第2课时　向量的减法运算

第2课时向量的减法运算学习目标1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．新知初探基础落实在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，可以定义向量的减法．一、概念生成问题1：如图，向量AD是向量AB与向量x的和，你能作出向量x吗？能．连接BD，由向量加法的三角形法则可知AB＋BD＝AD，故x＝BD．问题2：若a，b是不共线的两个向量，则|a＋b|与|a−b|的几何意义分别是什么？如图所示，设OA＝a，OB＝b．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC＝a＋b，BA＝a−b．因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝|OC|，|a−b|＝|BA|，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．请同学阅读课本P11—P12，完成下列填空．二、概念表述1．相反向量定义与向量a长度__相等__，方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，记作__−a__

规定零向量的相反向量仍是零向量结论a和−a互为相反向量，于是−(−a)＝__a__

a＋(−a)＝(−a)＋a＝__0__

如果a，b互为相反向量，那么a＝−b，b＝−a，a＋b＝__0__

2．向量的减法定义求两个向量__差__的运算，a−b＝a＋(−b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__

作法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a−b．如图所示几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a−b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量

三、概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)(1)0−a＝−a．(√)(2)−(−a)＝a．(√)(3)a＋(−a)＝0．(×)(4)a−b＝a＋(−b)．(√)典例精讲能力初成探究1向量减法及其几何意义例1(课本P12例3)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a−b，c−d．【解答】如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，则BA＝a−b，DC＝c−d．求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如作a−b，可以先作−b，然后作a＋(−b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．变式如图，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作向量：(1)a＋b＋c；【解答】(1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，所以延长AC至点E，使|CE|＝|AC|，则a＋b＋c＝AE，如图所示．(2)a−b＋c．【解答】a−b＝AB−BC＝AB＋DA＝DB，作BF＝AC，则DB＋BF＝DF，即a−b＋c＝DF探究2向量的减法运算例2化简：(1)MN−MP＋【解答】MN−MP＋NQ−PQ＝(MN＋NQ)−(MP＋PQ)＝(2)BD＋DC＋AB−【解答】BD＋DC＋AB−AC＝(BD＋DC)＋(AB−AC)＝BC＋变式化简：(1)(AB−CD)−(AC【解答】(AB−CD)−(AC−BD)＝(AB＋BD)−(AC＋CD)＝(2)(AC＋BO＋OA)−(DC−DO【解答】(AC＋BO＋OA)−(DC−DO−OB)＝(AC＋BA)−(OC−OB探究3利用已知向量表示其他向量例3(课本P12例4)如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，你能用a，b表示向量AC，DB吗？【解答】由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC＝a＋b．同样，由向量的减法，知DB＝AB−AD＝a−用已知向量表示其他向量的步骤(1)首先要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则．变式如图，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD．【解答】因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC−AB＝b−a，BD＝BC＋CD＝b−a＋探究4向量的模及三角不等式例4已知|AB|＝2，|AC−AB|＝1，求|AC|【解答】因为|AB|＝2，|AC−AB|＝1，所以|AC|＝|AB＋(AC−AB)|≤|AB|＋|AC−AB|＝3，当且仅当AB与AC−AB，即AB与BC的方向相同时取等号；|AC|＝|AB＋(AC−AB)|≥|AB|−|AC−AB|＝1，当且仅当AB与AC−AB向量三角不等式(1)已知非零向量a，b，则||a|−|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当a与b反向共线时左边等号成立；当a与b同向共线时右边等号成立)；(2)已知非零向量a，b，则||a|−|b||≤|a−b|≤|a|＋|b|(当a与b同向共线时左边等号成立；当a与b反向共线时右边等号成立)．变式若|AB|＝7，|AC|＝4，则|BC|的取值范围是__［3，11］__．【解析】由题意知|AB|＝7，|AC|＝4，且|BC|＝|AC−AB|．当AC，AB同向时，|BC|取得最小值，|BC|＝|AC−AB|＝||AC|−|AB||＝|4−7|＝3；当AC，AB反向时，|BC|取得最大值，|BC|＝|AC−AB|＝||AC|＋|AB||＝|4＋7|＝11；当AC，AB不共线时，3＝||AC|−|AB||＜|BC|＜||AC|＋|AB||＝11．故|BC|随堂内化及时评价1．化简：OA＋BC−BA−OD＝(A．AB B．ODC．CD D．DC【解析】OA＋BC−BA−OD＝(OA−OD)＋(BC−BA2．如图，在△ABC中，D是BC上一点，则AB＋BC−AD＝(DA．BD B．DBC．CD D．DC3．如图，若点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OB−AD＝(DA．AB B．BCC．CD D．DB4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF−DB＝(DA．FD B