热点题型9-2 概率与统计经典选填题全归纳（含赛制等问题）（学生版）-2026新高考数学热点题型全解全练

概率与统计经典选填题全归纳（含赛制等问题）考点一统计 2题型1统计图表及特征数的应用 2题型2线性回归方程 4题型3非线性回归方程 5题型4独立性检验 6题型5统计新定义问题 8考点二概率 9题型6古典概型 9题型7正态分布 9题型8随机变量的分布列，均值、方差 10题型9超几何分布与二项分布 11题型10条件概率与全概率公式 12题型11概率的最值 13题型12马尔科夫链 14题型13赛制概率问题 15考点一统计题型1统计图表及特征数的应用1．（2025·湖北宜昌·二模）某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分（单位：分）．为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与后续活动优先资格），平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线．活动结束后，平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．据此，以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为（

）A．84分 B．85分 C．86分 D．82分2．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）（多选）某商场一年中各月份的收入，支出情况如图所示，下列说法中正确的是（

）A．支出最高值与支出最低值的比是B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同3．（2025·江苏无锡·二模）（多选）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（

）A．该校高二学生总数为800B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等4．（2025·河北邯郸·一模）某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（

）A．B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（多选）C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件5．（2026·浙江温州·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____题型2线性回归方程6．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（

）A．8 B．11 C．12 D．137．（2025·辽宁营口·一模）已知变量之间的线性回归方程为且变量之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（

）681012632A．变量x，y之间呈负相关关系B．可以预测，当时，C．D．该回归直线必过点8．（2025·湖南张家界·模拟预测）对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（

）A．满足一元线性回归模型的所有假设B．不满足一元线性回归模型的的假设C．不满足一元线性回归模型的假设D．不满足一元线性回归模型的和的假设9．（2025·江苏泰州·二模）（多选）为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表：……其中数据和数据的平均数分别为和，并且计算相关系数，回归方程为，如下结论正确的为（

）A．将以上数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变B．变量的相关性强C．当时，必有D．10．（2024·江苏常州·模拟预测）（多选）为研究某种树树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径（单位：cm）和树高（单位：m）的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则下列结论正确的是（

）

A．由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型B．数据对应的残差为0.9C．该种树的平均树高约为22.29mD．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小题型3非线性回归方程11．（2025·黑龙江绥化·二模）用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（

）A．1 B．2 C．e D．2e12．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：234561.021.201.421.621.84由上表可得经验回归方程为，则（

）A．0.206 B． C．0.596 D．13．（2025·黑龙江鹤岗·二模）在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________．14．（2025·湖北荆门·二模）已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点_____________.xy15．（2024·江苏扬州·一模）在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数___________．题型4独立性检验16．（2025·吉林辽源·模拟预测）下列说法正确的是（

）的部分临界值如表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系17．（2024·湖北咸宁·模拟预测）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（

）A．变量X与Y独立B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005C．变量X与Y不独立D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.00518．（2025·湖北黄冈·三模）一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为（

）0.050.013.8416.635A．12 B．6 C．10 D．1819．（2025·山西临汾·二模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：疗法疗效未治愈治愈甲1552乙663附常用小概率值及其相应的临界值表为：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828计算得．则下列说法正确的是：（

）A．以频率估计概率，有B．以频率估计概率，有C．若取，可以认为疗效与疗法独立D．若取，可以认为疗效与疗法独立题型5统计新定义问题20．（2024·四川达州·二模）如图的列联表中，定义，易知越大越有利于结论“与有关系”.若当值大于常数时，有的把握认为与有关系，那么的值为（

）(已知，其中，)总计总计A． B．C． D．21．（2024·黑龙江佳木斯·二模）加密运算在信息传送中具有重大作用对于一组数据，，…，，其密钥，定义算法，其中，，…，.将数据，，…，加密为，，…，的过程称为型单向加密.现将一组数据，，，，，进行型单向加密，则加密后的新数据的第60百分位数为（

）A．2 B．3 C．6 D．922．（2025·云南普洱·三模）定义空间直角坐标系中的任意点的“N数”为：在P点的坐标中不同数字的个数，如：，若点P的坐标，则所有这些点P的“N数”的平均值与最小值之差为（

