微分方程求微分方程.该微分方程所对应的齐次微分方程为,其特征方程为,是型（其中）,且函数二、二阶常系数线性微分方程【例7】

所给微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,解.有两个实根于是,原方程的一个特解为.由于,这里为一次多项式,且不是特征根,故设原方程的特解为其中为待定系数,比较上式两端的同次幂的系数,,把它代入原方程,得,二、二阶常系数线性微分方程求微分方程.所给微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,该微分方程对应的齐次微分方程为,其特征方程为,为型（其中）,且二、二阶常系数线性微分方程【例8】解.有两个实根于是,所给微分方程对应的齐次微分方程的通解为故设原方程的特解其中为任意常数,由于,这里为一次多项式,且是特征单根,其中为待定系数,即二、二阶常系数线性微分方程把它代入原方程,得比较上式两端同次幂的系数,得于是,原方程的一个特解为,从而,原方程的通解为,由此,求得其中为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程的特解.解该微分方程对应的齐次微分方程为,其特征方程为,有两个相等的实根.且呈,其中二、二阶常系数线性微分方程【例9】满足初始条件求微分方程所给微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,于是,所给微分方程对应的齐次微分方程的通解为,故设原方程的特解,其中为任意常数,由于,这里为一次多项式,且

是特征重根,其中

为待定系数,二、二阶常系数线性微分方程把它代入原方程,.比较上式两端同次幂的系数,得于是,原方程的一个特解为,从而,原方程的通解为其中为任意常数.由此,求得二、二阶常系数线性微分方程对

求导,得将代入通解,得将代入上式,得所以,原方程满足初始条件的特解为二、二阶常系数线性微分方程对于二阶常系数非齐次线性微分程可设为的特解,（2）当其中是常数时,分别是的

次,次多项式,其中有一个可为零,其中

是待定的次多项式,

,按或非特征根,特征根,分别取.有如下结论：二、二阶常系数线性微分方程解该微分方程对应的齐次微分方程为,型且属于其中其特征方程为,二、二阶常系数线性微分方程【例10】的一个特解.求微分方程所给微分方程是二阶常系数非齐次线性方程,有一对共轭复根得,故设原方程的特解为,且不是特征值,所以为一次待定多项式,其中

为待定系数,由于,这里最高次多项式是一次多项式,

二、二阶常系数线性微分方程把它代入原方程,比较上式两端同类的同次幂系数,得于是,原方程的一个特解为