八年级上册培优5半角模型

八上培优5半角模型方法：截长补短

图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2a套a的情况。求

证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻

折分割构全等。截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题，勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27

页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两

次全等。

下面是新观察第34页/4题

1.如图，四边形力灯?。中，NA=NC=90°,ND=60°,AB=BC,E、尸，分别在4?,CD上,且NEBF二60

°,求证：EF=AE+CF.

2.如图2,在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AEWF+CF.

A

3.如图，ZA=ZB=90°,CA=CB=4,ZACB=12O°,ZECF=60°,AE=3,BF=2,求五边形ABODE

的面积.

4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且NBAD=2

ZEAF.

（1）求证：EF=BE+DF；

（2）在（1）问中，若将AAEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，

如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.

图1图2

3.如图3,在四边形中，NB+NC=180°,DB=DC,ZBDC=120°,以D为顶点作一个60°的

角，角的两边分别交力以4C于E、F两点，连接EF,探索线段维，CF、4之间的数量关系，并

加以证明.

图3

勤学早第40页试题

1.(1)如图，已知48二AC,NBAC=90°,NMAN=45°,过点C作也交朋于点N,

过点B作BM垂直48交加于点M,当一制V在NBAC内部时，求证：BM+CN=MN：

证明：延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,证AABGg乙ACN(SAS),JAN=AG,ZBAG=,NNAC.L

/GAM=NGAB+NBAM=ZCAN+NBAM=45°=LNMAN,

HEAAMN^AAMG(SAS),'「.MN=MG=BM+BG=BM+NC.

证明二：(此证明方法见新观察培优笫27页例3)

⑵如图，在⑴的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.

NN

解：不成立，结论是:MN=CN-BM,

证明略.

分析：由于NMDN=60°,NBDC=120°,所以NBDM+NCDN=60°,注意到DB=DC,考虑运用“旋转

法”将NBDM和NCDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面，AAMN的周长AM+AN+MN=AB+

AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.

新观察培优68页例5如图，点A、B(2.0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，0C平分N

ACB.

(1)求A点坐标；

⑵如图1,AQ在/CAB内部，P是A。上一点，满足NACB二NAOB,AP=B0.试判断△CPQ的形状，

并予以证明；

⑶如图2.BD_LBC交y轴负半轴于D.NBDO=60°,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，

满足NCFD+NE=180°.当F在AC上移动时，结论：①CE+CF值不变；②CE-CF值不变，其中只

有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.

分析：(1)由NA0C经△B0C得A0=B0=2,A(-2.0).

⑵由△ACPgZ\BCQ得CP=CQ.

⑶由BD_LBC,NBD0=60,，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_±BC的条件,运用对称性知DA±

AC,连结DA,加上条件NCFD+NE=180°,可证得4ADF邕ZiBDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.

基本模型三2。°套a°

4.⑴如图1,在四边形被M/AB=AD,NB+ND=180：£厂分别是於加上的点，且NE4尸二一

2

/BAD,求证：£F=BE+DF：

⑵如图2.在⑴的条件下,若将4AEF绕点A逆时针旋转,当点E.F分别运动到BC,CD延长线上时,

则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DF

解：（1）EF=BE+DF,延长FD到点G,使DG二BE,连接AG,

HEAABE^AADG(SAS),...\AE=AG,

NBAE=/DAG,/EAF二一二BAD,

NGAF=NDAG+NDAF=NBAE+NDAF=NBAD-NEAF=NEAF,「・N'EAF=NGAF,

HEAAEF^AGAF(SAS),.：.EF=FG,VFG=DG+DF=BE+DF,.\EF=BE+DF：

(2)EF=BEDF.

外地试题:

4.探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BCvCD上，ZEAF=45°,连结EF,求证:EF=BE+DF.

应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,AB=AD,NB+ND=90°,ZEAF=-

2

ZBAD,若EF=3,BE=2,则DF=.

5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补

充完整.

原题：如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°,连接EF,求证：EF=BE+DF.

(1)思路梳理

.「AB=AD,..•把AABE绕点A逆时针旋转9(T至4ADG,可使AB与AD重合.

