2025~2026学年浙江省宁波市镇海中学高三上册期末考试数学试卷（原卷）

/镇海中学2025学年第一学期期末考试高三数学试题卷本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，（）A. B. C.1 D.3.已知向量，，，，则（）A. B. C. D.4.抛物线的焦点到直线的距离为（）A. B. C. D.5.在中，“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（）A. B. C. D.7.现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（）种A.1470 B.1512 C.1806 D.29828.已知集合与集合，用表示集合元素个数，表示不超过的最大整数，则（）A.1215 B.1216 C.1217 D.1218二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（）A.B.的展开式中的系数为3C.的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和D.的展开式中系数最大的项为第2项或第3项10.已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（）A.过点有且只有一条直线与直线、都垂直B.过点有且只有一个平面与直线、都垂直C.过点有且只有一个平面与直线、都平行D.过点有且只有一个平面与直线、都相交11.已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（）A.的三角形式为B.若，则实数的值为3C.，，……，中有44个正整数D.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线：的渐近线的斜率为______.13.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______.14.将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成______个部分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和.16.已知中，.（1）求的值；（2）若边上高等于，求.17.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.（1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望.（2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？18.抛物线：上一点到轴的距离为，焦点为，.（1）求抛物线的方程与点横坐标；（2）若在轴上方，抛物线的准线与轴交于，过作一条斜率为负的直线交拋物线于，两点，点在点左侧.（ⅰ）试判断在轴上是否存在一定点，使得直线TM，TN的斜率之和为0，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；（ⅱ）若的余弦值为，记的面积为，的面积