）A． B．2 C． D．考点二概率题型6古典概型1．（2025·湖南岳阳·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龙江七台河·二模）从分别标有数字，，，，的5张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁铁岭·一模）有4个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____.4．（2025·云南昭通·二模）从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为___________．5．（2024·湖北十堰·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______．6．（2024·山西太原·模拟预测）某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高二获胜的概率为______．题型7正态分布7．（2025·广东阳江·模拟预测）某市高三年级男生身高近似服从正态分布，若，则（

）A．0.65 B．0.85 C．0.15 D．0.38．（2025·云南丽江·二模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2025·宁夏固原·一模）已知随机变量，且，（），则（

）A． B．C． D．（）10．（2025·江苏连云港·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（

）人一分钟跳绳超过200次.A．100 B．150 C．200 D．25011．（2025·湖北孝感·三模）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则___________．12．（2025·江西南昌·一模）某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为______．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第______名．参考数据：，．若，有，，．题型8随机变量的分布列，均值、方差13．（2025·四川宜宾·模拟预测）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（

）0A．1 B． C．4 D．214．（2025·广东汕头·三模）设，随机变量X的分布列是X01Pb则当a在内增大时，（

）A．增大 B．减小C．先增大再减小 D．先减小再增大15．（2025·山东济宁·二模）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（

）百元代金券A．5.4 B．9 C．12 D．1816．（2024·山西大同·一模）已知随机变量的分布列如图：X123…nP…若数列是等差数列，则（

）A．若为奇数，则 B．C．若数列单调递增，则 D．17．（2025·湖南邵阳·模拟预测）一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________．18．（2024·河北衡水·模拟预测）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是__________元.题型9超几何分布与二项分布19．（2025·广西崇左·模拟预测）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（）A． B．C． D．21．（2026·广西来宾·模拟预测）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到.用X表示候选人来自甲班的人数.则下列说法不正确的是（

）A．随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4B．甲班恰有2名同学被选到的概率为C．随机变量D．随机变量X的期望为22．（2025·广东韶关·三模）（多选）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（

）．A．小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为B．在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为C．当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为23．（2025·四川泸州·模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为_______________________________.题型10条件概率与全概率公式24．（2025·河北唐山·一模）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件：“第一次抽到的数字是奇数”，事件：“第二次抽到的数字是偶数”，则（

）A． B．C． D．25．（2025·安徽阜阳·三模）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件26．（2025·福建宁德·三模）现有两位游客慕名来成都旅游，他们分别从武侯祠、杜甫草堂、宽窄巷子、春熙路、熊猫基地这5个景点中随机选择1个景点游玩，两位游客至少有一人选择武侯祠的条件下，他们选择的景点不相同的概率为___________．27．（2025·湖南怀化·模拟预测）（多选）设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（

）A．B．若，则C．D．28．（2025·四川资阳·三模）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________．题型11概率的最值29．（2025·河南开封·一模）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（

）A． B．C． D．与6的大小无法确定30．（2025·宁夏银川·一模）在排查新冠肺炎患者期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（

）A． B． C． D．31．（2025·湖南衡阳·二模）小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做则得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做_____道题，及格的概率最大．32．（2025·云南昆明·一模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大．33．（2025·湖南益阳·三模）某电视台举办“庆奥运”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从（跳水）、（乒乓球）、（游泳）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答、两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．为使取得复赛资格的概率最大，在“”、“”和“”三种回答顺序中，选手甲应选择_____题型12马尔科夫链34．（2024·吉林四平·二模）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（

）A． B． C． D．35．（2025·辽宁盘锦·三模）甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第次传球后，球在甲手中的概率为，在乙手中的概率为，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．36．（2025·山西阳泉·模拟预测）（多选）踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（

）A． B．C． D．37．（2025·四川成都·二模）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有的概率不传，有的概率传给乙；乙有的概率传给甲，有的概率传给丙；丙有的概率传给甲，的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为________，次传球后，球在乙处的概率________.38．（2024·江苏盐城·三模）甲、乙两位同学参加一场答题竞赛，甲同学每次答对问题的概率为0.8，乙同学每次答对的概率为0.6，答题规则是如果该同学此题答对，则继续答题，如果答错则由对方进行答题，已知两位同学答第一题的概率相等，则第n次答题的同学是甲的概率是_______．39．（2025·浙江宁波·二模）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（

）A． B． C． D．题型13赛制概率问题4