,.•ZADG=ZB=90°,/.ZFDG=ZADG+ZADC=180°,则点F、D、G共线.

根据,易证4AFG丝,从而得EF=BE+DF；

(2)类比引申

如图2,四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=90°点E、F分别在边BC、CD±,NEAF=45°.若NB、

ND都不是直角，但当NB与ND满足等量关系时，仍有EF=BE+DF,请给出证明；

(3)联想拓展

如图3,在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上，且NDAE=45°,猜想BD、DE、

EC应满足的等量关系，并写出推理过程.

7.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,7B=ND=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF,

ZEAF=iZBAD.现有三种添加辅助线的方式：①延长EB至G,使BG二BE,连接AG；②延长FD

2

至G,使DG二BE,连接AG；③过点A作AG_LEF,垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证:

EF=BE+FD；

(2)如图2,在四边形A3CD中，AB二AD,若NB+ND=180°,ZEAF=iZBAD,证明(1)中结论

2

是否还成立？

(3)如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，

且/EAF=1/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写巴它们之间

2

的数量关系，并证明.

A

8.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB=ND=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且N

EAF=-ZBAD.求证：EF=8E+FD.

2

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且NEAF二,

2

NBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们

之间的数量关系，井证明.

(3)如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,

且NEAF=,/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、

2

BE、FD它们之间的数量关系，并证明.

半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?

(1)求B点坐标；

(2)如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角4ACD,NACD=90°,连接OD,

求NA0D的度数；

(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以

EG为直角边作等腰RtZkEGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立？若

成立，请说明；若不成立，说明理由.

解：(1)如图所示，作AEJLOB于E,,/ZFDC+ZDCF=90°,

/.ZACF=ZFDC,

VA(4,4),

又•.•/DFC二NAEC二90°,

/.0E=4,

/.△DFC^ACEA(AAS),

为等腰直角三角形，且AEJ_OB,/.EC=DF=4,FC=AE,

••・0E=EB=4,VA(4,4),

...0B=8,.1.AE=0E=4,

/.FC=OE,即OF+EF=CE+EF,

AB(8,0)；

.-.OF=CE,

.*.OF=DF,

ND0F=45°,

.「△AOB为等腰直角三角形，

(2)如图所示，作AEJ_OB于E,DF_LOB于F,

/.ZA0B=45°,

,/△ACD为等腰直角三角形，

ZAOD=ZAOB+ZD0F=90°；

「.AC二DC,ZACD=90°

即NACF+NDCF=90°,

(3)AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM/.AE=0E=4,

上截取AN二OF,连EN.又/EAN二NEOF二90°,AN=OF,

VA(4,4),.-.△EAN^AEOF(SAS),

/.ZOEF=ZAEN,EF=EN,又〈EM=EM,

又.「△EGH为等腰直角三角形，/.△NEM^AFEM(SAS),

/.ZGEH=45°,即N0EF+N0EM=45°,/.MN=MF,

NAEN+Z0EM=45°/.AM-MF=AM-MN=AN,

又•••NAE0=90°,.\AM-MF=OF,

/.ZNEM=45°=ZFEM,即AM=FM+OF；

(点评J本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图矽性质的综

合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

2.如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A(a,0)B(0,b),且(a-b)2+|b-4|=0

(1)求A、B两点坐标；

(2)C为线段AB上一点，C点的横坐标是3,P是y轴正半轴上一点，且满足N0CP=45°,求P

点坐标；

(3)在⑵的条件下，过B作BDJ_OC,交0C、0A分别于F、D两点，E为0A上一点，且NCEA二

NBD0,试判断线段0D与AE的数量关系，井说明理由.

(1)解：(a-b)?+|b-4|二0,

/.a-b=0,b-4=0,

(2)

3.如图，已知A(a,b),AB_Ly轴于B,且满足|a-2|+(b-2)?=0,

(1)求A点坐标；

(2)如图1,分别以AB,AO为边作等边三角形AABC和△AOD,试判定线段AC和DC的数量关系

和位置关系，并说明理由；

(3)如图2,过A作AE_Lx轴于E,点F、G分别为线段OE、AE上两个动点，满足NFBG=45°,

+ACr

试探究---------的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.

