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文档简介

第八章立体几何初步8.6.2课时2直线与平面垂直的性质定理1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题.2.理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义.情境：太阳能路灯点亮乡村振兴“民心路”

为响应乡村振兴工作的号召，某村开展的“夜间亮化工程”，正让村庄发生蝶变.

如图，假设将地面看成同一水平面，且每一盏路灯的灯杆与地面均垂直，则各路灯杆间存在什么关系？问题1：观察长方体，猜想并证明直线与平面垂直的性质定理.(1)

长方体

ABCD-A1B1C1D1中，棱

AA1，BB1，CC1，DD1

所在直线与底面

ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？(2)

如图，已知直线

a、b

和平面

α，如果

a⊥α，b⊥α，那么直线

a、b

一定平行吗？如何证明？垂直；平行.平行.证明：假设

a与

b不平行，则过

O作

b′∥a，b′与

b不重合；∵b∩b′=O，故直线

b与

b′确定一个平面，记为

β，且记

α∩β=l，∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥l，b⊥l，又∵b′∥a，∴b′⊥l.这样在平面

β内过点

O有两条直线

b和

b′都与

l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.∴a∥b.a

O已知：a⊥α，b⊥α，b∩α=O.证明：a∥b．βlb'b直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.作用：利用这个定理可判定两条直线平行.符号语言：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．ab

思考：两条异面直线能垂直于同一平面吗？说明理由.例1：已知从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离.

请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.分析：如图，直线与平面分别用

l与

α

表示，且

l∥α.要证明直线

l上各点到平面

α

的距离相等，只要证明直线

l上任意两点到平面

α

的距离相等.

而点到平面

α的距离也就是点到平面

α

垂线段的长.αl证明：过直线

l上任意两点

A，B

分别作平面

α

的垂线，垂足分别为

E，F.∵AE⊥α，BF⊥α，∴AE∥BF.设过直线

AE

和

BF

的平面为

β，则

β∩α=EF.由

l∥α，得

l∥EF，∴四边形AEFB是平行四边形.∴AE=BF，即直线

l上各点到平面

α

的距离相等.1.直线到平面的距离：如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.2.两平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.例2：推导棱台的体积公式

，其中

S'，S分别是棱台的上、下底面积，h是高.V棱台解：延长棱台各侧棱交于点

P，得到截得棱台的棱锥.过点

P作棱台的下底面的垂线，分别于棱台的上、下底面交于点

O'，O，则

PO垂直于棱台的上底面，从而

O'O=h．PO设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V'、高为h'，则PO'=h'，于是由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以棱台的体积①V棱台所以代入①，得V棱台回顾：回答下列问题，并

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