FG

2017-2018江汉期中如图点P为4ABC的外角ZBCD的平分线上一点，PA=PB.

(1)求证：ZPAC=ZPBC;

(2)作PEJ_BC于E,若AC=5,BC=11,求SZkPCE：SAPBE；

（3）若M、N分别是边AC、BC上的点，且NMPN=L/APB,则线段AM、MN、BN之间有何数量关

2

解：（D如图1,过点P作PE_LBC于E,PF±.,.AC+CF=BC-CE,

/.5+CF=11-CE,

/.CE=CF=3,

•「△PFCg△PEC,

••SAKC=SAPEC,

,/RtAPAF^RtAPEB,

••S..WSAPCB,

=

•SAKE；S,,-,pg£S/<PFc；SAPTA

AC于F,11

=-CFXPF：-ACXPF

•••PC平分NDCB,22

.\PE=PF,=CF：AC=3：(3+5)=3：8；

在RtZkPAF和RtZkPEB中,

PF=PE

PA=PB,

/.RtAPAF^RtAPEB,

/.ZPAC=ZPBC,

（2）如图2,过点P作PF±AC于F,

(3)如图3,在BC上截取BQ二AM,

在APMA和△PQB中，

PA=PB

<NPAM=NPBQ

MA=BQ,

.,.△PMA^APQB,

VPE±BC,CP是/BCD的平分线,.-.PM=PQ,ZMPA=QPB,

「.PE;PF,ZPCF=ZPCE,ZAPM+ZQPA=ZAPQ+ZQPB,

•.•PC=PC,即：ZAPB=ZMPQ,

.,.△PCF^APCE,

,/ZMPN=-ZAPB,

/.CF=CE,2

由(1)知，RtAPAF^RtAPEB,1

/.ZMPN=-ZMPQ,

.'.AF=BE,2

,.,AF=AC+CF,BE=BC-CE,/.ZMPN=ZQPN,

在AMPN和aOPC中,.\BN=AM+MN.

PN=PN八点部7此题是三角形综合题，主要考查了全

等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平

<NMPN=/QPN

分线的定义，解G）的关键是判断出PE二PF,

MP=QP,

解（2）的关键是求出CE=CF=3,解（3）的关

/.△MPN^AOPC,键是构造全等三角形判断出NAPB二NMPQ,是

/.MN=QN,一道中等难度的中考常考题.

2015-2016江岸八上期末已知在aABC中，AB=AC,射线BM、BN在NABC内部，分别交线段AC于

点GH.

（1）如图1,若NABC=6C°、NMBN=30°,作AE_LBN于点D,分别交BC、BM于点E、F.

①求证：CE=AG；

②若BF二2AF,连接CF,求NCFE的度数；

（2）如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若NBFE=NBAC=2NCFE,直接写出

，分析J（1）①由AB-AC,NABC-60。得到aABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到NBA）

ZACB=60°,AB=CA,求得NBFD二NAFG二60°,推出NEAC二NGBA证得△GBA94EAC,根据全等三

角形的性质即可得到结论；②如图1,取BF的中点K连接AK,由BF=2AF,推出aFAK是等腰三角

形，根据等腰三角形的性质得到NFAK二NFKA,求得N»“='N8尸。=30°,根据全等三角

2

形的性质得到AG=CE,BG=AE,ZAGB=ZAEC,推出△GAKgaEFC,根据全等三角形的性质得到N

CFE=ZAKF即可得到结论；

（2）如图2,在BF上取BK二AF,连接AK,推出NEAC二NFBA,根据全等三角形的性质得到S*FS

皿，ZAKB=ZAFC,证得AFAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK,即可得到结论.

，解答J解：G)①•「AB-AC,ZABC-600AB-OA

/.△ABC为等边三角形，NGAB=/ECA,

5PJNBAC=NACB=6O°,AB=CA,/.△GBA^AEAC,

VADXBN,ZMBN=30°,/.CE=AG；

/.ZBFD=ZAFG=60°,②如图1,取BF的中点K连接AK,

VZABF+ZBAF=60°,,/BF=2AF,

ZBAF+ZEAC=60°

.,.AF=BK=FK=-BF,

ZEAC=ZGBA2

在4G